2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（下）期中数学试卷（文科）（含详细解答）

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1、2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2k，kZ，Bx|1x4，则集合 AB 中元素的个数为 （ ） A2 B3 C4 D5 2 （5 分）已知复数 Z（1i）2，则复数 Z 的虚部是（ ） A2 B2 C2i D2i 3 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A B C D 4 （5 分）已知如表所示数据的回归直线方程为 4

2、x4，则实数 a 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 a 23 A15 B16 C17 D18 5 （5 分）执行如图程序，如果输入的 a5，b3，那么输出的结果为（ ） A5，3 B3，5 C3，3 D5，5 第 2 页（共 22 页） 6 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（ ） A30 B45 C60 D120 7 （5 分）函数 y2|x|sin2x 的图象可能是（ ） A B C D 8（5 分） 设直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的， 则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 9 （5 分）已知数列an满足

3、递推关系：，则 a2018（ ） A B C D 10（5 分） 如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若 该几何体的体积是，则它的表面积是（ ） 第 3 页（共 22 页） A17 B18 C D36 11 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且满足 f（x）+xf（x）0（f（x）是 f（x）的导函数） ，则不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，+） D （，2） 12 （5 分）已知函数 f（x）为 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）|x22x|，函数 g（x） f3（x）（

4、b+1）f2（x）+bf（x） ，b（0，1） ，则函数 g（x）的零点的个数是（ ） A10 B11 C12 D13 二、填空二、填空题（本大题共题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 14 （5 分）已知 zx+y，且 x，y 满足，则 z 的最小值为 15（5 分） 已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直， 且， 则此三棱锥外接球的表面积为 16 （5 分）已知偶函数 yf（x）在区间1，0上单调递增，且满足 f（1x）+f（1+x） 0，给出下列判断： f（3）0；f（x）在0，2上是减函数；f（x）的图象关与直线 x1 对

5、称；函 数 f（x）在 x0 处取得最大值；函数 yf（x）没有最小值，其中判断正确的序号 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列bn中， （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （ 12 分 ） 锐 角 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 （1）求 C； （2）若 c3，ABC

6、 的面积为，求ABC 的周长 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 第 4 页（共 22 页） （1）求证：平面 BDE平面 PAC； （2）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 PBDE 的体积 20 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽 取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如下： （1）网箱产量不低于 40kg 为“理想网箱” ，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99.9%的把握认为“理想网箱”

7、的数目与养殖方法有关： 箱产量40kg 箱产量40kg 合计 旧养殖法 新养殖法 合计 （2）已知旧养殖法 100 个网箱需要成本 50000 元，新养殖法 100 个网箱需要增加成本 15750 元，该水产品的市场价格为 x 元/kg（x15） ，根据箱产量的频率分布直方图（说 明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表） ，采用哪种养殖法，请给养殖户一个较 好的建议，并说明理由 附参考公式及参考数据： p（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 第 5 页（共 22 页） 27.5 0.012+32.5 0.014+37.5 0.024+

8、42.5 0.034+47.5 0.04+52.5 0.032+57.5 0.02+62.5 0.012+67.5 0.012 9.4237.5 0.004+42.5 0.02+47.5 0.044+52.5 0.068+57.50.046+62.50.010+67.50.00810.47 21 （12 分）已知椭圆 C：的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF2的周长为 16 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+m 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OAOB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的

9、结论 22 （12 分）已知函数 f（x）aex2x （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）ex恰有两个整数解，求 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（下）期中数学试卷（文科）学年湖南省衡阳八中高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2k，kZ，Bx|1x4，则集合 AB 中元素的个数为 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】进行交集的运算即可求出 AB，从而得

10、出 AB 所含元素的个数 【解答】解：Ax|x2k，kZ，Bx|1x4； AB0，2，4； AB 中元素的个数为 3 故选：B 【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算，集合元素的定义 2 （5 分）已知复数 Z（1i）2，则复数 Z 的虚部是（ ） A2 B2 C2i D2i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：Z（1i）212i+i22i， 复数 Z 的虚部是2 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正

