2020年四川省绵阳市涪城区高考（理科）数学三诊试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考（理科）数学三诊试卷年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共 12 小题） 1若焦合 Ax|x（x2）0，Bx|x10，则 AB（） Ax|x1 或 x0 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1 2若复数 z 满足，复数 z 的共轭复数是，则 z+ （） A1 B0 C1 D 3在ABC 中A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a3，b4，C120，则 c（） A37 B13 C D 4直线与圆 x2+y21 的位置关系是（） A相交 B相切 C相离 D相交或相切 5如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且2，则（） A B C

2、 D 6若 a1，6，则函数在区间2，+）内单调递增的概率是（） A B C D 7函数 f（x）的图象大致为（） A B C D 8一个四面体所有棱长都为 4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（） A24 B C D12 9（x+1）5展开式中的常数项为（） A1 B11 C19 D51 10ABC 中，如果 lgcosAlgsinClgsinBlg2，则ABC 的形状是（） A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 11如图所示，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M，若 m+n ，（m0，n0），m+n2，则AOB

3、的最小值为（） A B C D 12直线 ykx+1 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，直线 lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB 的面积为 S，则 S|AB|的最小值为（） A B C D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知，则f （1） +f （2） +f （2020） 14 已知 x， y 满足且目标函数 z2x+y 的最大值为 7，最小值为 1，则 15 若 f （x） 5k+7 在（0， 2）上单调递减，则 k 的取值范围是 16若函数 f（x）2|x2a|4|x+a|在区间（2，+）上有且仅有一个零点，则实

4、数 a 的取值范围是三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nan （1）求数列an的通项 an；（2）若存在 nN*，使得 an（n+1）成立，求实数的最小值 18为创建文明城市，我市从 2017 年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分（满分 100 分）统计结果如表所示组别 30，40） 40

5、，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100）频数 25 150 200 250 225 100 50 （1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（，210）近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求 P（36Z79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（）得分不低于的可以获得 2 次抽奖机会，得分低于的可以获得 1 次抽奖机会；（）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元） 20 40 概率

6、 0.8 0.2 现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据与公式 14.5，若 XN（，2），则P（X）0.6827； P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.9973 19如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形，ACC1 CC1B160，AC2 （I）求证：AB1CC1；（II）若，求平面 A1B1C1和平面 ACB1所成锐二面角的余弦值 20已知 f（x）exmx （）若曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线也与曲线 yf（x）相切，求实数

7、 m 的值；（）试讨论函数 f（x）零点的个数 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（1，）在椭圆 C 上，满足（）求椭圆 C 的标准方程；（）直线 l1过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2与 l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间）（i）求证：|PM| |KN|PN| |KM|；（ii）是否存在直线 l2，使得直线 l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出 l2的方程；若不能，请说明理由请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按

8、所做的第一题计分，选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 sin （1）求曲线 C1的极坐标方程；（2）设 C1和 C2交点的交点为 A，B，求AOB 的面积选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x2+2x （）解关于 x 的不等式 g（x）f（x）|x1|；（）如果对xR，不等式 g（x）+cf（x）|x1|恒成立，求实数 c 的取值范围参考答案一、选择题：共 12

10、（） A37 B13 C D 【分析】由已知结合余弦定理即可求解解：因为 a3，b4，C120，由余弦定理可得，c2a2+b22abcosC9 37 故 c 故选：D 4直线与圆 x2+y21 的位置关系是（） A相交 B相切 C相离 D相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到 d，结合基本不等式 a2+b22ab （ab0），可得 d 的取值范围，即可得到与原的位置关系解：圆心（0，0）到直线的距离 d，因为 a2+b22ab（ab0），代入可得 d1，故选：D 5如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且2，则（） A B C D

11、【分析】由平面向量的基本定理得：（），得解解：（），故选：C 6若 a1，6，则函数在区间2，+）内单调递增的概率是（） A B C D 【分析】求出函数 y在区间2，+）内单调递增时，a 的范围，以长度为测度，即可求出概率解：函数 y在区间2，+）内单调递增， y10，在2，+）恒成立， ax2在2，+）恒成立， a4 a1，6， a1，4，函数 y在区间2，+）内单调递增的概率是，故选：C 7函数 f（x）的图象大致为（） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数且在（0，+）上为增函数，据此分析选项即可得答案解：根据题意，函数 f（x），则

