河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）2020届高三第一次模拟调研数学（理）试题（含答案解析）

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1、2020 年高考（理科）数学一模试卷年高考（理科）数学一模试卷 一、选择题（共 12 小题） 1若复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D 2集合 的真子集的个数为（ ） A7 B8 C31 D32 3五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物 皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存 在的相生相克的关系 若从 5 类元素中任选 2 类元素， 则 2 类元素相生的概率为 （ ） A B C D 4著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足 a1a21，an+2an+1+an，nN*， 若，则 k（ ） A202

2、0 B4038 C4039 D4040 5已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知， 下列说法错误的是（ ） A该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益 6设函数 f（x）xln，则函数 f（x）的图象可能为（ ） A B C D 7设 x，y 满足约束条件，若 z

3、3x+2y 的最大值为 n，则的展开 式中 x2项的系数为（ ） A60 B80 C90 D120 8已知圆锥的高为 3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上， 则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ） A B C D 9 已知抛物线的焦点为 F， 准线为 l， P 是 l 上一点， 直线 PF 与抛物线交于 A， B 两点，若，则|AB|为（ ） A B40 C16 D 10已知 P 为圆 C：（x5）2+y236 上任意一点，A（5，0），若线段 PA 的垂直平分 线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为（ ） A B C D 11 已知Sn是等差数列an的前n项

4、和， 若S2018S2020S2019， 设bnanan+1an+2， 则数列 的前 n 项和 Tn取最大值时 n 的值为（ ） A2020 B2019 C2018 D2017 12方程 2（x1）sinx+10 在区间2，4内的所有解之和等于（ ） A4 B6 C8 D10 二、填空题 13已知向量，若，则 14 设函数， 则满足 f （x 24） f （3x） 的 x 的取值范围为 15六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的 坐法有 种（用数字回答） 16若方程 axx（a0 且 a1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围为 三、 解答题： 共 70

5、 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤， 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17如图ABC 中，D 为 BC 的中点，AB，AC4，AD3 （1）求边 BC 的长； （2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是BCA 的角平分线，求BCE 的面积 18在四棱椎 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA5，AB6，POAD， O，E 分别为 AD，AB 中点，BAD60 （1）求证：ACPE； （2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值 19 设椭圆 C：+1（ab0） 的左右焦点分别为

6、 F1，F2，离心率是 e，动点 P （x0， y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2）延长 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）设 ， ，求 + 的最小值 20已知函数 f（x）xexae2x（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1x2，若不等式 x1+x20 恒成立，求正 实数 的取值范围 21某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次 NCP 普查， 为此需要抽验 100

7、0 人的血样进行化验， 由于人数较多， 检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次 方案：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血只需检验一次（这时认 为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化 验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p， 且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列； （2）

8、设 p0.1，试比较方案中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 心形线是由一个圆上的一个定点， 当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上 滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1 sin（a0）表示的曲线 C1就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 x

9、Oy 中， 已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若 f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1若复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D 【分析】直接利用商的模等于模的商求解 解：， |z| | 故选：C

10、 2集合 的真子集的个数为（ ） A7 B8 C31 D32 【分析】根据题意，设 x 取一些值，代入求 y 值，再求真子集个数 解：令 x0，则 y2； 令 x1，则 y； 令 x2，则 y0； 则 M 中有三个元素，则有 7 个真子集 故选：A 3五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物 皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存 在的相生相克的关系 若从 5 类元素中任选 2 类元素， 则 2 类元素相生的概率为 （ ） A B C D 【分析】从 5 类元素中任选 2 类元素，基本事件总数 n10，2 类元素相生包含的

11、 基本事件有 5 个，由此能求出 2 类元素相生的概率 解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系 从 5 类元素中任选 2 类元素， 基本事件总数 n10， 2 类元素相生包含的基本事件有 5 个， 则 2 类元素相生的概率为 P 故选：A 4著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足 a1a21，an+2an+1+an，nN*， 若，则 k（ ） A2020 B4038 C4039 D4040 【分析】利用特征根法可求出“斐波那契数列”的通项，利用数列的规律可推导出其前 n 项和与第 k 项的关系，进而可得结论 解：根据题意斐波那契数列an中：满足 a1a21，an+2a

12、n+1+an，nN*， 当 n 为奇数时，an+1an+an1an+an2+an3an+an2+an4+an6an+an2+an4+ +a1+1 则1+a3+a5+a4039a4040 所以 k4040 故选：D 5已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知， 下列说法错误的是（ ） A该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6

13、 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益 【分析】根据折线图，即可判定选项 A，B 正确，计算出 2019 年 7 至 12 月份的总收益和 2019 年 1 至 6 月份的总收益，比较，即可得到选项 C 错误，选项 D 正确 解：由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收入支出的值最大，所以 收益最高，故选项 A 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收入支出的值最小，所以收益 最低，故选项 B 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益为 60+40+30+30+50+30240，20

