湖南省长沙市重点中学2020届高三下学期第七次月考(文科)数学试卷(含答案解析)
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1、2019-2020 学年高三第二学期月考(文科)数学试卷学年高三第二学期月考(文科)数学试卷 一、选择题(共 12 小题). 1若集合 Ax|x+2|x+2,Bx|x29,则 AB( ) A(3,3) B(2,3) C(3,2 D2,3) 2已知实数 a,b 满足(i 为虚数单位)则复数 za+bi 的共轭复数为( ) A12i B2i C2+i D1+2i 3“双曲线的方程为 x2y21”是“双曲线的渐近线方程为 yx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4如果函数 f(x)的图象与函数 g(x)ex的图象关于直线 yx 对称,则 f(4xx
2、2)的 单调递增区间为( ) A(0,+) B(2,+) C(0,2) D(2,4) 5如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试中的成绩(单 位: 分, 每题 5 分, 共 16 题) 已知两组数据的平均数相等, 则 x、 y 的值分别为 ( ) A0,0 B0,5 C5,0 D5,5 6 九章算术 是中国古代张苍,耿寿昌所撰写的一部数学专著, 成书于公元一世纪左右, 内容十分丰富书中有如下问题: “今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何? 答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堢 瑽就是圆柱体,它的体积(底面的圆周长的平方高)
3、,则该问题中的体积为 估算值,其实际体积(单位:立方尺)应为( ) A528 B C704 D 7已知向量,若OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 三角形,则OAB 的面积为( ) A1 B2 C D 8如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,终边分别是射线 OA 和 射线 OB射线 OA,OC 与单位圆的交点分别为,C(1,0)若BOC ,则 cos()的值是( ) A B C D 9在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为线段 CD 和 A1B1上的动点,且 满足 CEA1F,则四边形 D1FBE 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在
4、该正方体有 公共顶点的三个面上的正投影的面积之和( ) A有最小值 B有最大值 C为定值 3 D为定值 2 10 为了解学生课外使用手机的情况, 某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总 时间,收集了 500 名学生 2019 年 12 月课余使用手机的总时间(单位:小时)的数据从 中随机抽取了 50 名学生,将数据进行整理,得到如图所示的频率分布直方图已知这 50 人中,恰有 2 名女生的课余使用手机总时间在18,20区间,现在从课余使用手总时间在 18,20样本对应的学生中随机抽取 2 人,则至少抽到 1 名女生的概率为( ) A B C D 11已知 F 为抛物线 C:y24x 的
5、焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交 于 A、B 两点,直线 l2与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A10 B12 C14 D16 12如图,函数 f(x)Asin(x+)(其中 A0,0,|)与坐标轴的三个交 点 P、Q、R 满足 P(2,0),PQR,M 为 QR 的中点,PM2,则 A 的值为 ( ) A B C8 D16 二、填空题 13已知数列an满足 nan+1(n+1)an,且 a612,则 a12 14已知直线 3x+4y+50 与圆 O:x2+y2r2(r0)相交于 A,B 两点,且AOB120, 则 r 15在
6、平行四边形 ABCD 中,BDCD,ABBD,ABCD2,沿 BD 把ABD 翻折起来,形成三棱锥 ABCD,且平面 ABD平面 BCD,则该三棱锥外接球的体积 为 16设函数 f(x),函数 g(x)f(x)2mf(x)+2,若函数 g(x) 恰有 4 个零点,则整数 m 的最小取值为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17已知公差不为零的等差数列an,满足 a37,且 a11,a21,a41 成等比数列 (1)求an的通项公式; (
7、2)在平面直角坐标系中,设 Ak(k,ak),Bk(k,0),kN*,记以 Ak,Ak+1,Bk,Bk+1 四点为顶点的四边形面积为 Sk,求 S1+S3+S2n1 18如图所示,四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为直角梯形,ABCD,ABBC, 平面 ABCD平面 ABB1A1,BAA160,ABAA12BC3CD6 (1)求该四棱柱的体积; (2)在线段 DB1上是否存在点 M,使得 CM平面 DAA1D1?若存在,求 的值;若 不存在,说明理由 19已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (1)证明:3a2c2b2; (2)若,且ABC 的面积
8、为,求 c 20已知函数 (1)若该函数在(1,f(1)处的切线为 yex,求 a,b 的值; (2)若该函数在 x1,x2处取得极值(0x1x2),且 ,求实数 a 的取值范围 21已知椭圆的离心率为 ,与 x 轴交于点 A1,A2,过 x 轴上 一点 Q 引 x 轴的垂线,交椭圆 C 于点 P1,P2,当 Q 与椭圆右焦点重合时,|P1P2|1 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 A1P1与直线 A2P2交于点 P, 是否存在定点 M 和 N, 使|PM|PN|为定值 若 存在,求 M、N 点的坐标;若不存在,说明理由 (二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一
9、题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22已知过点 P(x0,0)的直线 l 的倾斜角为,以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos (1)求曲线 C 的直角坐标方程并写出直线 l 的一个参数方程; (2)若直线 l 和曲线 C 交于 A、B 两点,且|PA| |PB|2,求实数 x0的值 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1| (1)若函数 F(x)f(x)+ax 有最小值,求 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 f(x)|2x+1|x+m|的解集为 A,且,求实数 m
