2020年四川省内江市、广安市等九市高考(文科)数学第二次诊断试卷(含答案解析)
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1、2020 年高考(文科)数学第二次诊断测试试卷年高考(文科)数学第二次诊断测试试卷 一、选择题. 1已知集合,B2,1,0,1,2,3,则 AB( ) A2,1,0,1,2 B0,1,2,3 C1,2,3 D2,3 2 已知i为虚数单位, 则复数, 则z在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3“x1”是“log2x0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 f(x)Asin(x+)(其中 A0,0,)的图象如图,则此函数 表达式为( ) A B C D 5已知 m,n 是两条不重合的直线, 是一个平面,
2、则下列命题中正确的是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn C若 mn,m 则 n D若 m,n,则 mn 6已知实数 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为( ) A1 B2 C7 D8 7已知 a,b,c 分别是ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+csinAb+c,则 A ( ) A B C D 8周易是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图,包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦(每卦由三个爻组成,其中“”表示 一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两 个阴爻的概率为( ) A B C D 9如图
3、,平面四边形 ACBD 中,ABBC,ABDA,ABAD1,BC,现将ABD 沿 AB 翻折,使点 D 移动至点 P,且 PA&AC,则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 ( ) A8 B6 C4 D 10设 F1,F2是双曲线 C:1(a0b0)的左,右焦点,O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,若|PF1|OP|,则 C 的离心率为( ) A B2 C D 11函数 f(x)ax2 与 g(x)ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点,则 a 的取值 范围是( ) A B C(,e D(,e2 12已知抛物线 C:y24x 和点 D(2,0),直线 xty2 与抛
4、物线 C 交于不同两点 A,B, 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断: 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2; AEy 轴; 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切 其中,所有正确判断的序号是( ) A B C D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知平面向量 (m,2), (1,3),且 ( ),则向量 与 的夹角的 大小为 14某中学举行了一次消防知识竞赛,将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组,绘制如图所 示的频率分布直方图,记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组,已知 第二组的频数是 80,则成绩在区间80,100的学生人
5、数是 15已知 sin(+),且,则 cos 16已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f(x),若 x0 时,f(x)2x,则 不等式 f(2x)f(x1)3x2+2x1 的解集是 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答(一)必考题:共 60 分 17某商场为改进服务质量,随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查,调查后,就 顾客“购物体验”的满意度统计如表: 满意 不满意 男 40 40 女 80 40 (1)是否有 97.5%的把握认为顾客
6、购物体验的满意度与性别有关? (2)若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 6 人发放价值 100 元的购物 券若在获得了 100 元购物券的 6 人中随机抽取 2 人赠其纪念品,求获得纪念品的 2 人 中仅有 1 人是女顾客的概率 附表及公式:K2 P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18已知等差数列an满足 a11,公差 d0,等比数列bn满足 b1a1,b2a2,b3a5 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)若数列cn满足 ,
7、求cn的前 n 项和 Sn 19如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,BAD60,PAD 是边长为 2 的正三角形,E 为线段 AD 的中点 (1)求证:平面 PBC平面 PBE; (2)是否存在满足的点 F,使得?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其短半轴长为 1,一个焦点坐标为(1,0),点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线上,且 OAOB (1)证明:直线 AB 与圆 x2+y21 相切; (2)求AOB 面积的最小值 21已知函数 f(x)exxlnx+ax,f(x)为 f(x)的导数,函数 f(x)在 xx0处取得最
8、 小值 (1)求证:lnx0+x00; (2)若 xx0时,f(x)1 恒成立,求 a 的取值范围 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选-题作答,如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为以 O 为极点,x 轴正半轴为极 轴建立,极坐标系,设点 A 在曲线 C2:sin1 上,点 B 在曲线 C3: 上,且AOB 为正三角形 (1)求点 A,B 的极坐标; (2)若点 P 为曲线 C1上的动点,M 为线段 AP 的中点,求|BM|的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x+1|