14、19 年 1 至 6 月份的总收益为 20+30+20+10+30+30140，所以 该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 100 万元， 故 选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：C 6设函数 f（x）xln，则函数 f（x）的图象可能为（ ） A B C D 【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出 f（），则答案可求 解：函数 f（x）xln的定义域为（1，1）， 由 f（x）xlnxlnf（x），得 f（x）为偶函数，排除 A，C； 又 f（）0，排除 D 故选：B 7设 x，y 满足约束条件，若 z3x+2y 的

15、最大值为 n，则的展开 式中 x2项的系数为（ ） A60 B80 C90 D120 【分析】 利用线性规划求解目标函数的最大值 n， 然后利用二项式定理的通项公式求解即 可 解 ： x ， y满 足 约 束 条 件 ， 表 示 的 可 行 域 如 图 ： z3x+2y 化为：yx+， 当直线 yx+经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值为 a， 由解得 A（1，1），n15， 则的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ： ，展开式中 x2项，可得 r2 系数为：80 故选：B 8已知圆锥的高为 3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上， 则这个球的体积与圆锥的体积的比值为

16、（ ） A B C D 【分析】设球的半径为 R，根据圆锥的几何特征，可得 R2（Rh）2+r2，解出半径， 则球的体积可求由此能求出这个球的体积与圆锥的体积的比值 解：设球的半径为 R， 圆锥的高 h3，底面圆的半径 r， R2（Rh）2+r2，即 R2（R3）2+3， 解得：R2， 故该球的体积 V 圆锥体积为：V3， 这个球的体积与圆锥的体积的比值为： 故选：B 9 已知抛物线的焦点为 F， 准线为 l， P 是 l 上一点， 直线 PF 与抛物线交于 A， B 两点，若，则|AB|为（ ） A B40 C16 D 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知：|A

17、B|AF|+|BF|y1+y2+2， 由，可得直线 AB 的斜率为，所以直线 AB 的方程为：yx+1，与 椭圆方程联立，利用韦达定理可求出，从而|AB| 解：抛物线 C 的方程为：x24y，焦点 F（0，1），准线方程为：y1， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由抛物线的定义可知：|AB|AF|+|BF|y1+y2+2， ， 直线 AB 的斜率为， 直线 AB 的方程为：yx+1， 联立方程，消去 x 得：3y210y+30， ， |AB|AF|+|BF|y1+y2+2， 故选：D 10已知 P 为圆 C：（x5）2+y236 上任意一点，A（5，0），若线段 PA 的垂直平分

18、线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为（ ） A B C D 【分析】 由题意可得点 Q 满足双曲线的定义， 且求得 a， c 的值， 再由 b2c2a2求得 b， 则点 Q 的轨迹的方程可求 解：由点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点， |AQ|PQ|， 又|QA|QC|PC|6|AC|10， 满足双曲线定义且 a3，c5， b4， 轨迹方程： 故选：B 11 已知Sn是等差数列an的前n项和， 若S2018S2020S2019， 设bnanan+1an+2， 则数列 的前 n 项和 Tn取最大值时 n 的值为（ ） A2020 B2019 C2018 D2017 【分析】设等差

19、数列an的公差为 d，运用等差数列的性质，可得数列an的公差 d0， 且 a10，a20，a20190，a20200，求得 （ ），计算可得 Tn，分析比较，即可得到所求最大值时 n 的值 解：等差数列an的公差设为 d，若 S2018S2020S2019， 则 S2020S2019a20200，S2019S2018a20190，S2020S2018a 2020+a20190， 即 a2019a20200，a2019da2020+d0，即 a2018a20190，可得 a 2018a2019 a2020a2021， 可得公差 d0，即数列an递减，且 a10，a20，a20190，a20200

20、， （）， 则 Tn（ +） （）， 由 d0，要使 Tn取最大值，可得（ ）取得最小值， 显然0，而 a2a3a3a4a2018a2019a2020a2021a2021a2022， 可得 n2019 时，（）取得最小值， 故选：B 12方程 2（x1）sinx+10 在区间2，4内的所有解之和等于（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由方程可得 sinx，作出函数图象可得解的个数，根据图象的对称关 系即可得出答案 解：由 2（x1）sinx+10，得 sinx， 作出 ysinx 与 y的函数图象如图， 由图象可知两函数图象在2，4上有 8 个交点， ysinx 与 y的函数图象均关于点

21、（1，0）对称， 方程 2（x1）sinx+10 的解的和为 428 故选：C 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量，若，则 10 【分析】根据题意，由向量的数量积与向量垂直的关系可得则 8+y0，解可得 y 的值，即可得 2 + 的坐标，进而计算可得答案 解：根据题意，向量， 若，则 8+y0，解可得 y8； 则 2 + （0，10）， 故|2 + |10； 故答案为：10 14 设函数， 则满足 f （x 24） f （3x） 的 x 的取值范围为 （1， +） 【分析】由分段函数可得 f（x）在 R 上单调递增，讨论 x10，或 x10，解不等式 即可得到