11、方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A B C D 第 7 页（共 22 页） 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即 可 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方 形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S， 则对应概率 P， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解 决本题的关键 4 （5 分）已知如表所示数据的回归直线方程为 4x4，则实数 a 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 a 23 A15 B16 C

12、17 D18 【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值 【解答】解：， ， 样本中心点的坐标为（4，） ， 代入 4x4，得，解得 a15 故选：A 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 5 （5 分）执行如图程序，如果输入的 a5，b3，那么输出的结果为（ ） 第 8 页（共 22 页） A5，3 B3，5 C3，3 D5，5 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a，b 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a5，b3， 满足条件 ab，执行循环体，c

13、5，a3，b5， 不满足条件 ab，退出循环，输出 a 的值为 3，b 的值为 5 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模 拟程序法进行解答，属于基础题 6 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（ ） A30 B45 C60 D120 【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向 量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值 【解答】解：，； ； 又 0ABC180； ABC30 故选：A 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角 的余弦公式，向量夹角的范围

14、，已知三角函数值求角 7 （5 分）函数 y2|x|sin2x 的图象可能是（ ） 第 9 页（共 22 页） A B C D 【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果 【解答】解：根据函数的解析式 y2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除 A 和 B 当 x时，函数的值也为 0， 故排除 C 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用 8（5 分） 设直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的， 则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意得到直线 l 的方程，再由点到直线的距离公式列式求解 【解答】解：由题

15、意，不妨设直线 l 的方程为，即 bx+cybc0 则，即 该椭圆的离心率为 故选：A 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题 9 （5 分）已知数列an满足递推关系：，则 a2018（ ） A B C D 【分析】本题可将递推式倒过来通过计算可发现数列是以 2 为首项，1 为公差的等 差数列则可求出数列的通项公式，再求出数列an的通项公式，即可得到结果 【解答】解：由题意，可将递推式倒过来，得： ， 1， 2， 数列是以 2 为首项，1 为公差的等差数列 2+（n1）1n+1 an a2018 故选：D 【点评】本题主要考查将递推式

16、转化为通项公式，本题属中档题 10（5 分） 如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若 该几何体的体积是，则它的表面积是（ ） A17 B18 C D36 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积的应用求出结 果 第 11 页（共 22 页） 【解答】解：由几何体的三视图，转换为几何体为： 该几何体为球体的， 故：， 解得：r3， 如图所示： 所以球体的表面积为 S+43236+ 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 11 （5

17、分）已知函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且满足 f（x）+xf（x）0（f（x）是 f（x）的导函数） ，则不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，+） D （，2） 【分析】函数 f（x）的定义域为（0，+） ，由 f（x）+xf（x）0，可得xf（x）0， 令 g（x）xf（x） ，x（0，+） ，可得函数 g（x）在 x（0，+）上单调性，进而得 出不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 由 f（x）+xf（x）0， xf（x）0， 令 g（x）xf（x） ，x（0，+

18、） ， 则函数 g（x）在 x（0，+）上单调递减， x1 时，x21x1， g（x21）g（x1） ， （x21）f（x21）（x1）f（x1）（x+1）f（x21）f（x1） 不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（1，+） 故选：C 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）为 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）|x22x|，函数 g（x） f3（x）（b+1）f2（x）+bf（x） ，b（0，1） ，则函数 g（x）

19、的零点的个数是（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】 由函数的零点与函数图象的交点个数问题及数形结合的数学思想方法得： 函数 g （x）的零点的个数即函数 tf（x）的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 交点个数之和， 又函数 tf（x）的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 的位置关系如图所示，则函数 tf（x） 的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 交点个数之和为 13，得解 【解答】 解：设 tf（x） ， 则 t3（b+1）t2+bt0， 则 t0 或 tb 或 t1， 则函数 g（x）的零点的个数即函数 tf（x）的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 交点个数 之和，

20、 又函数 tf（x）的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 的位置关系如图所示， 则函数 tf（x）的图象与直线 t0 或 tb 或 t1 交点个数之和为 13， 则函数 g（x）的零点的个数是 13， 故选：D 【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点个数问题，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 13 页（共 22 页） 13 （5 分） 【分析】根据指数幂的运算法则进行计算即可 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题主要考查指数幂的运算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，考查学生的运 算能力，比较基础 14