12、 f（x）ln f（x），即函数 f（x）为偶函数，排除 A、D；对于 f（x），设 t，则 ylnt；在（0，+）上，tx（1），易得 t 在（0，+）上为增函数，又由 ylnt 在（0，+）上为增函数，则 f（x）在（0，+）为增函数，排除 C；故选：B 8一个四面体所有棱长都为 4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（） A24 B C D12 【分析】由四面体 ABCD 所有棱长都为 4，求出边长 CD4， CD 边上的高 BE2，侧棱 AB 在底面上的射影 BG，三棱锥的高 AG，由此求出球 O 的半径 r，由此能求出球的表面积解：四面体 ABCD 所有棱长

13、都为 4，如图，边长 CD4，CD 边上的高 BE2，侧棱 AB 在底面上的射影 BG，三棱锥的高 AG，设 OAOBr，则 r2（r）2+（）2，解得 r ，球的表面积 S球4r224 故选：A 9（x+1）5展开式中的常数项为（） A1 B11 C19 D51 【分析】类比二项展开式的通项处理即可解：依题意，（x+1）5展开式中 r 个因式选择 x，s 个因式选择，则展开项为： T ，要使该项为常数，则 r1，当 rs0 时，对应常数为 1；当 rs1 时，对应常数为20；当 rs2 时，对应常数为30；所以展开式的常数项为 120+3011 故选：B 10ABC

14、中，如果 lgcosAlgsinClgsinBlg2，则ABC 的形状是（） A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形【分析】由 lgcosAlgsinClgsinBlg2 可得 lgcosAlglg2 可得结合 0A 可求，代入 sinCsinB ，从而可求 C，B，进而可判断解：由 lgcosAlgsinClgsinBlg2 可得 lgcosAlglg2 0A， sinCsinB tanC，C，B 故选：B 11如图所示，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M，若 m+n ，（m0，n0），m+n2，则AOB 的最小值为（

15、） A B C D 【分析】设圆 O 的半径为 1，对m+n，两边平方可得 1m2+2mncosAOB+n2，根据已知条件可知 m，n（0，2），所以将 m2n 带入上式并求出 cosAOB 的表达式，进而得到答案解：由已知条件知，m，n（0，2），设圆 O 的半径为 1； 2（m +n）2； 1m2+2mncosAOB+n2；将 m2n 带入并整理得2n2+4n3（2n2+4n）cosAOB； cosAOB1+； n（0，2）时，2n24n0；且 n1 时，2n24n 取最小值2，1+ 取最大值；此时，AOB，即为最小值故选：A 12直线 ykx+1 与抛物线 C：x24

16、y 交于 A，B 两点，直线 lAB，且 l 与 C 相切，切点为 P，记PAB 的面积为 S，则 S|AB|的最小值为（） A B C D 【分析】设出 A，B 的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得 P 到 AB 的距离，得到PAB 的面积为 S，作差后利用导数求最值解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得 x24kx40，则 x1+x24k，则|AB| 由 x24y，得，设 P（x0，y0），则，x02k，则点 P 到直线 ykx+1 的距离 d，从而 S S|AB| （d1）令 f（x）2x34

17、x2，f（x）6x28x（x1）当 1x时，f（x）0，当 x时，f（x）0，故，即 S|AB|的最小值为故选：D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知，则 f（1）+f（2）+f（2020）【分析】根据题意，函数的解析式变形可得 f（x）2sin，分析可得其周期，进而可得 f （1） +f （2） +f （2020） f （1） +f （2） +f （3） +f （4） 2sin+2sin+2sin+2sin ，进而计算可得答案解：根据题意，2sin （+） cos（+）2sin ，其周期 T6， f（1）+f（2）+f（2020）f（1）+f（

18、2）+f（3）+f（4）2sin+2sin+2sin+2sin ；故答案为： 14 已知 x， y 满足且目标函数 z2x+y 的最大值为 7，最小值为 1，则 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可解：由题意得：目标函数 z2x+y 在点 B 取得最大值为 7，在点 A 处取得最小值为 1， A（1，1），B（3，1），直线 AB 的方程是：xy20，则2 故填：2 15若 f（x）5k+7 在（0，2）上单调递减，则 k 的取值范围是（，1 【分

19、析】f（x）5k+7 在（0，2）上单调递减f（x）kx2+2（k 2）x0 在 x（0，2）恒成立，分当 k0，当 k0，当 k0 时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可解：f（x）5k+7 在（0，2）上单调递减， f（x）kx2+2（k2）x0 在 x（0，2）恒成立，当 k0，f（x）kx2+2（k2）x 的图象开口向下，对称轴方程为 x 1+0，当 x（0，2）时，f（x）0 恒成立，故 f（x） 5k+7 在（0，2）上单调递减，满足题意；当 k0 时，f（x）2x2+7 的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；当 k0 时，由 f（x）0 对x（0，2