22、所求解集 解：函数， 当 x0 时，f（x）2020， 可得 f（x）在 x0 上单调递增， f（x24）f（3x）， 可得， 即为 1x， 则 f（x24）f（3x）的解集为（1，+）， 故答案为：（1，+） 15六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的 坐法有 135 种（用数字回答） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析： 、 在六位同学中任选 2 人， 坐自己原来的位置， 、分析剩下 4 人不坐自己位置的情况数目，由分步计数原理计算可得答案 解：根据题意，分 2 步进行分析： 、在六位同学中任选 2 人，坐自己原来的位置，有 C6215 种情况， 、

23、假设不坐自己位置的 4 人为 A、B、C、D， A 不坐自己的位置，有 3 种坐法， 假设 A 坐在了 B 的位置，B 有 3 种坐法， 剩下 C、D，只有一种坐法， 则剩下 4 人不坐自己的位置，有 339 种情况， 故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有 159135 种； 故答案为：135 16若方程 axx（a0 且 a1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围为 （1，e） 【分析】 由指数函数的值域可得 x0， 对原方程两边取自然对数， 分离参数可得 lna， 设 f（x），求得导数和单调性、极值和最值，作出 yf（x）的图象，通过图象可 得所求范围 解：由 a0 且 a1，可得

24、axx0， 两边取自然对数，可得 xlnalnx， 即 lna， 设 f（x），可得 f（x）， 当 x（e，+）时，f（x）0，f（x）递减；当 x（0，e）时，f（x）0，f（x） 递增 可得 f（x）在 xe 处取得极大值，且为最大值，当 x+，f（x）0， 作出函数 f（x）的图象，当 0lna，即 1ae时，ylna 与 yf（x）的图象有 两个交点， 即方程 lna有两个不等的实根， 故答案为：（1，e） 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤， 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题

25、：60 分 17如图ABC 中，D 为 BC 的中点，AB，AC4，AD3 （1）求边 BC 的长； （2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是BCA 的角平分线，求BCE 的面积 【分析】（1）由题意可得 cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2 52+9+BD2160，进而解得 BC 的值 （2）由（1）可知ADC 为直角三角形，可求 SADC6，SABC2SADC 12，利用角平分线的性质可得，根据 SABCSBCE+SACE可求 SBCE的值 解：（1）因为 D 在边 BC 上，所以 cosADBcosADC， 在ADB 和ACD 中，由余弦定理可得：+0， 因为

26、AB2，AC4，AD3，BDDC， 所以 9+BD252+9+BD2160， 所以 BD225，解得 BD5， 所以 BC 的长为 10 （2）由（1）可知ADC 为直角三角形， 所以 SADC 6，SABC2SADC12， 因为 CE 是BCA 的角平分线， 所以， 所以 SABCSBCE+SACESBCE+ SBCESBCE12， 所以 SBCE 18在四棱椎 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA5，AB6，POAD， O，E 分别为 AD，AB 中点，BAD60 （1）求证：ACPE； （2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值 【分析】（1）由已知得ABD 为

27、等边三角形，又 O 是 AD 的中点，得 BOAD，求解三 角形证明 POOB，可得 PO平面 ABCD，得 POAC，结合 ABCD 是菱形，得 OE BD，则 ACOE，由线面垂直的判定可得 AC平面 POE，得 ACPE； （2）由题意结合菱形的性质可得 OPOA，OPOB，OAOB，以 O 为坐标原点，建 立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，分别求出平面 POE 的一个法向量与平面 PBD 的一 个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦 值 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为菱形，且BAD60， ABD 为等边三角形， 又O 是 AD

28、 的中点，BOAD， 又AB6，AO3，BO3 又 PO4，PB，则 BO2+PO2PB2，POOB， 又 POAD，ADOBO，PO平面 ABCD，得 POAC 又ABCD 是菱形，OEBD，ACOE， 又 POOEO，AC平面 POE，得 ACPE； （2）解：由题意结合菱形的性质可得 OPOA，OPOB，OAOB 以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz 则：P（0，0，4），B（0，0），O（0，0，0），E（，0），D（3， 0，0） 设平面 POE 的一个法向量为， 由，取 y1，得； 设平面 PBD 的一个法向量为 由，取 y14，得 cos 平面 POE 与平面