21、 （5 分）已知 zx+y，且 x，y 满足，则 z 的最小值为 2 【分析】画出不等式组表示的平面区域，由图形找出最优解，再计算目标函 数 zx+y 的最小值 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示； 由图形知目标函数 zx+y 过点 P 时，z 取得最小值， 由，解得点 P（3，1） ， 所以 z 的最小值为 zmin312 第 14 页（共 22 页） 故答案为：2 【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题 15（5 分） 已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直， 且， 则此三棱锥外接球的表面积为 16 【分析】以 PA，PB，PC 分棱构

22、造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积 【解答】解：如图，PA，PB，PC 两两垂直， 以 PA，PB，PC 为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球， 由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心， 三棱锥的外接球的半径为 R 此三棱锥外接球的表面积为 42216 故答案为：16 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题 16 （5 分）已知偶函数 yf（x）在区间1，0上单调递增，且满足 f（1x）+f（1+x） 0，给出下列判断： f（3）0；f（x）在0，2上是减函

23、数；f（x）的图象关与直线 x1 对称；函 数 f（x）在 x0 处取得最大值；函数 yf（x）没有最小值，其中判断正确的序号是 【分析】根据题意，依次分析 5 个判定，综合即可得答案 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：根据题意，依次分析 5 个判定， 对于，f（x）满足 f（1x）+f（1+x）0，则有 f（1+x）f（1x）f（x1） ， 所以 f（4+x）f（x） ，所以函数的周期是 4， 对于 f（1x）+f（1+x）0，当 x0 时，f（1）+f（1）0，所以 f（1）0，则 f（ 3）f（1）0，又由 f（x）为偶函数，则 f（3）f（3）0，正确； 对于，f（x）满足 f

24、（1x）+f（1+x）0，则 f（x）的图象关于点（1，0）对称，又 由 f（x）为偶函数，则 f（x）的图象关于点（1，0）对称， 若函数 yf（x）在区间1，0上单调递增，则 f（x）在2，0上都是增函数，又由又 由 f（x）为偶函数，则 f（x）在0，2上是减函数，正确； 对于，f（x）满足 f（1x）+f（1+x）0，则 f（x）的图象关于点（1，0）对称， 错误； 对于，f（x）在2，0上为增函数，在0，2上是减函数，且 f（x）的周期为 4，则 函数 f（x）在 x0 处取得最大值；正确； 对于，f（x）在2，0上为增函数，在0，2上是减函数，且 f（x）的周期为 4，则 函数 f

25、（x）在 x2 或 x2 出取得最小值，错误； 则正确的是； 故答案为： 【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性、单调性的判定，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列bn中， （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相

26、减法求出数列的和 【解答】解：an1+2（n1）2n1， ， 3b141， b11 当 n2 时， 第 16 页（共 22 页） ， ，b11 满足上式， ， ， 得： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题 18 （ 12 分 ） 锐 角 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 （1）求 C； （2）若 c3，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和角正弦公式可求 sin（A+B） ，进而可求 sinC，

27、即 可求 C； （2）由已知结合余弦定理，c2a2+b22abcosC，可求 ab，进而可求 a+b，从而可求周 长 【解答】解： （1）， ， ， ； 又因为ABC 为锐角三角形， ； （2）c2a2+b22abcosC，c3， 9a2+b2ab（a+b）23ab 第 17 页（共 22 页） ， ab6， （a+b）227， ， ， ABC 的周长为 【点评】本题主要考查了正弦定理，和角三角公式，余弦定理等知识的综合应用，属于 中档试题 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （1）

28、求证：平面 BDE平面 PAC； （2）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 PBDE 的体积 【分析】 （1）通过去证 BD 与 PA，AC 垂直，证得 BD 垂直平面 PAC，进而得面面垂直； （2） 先证 E 为中点， 然后通过顶点转换把 PBDE 的体积转化为 PABC 体积的四分之 一即可得解 【解答】解： （1）证明：PAAB，PABC， PA面 ABC， 又BD面 ABC， PABD ，又 ABBC2，D 为线段 AC 的中点， BDAC， BD面 PAC， 又BD面 BDE， 平面 BDE平面 PAC； 第 18 页（共 22 页） （2）PA平面 BDE，平面 PAC平面 BD