20、）恒成立得：，解得 0k1；综上所述，k（，1 故答案为：（，1 16若函数 f（x）2|x2a|4|x+a|在区间（2，+）上有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是 a0 或 a 【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为 y2|x2a，y22|x+a| 图象的交点解：若函数 f（x）2|x2a|4|x+a|在区间（2，+）上有且仅有一个零点，令 g（x）2|x2a|，h（x）4|x+a|22|x+a|，即 g（x）与 h（x）图象在（2，+）有且只有一个交点 g（x），h（x）在（，+）单调递增，所以2（x+a）x2a 在（2，+）恒成立，即 a； 2（x+a）（x2a）在（

21、2，+）恒成立，即 a0 故 a 的取值范围是 a0 或 a 故答案为：a0 或 a 三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nan （1）求数列an的通项 an；（2）若存在 nN*，使得 an（n+1）成立，求实数的最小值【分析】（1）把已知等式中的 n 换成 n1，再得到一个式子，两式相减可得，求得 a21，累乘化简可得数列an的通项 an （2），由（1）可知当 n2 时，，可证是递增数列，又及，可得，由此求得实数的最小值解：（1）当 n2 时，由 a11 及可得

22、两式相减可得 nan，化简可得，a21 综上可得，（2），由（1）可知当 n2 时，设，则，故当 n2 时，是递增数列又及，可得，所以所求实数的最小值为 18为创建文明城市，我市从 2017 年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分（满分 100 分）统计结果如表所示组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100）频数 25

23、 150 200 250 225 100 50 （1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（，210）近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求 P（36Z79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（）得分不低于的可以获得 2 次抽奖机会，得分低于的可以获得 1 次抽奖机会；（）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元） 20 40 概率 0.8 0.2 现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得

24、的所有奖券面值和，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据与公式 14.5，若 XN（，2），则P（X）0.6827； P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.9973 【分析】（1）由题意求出 Ez65，从而 65，进而 P（50.5z79.5）0.6287，p （36Z94）0.9545由此能求出 p（36Z79.5）（2）由题意知 P（z）P（Z），获奖券面值 X 的可能取值为 20，40，60， 80分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX 解：（1）由题意得 Ez350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+95 0.056

25、5 65，14.5， P（50.5z79.5）0.6287， p（36Z94）0.9545 p（36Z50.5）0.1359，综上， p （36Z79.5） p （36Z50.5） +p （50.5Z79.5） 0.1359+0.62870.8186 （2）由题意知 P（z）P（Z），获奖券面值 X 的可能取值为 20，40，60，80 P（X20）， P（X40）， P（X60）， P（X80） X 的分布列为： X 20 40 60 80 P EX+36 19如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形，ACC1 CC1B160，AC2 （I）

26、求证：AB1CC1；（II）若，求平面 A1B1C1和平面 ACB1所成锐二面角的余弦值【分析】（I）取 CC1中点为 O，连结 AC1，CB1，OA，OB1，推导出 CC1OA，CC1 OB1，从而 CC1平面 AOB1，由此能证明 AB1CC1 （II）以，分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面 A1B1C1和平面 ACB1所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（I）取 CC1中点为 O，连结 AC1，CB1，OA，OB1，解：（II）由（I）及 AC2 知，又 AOOB1，以，分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，

27、0），C（0，1， 0），，设平面 A1B1C1的法向量为（a1，b1，c1），平面 ACB1的法向量为（a2，b2，c2），则，取（1，1）（1，1），设平面 A1B1C1与平面 ACB1所成锐二面角为，则 cos 平面 A1B1C1和平面 ACB1所成锐二面角的余弦值为 20已知 f（x）exmx （）若曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线也与曲线 yf（x）相切，求实数 m 的值；（）试讨论函数 f（x）零点的个数【分析】（）求得 ylnx 的导数，可得切线的斜率和方程，求 yf（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得 m 的方程，解方程

28、，结合构造函数，即可得到所求值；（）求得 f（x）的导数，讨论 m0，m0，me，0me，me，判断 f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数解：（）ylnx 的导数为 y，可得曲线 ylnx 在点（e2，2）处的切线斜率为 e2，切线方程为 y2e2（xe2）， f（x）exmx 的导数为 f（x）exm，设与曲线 yf（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为 esm，则 esme2，tesms2+se21，化为 esses1，设 yexxex，可得 yxex，当 x0 时函数 y 递减，x0 时函数 y 递增，可得 x0 处函数 y 取得最