29、 PBD 所成锐二面角的余弦值为 19 设椭圆 C：+1（ab0） 的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e，动点 P （x0， y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2）延长 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）设 ， ，求 + 的最小值 【分析】（1）由 PF2x 轴时，x01，y0e 得 c，b 的值，再由 a，b，c 之间的关系求 出椭圆的方程； （2）由（1）得：焦点 F1，F2的坐标，再由，求出 ， 的 值，进而求出之和的值，再由 x02d 的范围，求出 + 的最小值 解：（1）由题意知当 PF2x 轴时

30、，x01，y0e知 c1，e，bc1， 又 a2b2+c22， 所以椭圆的方程为：1； （2）由（1）知 F1（1，0），F2（1，0）设 A（x0，y0）， 由得，即， 代入椭圆方程得：+（y0）21， 又1，得， 两式相减得：12， 因为 +10，所以 2x0+12（1）， 故； 同理可得：， 故 +，当且仅当 x00 时取等号， 故 + 的最小值为 20已知函数 f（x）xexae2x（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1x2，若不等式 x1+x20 恒成立，求正 实数 的取值范围 【分析】（1）问

31、题可等价于 x+12aex0 有两个不等的实根，令，利用 导数研究函数 h（x）的性质，可得 2a（0，1），由此求得实数 a 的取值范围； （2） 显然， x1， x2是方程的两根， 依题意， ， 则， 两边取对数得到对一切 x1（1，0）恒 成立，再构造函数，分 1 及 01 讨论得解 解：（1）由题可知 f（x）（x+1）ex2ae2x0 有两个不等的实根，即 x+12aex0 有两个不等的实根， 令，则， 当 x（，0）时，h（x）0，当 x（0，+）时，h（x）0， h（x）在（，0）单调递增，在（0，+）单调递减， h（x）maxh（0）1， 又 h（1）0，x（，1）时，h（x）

32、0，x（1，+）时，h（x）0， 2a（0，1），即； （2）由（1）知，x1，x2是方程的两根， 1x10x2，则 x1+x20 即为 ， h（x）在（0，+）上单减， ，又 h（x2）h（x1）， ， 即， 两 边 取 对 数 ， 并 整 理 得 ， 对一切 x1（1，0）恒成立， 设，则 当 1 时，F（x）0 对 x（1，0）恒成立， F（x）在（1，0）上单增，故 F（x）F（0）0 恒成立，符合题意； 当 01 时，1（1，0），x（1，0）时，F（x）0， F（x）在（1，0）上单减，F（x）F（0）0，不合题意 综上，1 21某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫

33、工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次 NCP 普查， 为此需要抽验 1000 人的血样进行化验， 由于人数较多， 检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次 方案：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血只需检验一次（这时认 为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化 验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p， 且这些人之间的试验反应相互独立 （

34、1）设方案中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列； （2）设 p0.1，试比较方案中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，依题意知 X 的可能取值，计算分布 列即可； （2）方案中计算每个人的平均化验次数 E（X），分别求出 k2、3、4 时 E（X）的 值，比较即可 解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 q1p； 所以 k 个人的混合后呈阴性的概率为 qk，呈阳性反应的概率为 1qk； 依题意

35、知 X 的可能取值为，1+； 所以 X 的分布列为； X 1+ P qk 1qk （2）方案中，结合（1）知每个人的平均化验次数为： E（X） qk+（1+） （1q k） qk+1； 所以当 k2 时，E（X）0.92+10.69， 此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次； 当 k3 时，E（X）0.93+10.6043， 此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次； 当 k4 时，E（X）0.94+10.5939， 此时 1000 人需要化验的总次数为 594 次； 即 k2 时化验次数最多，k3 时化验次数居中，k4 时化验次数最少； 而采用方案需要化验 1000 次；

36、所以在这三种分组情况下，相比方案， k4 时化验次数最多可以平均减少 1000594406（次） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 心形线是由一个圆上的一个定点， 当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上 滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1 sin（a0）表示的曲线 C1就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方

37、程； （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解： 已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 ， 转换为极坐标方程为（R） （2）由，解得 所以 A（） 由，解得，解得 B（） 所以|AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若 f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2，求 a 的取值范围 【分析】（1）当 a1 时，f（x）

38、，然后由 f（x）7 分别解不等式 即可； （2）由条件可得|x+a|x+2a|x4|x2|在0，2上恒成立，然后求出|x+a|x+2a| 和|x4|x2|最大值即可 解：（1）当 a1 时，f（x）， 当 x1 时，由 f（x）7 得2x+17，解得 x3； 当1x2 时，f（x）7 无解； 当 x2 时，由 f（x）7 得 2x17，解得 x4， f（x）7 的解集为：x|x3，或 x4； （2）f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2等价于|x+a|x+2a|x4|x2|在0，2 上恒成立， 当 x0，2时，|x+a|x+2a|x4|x2|2 等价于（|x+a|x+2a|）max2 恒成立， 而|x+a|x+2a|（x+a）（x+2a）|a|，|a|2，2a2， 故满足条件的 a 的取值范围为：2，2