29、EED， EDPA， D 为 AC 中点， E 为 PC 中点， VPBDEVABDE 故三棱锥 PBDE 的体积为 【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面平行，转化法求锥体体积，难度适中 20 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽 取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如下： （1）网箱产量不低于 40kg 为“理想网箱” ，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关： 第 19 页（共 22 页） 箱产量40kg 箱产量40kg 合计 旧养殖法 新养殖法

30、合计 （2）已知旧养殖法 100 个网箱需要成本 50000 元，新养殖法 100 个网箱需要增加成本 15750 元，该水产品的市场价格为 x 元/kg（x15） ，根据箱产量的频率分布直方图（说 明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表） ，采用哪种养殖法，请给养殖户一个较 好的建议，并说明理由 附参考公式及参考数据： p（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 27.5 0.012+32.5 0.014+37.5 0.024+42.5 0.034+47.5 0.04+52.5 0.032+57.5 0.02+62.5 0.012+67

31、.5 0.012 9.4237.5 0.004+42.5 0.02+47.5 0.044+52.5 0.068+57.50.046+62.50.010+67.50.00810.47 【分析】 （1）根据题意列出列联表，代入公式计算出 K2，查临界值表判断即可； （2）求出两种方法养殖的产量平均数，表示出产量，列不等式求解即可 【解答】解： （1）由题可填写联表： 箱产量40kg 箱产量40kg 合计 旧养殖法 25 75 100 新养殖法 2 98 100 合计 27 173 200 所以有 99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关（6 分） （2）由频率分布直方图可得： 旧养殖法

32、100个网箱产量的平均数： +52.5 第 20 页（共 22 页） 0.032+57.50.02+62.50.012+67.50.012）5 47.1； 新养殖法 100 个网箱产量的平均数； +52.50.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008）552.35（8 分） 设新养殖法 100 个网箱获利为 f（x） ，则 f（x）52.35100x657505235x65750 （x15） 设旧养殖法 100 个网箱获利为 g（x） ，则 g（x）47.1100x500004710x50000 （x15） 由 f（x）g（x）可得：x30 所以当 x30 时，采用新

33、养殖法； 当 x30 时，两种方法均可； 当 15x30 时，采用旧养殖法 【点评】本题考查了独立性检验，列联表的列法及应用等，属于基础题 21 （12 分）已知椭圆 C：的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF2的周长为 16 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+m 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OAOB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结论 【分析】 （1）根据椭圆的定义和离心率可得； （2）将直线 ykx+m 代入椭圆，利用韦达定理和0，可得 5m216（1+k2） ，再 由点到直线

34、的距离可得 【解答】解： （1）由题意知，4a16，则 a4， 由椭圆离心率，则， 椭圆 C 的方程（4 分） （2）由题意，直线 AB 斜率存在， 直线 AB 的方程为 ykx+m， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 第 21 页（共 22 页） 联立方程，消去 y 得（1+4k2）x2+8kmx+4m2160 由已知0， 由 OAOB，即， 则 x1x2+y1y20，即 x1x2+（kx1+m） （kx2+m）0， 整理得：， 5m216（1+k2） ，满足0 点 O 到直线 AB 的距离为定值 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）aex2x

35、 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）ex恰有两个整数解，求 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x）aex2x，可得 f（x）aex2对 a 分类讨论即可得出单调性 （2）由 f（x）ex恰有两个整数解可得恰有两个整数解，设，利 用导数研究其单调性极值与最值，画出图象，即可得结论 【解答】解： （1）f（x）aex2x，f（x）aex2 第 22 页（共 22 页） 当 a0 时，f（x）0，f（x）为 R 上的减函数； 当 a0 时，由 f（x）0 可得， 此时函数 f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）由 f（x）ex恰有两个整数解可得恰有两个整数解， 设， 由 g（x）0 可得 x1 所以 g（x）在（，1）上为单调递增函数，在1，+）上为单调递减函数 又，g（0）1，+1， 根据数形结合可得当， 综上所得：当时，f（x）ex恰有两个整数解 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题