29、大值 1，解得 s0，m1e2；（）f（x）exmx 的导数为 f（x）exm，当 m0 时，f（x）0，f（x）在 R 上递增，当 m0 时，f（x）ex无零点；当 m0 时，x，f（x），可得 f（x）有一个零点；当 m0 时，由 xlnm，f（x）0，f（x）递增，由 xlnm，f（x）0，f（x）递减，可得 f（x）在 xlnm 处取得极小值，且为最小值 mmlnm，当 mmlnm0，即 0me 时，f（x）无零点；当 mmlnm0，即 me 时，f（x）有一个零点；当 mmlnm0 即 me 时，f（x）有两个零点综上可得，0me 时，f（x）无零点； m0 或

30、 me 时，f（x）有一个零点； me 时，f（x）有两个零点 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（1，）在椭圆 C 上，满足（）求椭圆 C 的标准方程；（）直线 l1过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2与 l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间）（i）求证：|PM| |KN|PN| |KM|；（ii）是否存在直线 l2，使得直线 l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出 l2的方程；若不能，请说明理由【分析】（）根据题意，设 F1（c，

31、0），F2（c，0），则有（c1，）（c1，），解可得题意可得 c 的值，进而由椭圆的定义可得 a 的值，计算可得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（）（）设 l1方程为 yk（x1），与 1 联立，可得关于 x 的一元二次方程，令0 解可得 k 的值，结合题意可以设直线 l2方程，联立两直线方程，整理可得 x2+tx+t230，由根与系数的关系分析可得 PM、PN 关于直线 x1 对称，即MPK NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（）由（）知，kPM+kPN0，kl1，kl2，假设存在直线 l2，满足题意不妨设 kPMk，kPNk，（k0），由等比

32、数列的性质分析可得 q1，进而分析可得结论解：（）设 F1（c，0），F2（c，0），c0，则（c1，）（c1，）1c2+，所以 c1，因为 2a|PF1|+|PF2|4，所以 a2，又由 c1，则 b2a2c23，故椭圆 C 的标准方程为1；（）（）证明：设 l1方程为 yk（x1），与1 联立，消 y 得（4k2+3）x2+（12k8k2）x+（32k）2120 由题意知0，解得 k，因为直线 l2与 l1的倾斜角互补，所以 l2的斜率是设直线 l2方程：yx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得 x2+tx+t230，由0，得 t24，x1+x

33、2t，x1 x2t23；直线 PM、PN 的斜率之和 kPM+kPN 0 所以 PM、PN 关于直线 x1 对称，即MPKNPK，在PMK 和PNK 中，由正弦定理得，又因为MPKNPK，PKM+PKN180 所以故|PM| |KN|PN| |KM|成立；（）由（）知，kPM+kPN0，kl1，kl2，假设存在直线 l2，满足题意不妨设 kPMk，kPNk，（k0）若，k，k 按某种排序构成等比数列，设公比为 q，则 q1 或 q21 或 q3 1 所以 q1，则 k，此时直线 PN 与 l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线 l2，满足题意请考生在22、23题中任选一

34、题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 sin （1）求曲线 C1的极坐标方程；（2）设 C1和 C2交点的交点为 A，B，求AOB 的面积【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积解：（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），消去参数的 C1的直角坐标方程为：x24x+y20 所以：C1的极坐标方程为

35、 4cos （2）解方程组，得到：4sincos 所以：，则：（kZ）当（kZ）时，当（kZ）时，2 所以：C1和 C2的交点极坐标为：A（），B（）所以：故ABO 的面积为选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x2+2x （）解关于 x 的不等式 g（x）f（x）|x1|；（）如果对xR，不等式 g（x）+cf（x）|x1|恒成立，求实数 c 的取值范围【分析】先将 M，N 化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解：（）函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，g（x）f（x）（x2 2x）， g（x）x2+2x，xR原不等式可化为 2x2|x1|0 上面不等价于下列二个不等式组：，或，由得，而无解原不等式的解集为（）不等式 g（x）+cf（x）|x1|可化为：c2x2|x1| 作出函数 F（x）2x2|x1|的图象（这里略）由此可得函数 F（x）的最小值为，实数 c 的取值范围是