10、 的取值范围 参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1若集合 Ax|x+2|x+2,Bx|x29,则 AB( ) A(3,3) B(2,3) C(3,2 D2,3) 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 解:Ax|x2,Bx|3x3, AB2,3) 故选:D 2已知实数 a,b 满足(i 为虚数单位)则复数 za+bi 的共轭复数为( ) A12i B2i C2+i D1+2i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数相等的条 件求得 a,b 的值,则答案可求 解:
11、由,的 a(1+bi)(1i)1+b+(b1)i, ,即 a2,b1 z2+i,则 故选:B 3“双曲线的方程为 x2y21”是“双曲线的渐近线方程为 yx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】等轴双曲线 x2y21 的渐近线为 yx,反之渐近线为 yx 的双曲线为 x2 y21,然后结合充分必要条件的判定得答案 解:双曲线的方程为 x2y21,则 ab1,其渐近线方程为 yx; 由双曲线的渐近线方程为 yx,可得双曲线方程为 x2y21 则 “双曲线的方程为 x2y21” 是 “双曲线的渐近线方程为 yx” 的充分不必要条件 故选:A
12、 4如果函数 f(x)的图象与函数 g(x)ex的图象关于直线 yx 对称,则 f(4xx2)的 单调递增区间为( ) A(0,+) B(2,+) C(0,2) D(2,4) 【分析】由条件求得 f(4xx2)ln(4xx2),令 t4xx20,解得 0x4故 f (4xx2)的定义域为(0,4),本题即求函数 f(4xx2)在(0,4)上的增区间再 利用二次函数的性质可得结论 解:由题意可得函数 f(x)与 g(x)ex 的互为反函数,故 f(x)lnx, f(4xx2)ln(4xx2), 令 t4xx20,解得 0x4 故 f(4xx2)的定义域为(0,4), 本题即求函数 f(4xx2)
13、在(0,4)上的增区间 再利用二次函数的性质可得函数 f(4xx2)在(0,4)上的增区间为(0,2), 故选:C 5如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试中的成绩(单 位: 分, 每题 5 分, 共 16 题) 已知两组数据的平均数相等, 则 x、 y 的值分别为 ( ) A0,0 B0,5 C5,0 D5,5 【分析】根据茎叶图中数据,利用两组数据的平均数相等列方程得出 x 与 y 的关系,结 合题意求出 x 与 y 的值 解:根据茎叶图中数据,利用两组数据的平均数相等, 得(65+75+70+x+80+80)(70+70+y+70+75+80), 即 5+x
14、y; 所以 x0,y5 故选:B 6 九章算术 是中国古代张苍,耿寿昌所撰写的一部数学专著, 成书于公元一世纪左右, 内容十分丰富书中有如下问题: “今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何? 答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堢 瑽就是圆柱体,它的体积(底面的圆周长的平方高),则该问题中的体积为 估算值,其实际体积(单位:立方尺)应为( ) A528 B C704 D 【分析】利用圆柱体积计算公式即可得出 解:由题意可得:2r48,解得 r, 这个圆柱的体积r211 故选:B 7已知向量,若OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 三角形,则OAB 的面
15、积为( ) A1 B2 C D 【分析】由等腰直角三角形的性质,可得|,且0,应用向量的平方即 为模的平方,以及向量模的公式,可得|OA|,再由等腰直角三角形的面积公式,计算可得 所求值 解:由OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 可得|,且 0, 由已知条件可得| | + |,( ) ( + )0, 化为 22 + 22+2 + 2,22, 即 0,且 22,即| | | , 可得|OA|2, 则OAB 的面积为| |222 故选:B 8如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,终边分别是射线 OA 和 射线 OB射线 OA,OC 与单位圆的交点分别为,C(
16、1,0)若BOC ,则 cos()的值是( ) A B C D 【分析】由三角函数的定义可知,cos,sin,然后结合两角差的余 弦公式即可求解 解:由三角函数的定义可知,cos,sin, cos()coscos+sinsin 故选:C 9在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为线段 CD 和 A1B1上的动点,且 满足 CEA1F,则四边形 D1FBE 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有 公共顶点的三个面上的正投影的面积之和( ) A有最小值 B有最大值 C为定值 3 D为定值 2 【分析】分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可 【
17、解答】 解:依题意,设四边形 D1FBE 的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为 D,F, B,E,则四边形 D1FBE 在上面,后面,左面的投影分别如上图 所以在后面的投影的面积为 S后111, 在上面的投影面积 S上DE1DE1DE, 在左面的投影面积 S左BE1CE1CE, 所以四边形 D1FBE 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三 个面上的正投影的面积之和 SS后+S上+S左1+DE+CE1+CD2 故选:D 10 为了解学生课外使用手机的情况, 某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总 时间,收集了 500 名学生 2019 年 12 月课余使用手
18、机的总时间(单位:小时)的数据从 中随机抽取了 50 名学生,将数据进行整理,得到如图所示的频率分布直方图已知这 50 人中,恰有 2 名女生的课余使用手机总时间在18,20区间,现在从课余使用手总时间在 18,20样本对应的学生中随机抽取 2 人,则至少抽到 1 名女生的概率为( ) A B C D 【分析】课余使用手总时间在18,20样本对应的学生共有 5 人,其中 2 名女生,3 名男 生,从课余使用手总时间在18,20样本对应的学生中随机抽取 2 人,基本事件总数 n 10,至少抽到 1 名女生包含的基本事件个数 m7,由此能求出至少抽 到 1 名女生的概率 解:这 50 人中,恰有
19、2 名女生的课余使用手机总时间在18,20区间, 课余使用手总时间在18,20样本对应的学生共有:500.0525, 课余使用手总时间在18,20样本对应的学生有 2 名女生,3 名男生, 现在从课余使用手总时间在18,20样本对应的学生中随机抽取 2 人, 基本事件总数 n10, 至少抽到 1 名女生包含的基本事件个数 m7, 则至少抽到 1 名女生的概率为 p 故选:B 11已知 F 为抛物线 C:y24x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交 于 A、B 两点,直线 l2与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A10 B12 C
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