9、 (1)解不等式:f(x)+f(x2)6; (2)求证:f(x+a2)f(x1)|x+2a2+3|+|x+2aa2| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知集合,B2,1,0,1,2,3,则 AB( ) A2,1,0,1,2 B0,1,2,3 C1,2,3 D2,3 【分析】可以求出集合 A,然后进行交集的运算即可 解:Ax|x1,B2,1,0,1,2,3, AB2,3 故选:D 2 已知i为虚数单位, 则复数, 则z在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析
10、】求解三角函数值,得到 z 的坐标,则答案可求 解:, z 在复平面内对应的点的坐标为(),位于第二象限 故选:B 3“x1”是“log2x0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据对数不等式的解法,利用充分条件和必要条件的定义进行判断 解:由 log2x0 得 x1, “x1”是“log2x0”的充要条件 故选:C 4函数 f(x)Asin(x+)(其中 A0,0,)的图象如图,则此函数 表达式为( ) A B C D 【分析】本题考查三角函数图象问题,如图所示给出的两个点之间的距离为十分之一周 期,由此可以求出 ,还可以看出此图象最高
11、点为 3,可以得出 A3,图象过点(, 0),可求出 解:如图所示,A3,可得 T4,4,解得 , 所以 f(x)3sin(x+), 因为函数过(,0),代入 f(x), 得 3sin(x+)0,即+k,k(kz), 当 k1 时, 所以 f(x)3sin(x+) 故选:B 5已知 m,n 是两条不重合的直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn C若 mn,m 则 n D若 m,n,则 mn 【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果 解:对于选项 A:若 m,n,则 m 和 n 可能平行,相交和异面,故错误 对于选项 B:若
12、 m,n,则 m 和 n 可能平行也可能异面,故错误 对于选项 C:若 mn,m,则 n 可能在 内,故错误 对于选项 D:若 m,n,则 mn,直接利用判定的应用求出结果,故正确 故选:D 6已知实数 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为( ) A1 B2 C7 D8 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线 过 A 时,z 取得最大值 解:画出实数 x,y 满足约束条件 表示的平面区域如图: 目标函数变形为2x+zy,则 z 表示直线在 y 轴上截距, 截距越大,z 越大, 作出目标函数对应的直线 L:y2x, 由 可得 A(2,3) 目标函
13、数 z2x+y 线过 A(2,3)时, 直线的纵截距最大,z 取得最大值为 z7; 故选:C 7已知 a,b,c 分别是ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+csinAb+c,则 A ( ) A B C D 【分析】已知等式利用正弦定理化简,将 sinBsin(A+C)代入,利用两角和与差的正 弦函数公式化简,整理后根据 sinC 不为 0,再利用万能公式化简求出 tan的值,即可确 定出 A 的度数 解:acosC+csinAb+c, 由正弦定理化简得:sinAcosC+sinAsinCsin(A+C)+sinC, 可得:sinAcosC+sinAsinCsinAcosC+cos
14、AsinC+sinC, sinAsinCcosAsinC+sinC, sinC0, sinAcosA+1,即, tan , ,可得:A 故选:C 8周易是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图,包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦(每卦由三个爻组成,其中“”表示 一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两 个阴爻的概率为( ) A B C D 【分析】八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦,从八卦中任取两卦,基 本事件总数 n28,这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有:m 6,由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率 解
15、:八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦, 从八卦中任取两卦, 基本事件总数 n28, 这两卦的六个爻中恰有两个阴爻包含的基本事件总数有: m6, 这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的概率为 p 故选:D 9如图,平面四边形 ACBD 中,ABBC,ABDA,ABAD1,BC,现将ABD 沿 AB 翻折,使点 D 移动至点 P,且 PA&AC,则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 ( ) A8 B6 C4 D 【分析】构造长方体,把三棱锥 PABC 放到长方体中,则三棱锥 PABC 与 长方体是 同一个外接球,长方体的外接球直径 2R 即为长方体的对角线,可求 解:折叠后 ABAP,ABBC
16、,PAAC,ABAP1,BC, 构造长方体,把三棱锥 PABC 放到长方体中,则三棱锥 PABC 与 长方体是同一个外 接球, 根据 题意可得,长方体的外接球直径 2R2, 故 R1, 所以 S4 故选:C 10设 F1,F2是双曲线 C:1(a0b0)的左,右焦点,O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,若|PF1|OP|,则 C 的离心率为( ) A B2 C D 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b,再求出|OP|a,在三角形 F1PF2中,由余 弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2| |F1F2|cosPF2O,代值化简整理可得 a
17、c, 问题得以解决 解:双曲线 C:1(a0b0)的一条渐近线方程为 yx, 点 F2到渐近线的距离 d b,即|PF2|b, |OP|a,cosPF2O, |PF1 |OP|, |PF1 |a, 在三角形 F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2| |F1F2|COSPF2O, 6a2b2+4c22b2c 4c23b24c23(c2a2), 即 3a2c2, 即ac, e, 故选:C 11函数 f(x)ax2 与 g(x)ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点,则 a 的取值 范围是( ) A B C(,e D(,e2 【分析】易知,函数 f(x)ex
18、关于直线 yx 对称的函数为 ylnx,由题意,函数 g(x) ax2 与函数 ylnx 有两个交点,作图观察即可得到结论 解:函数 f(x)ex关于直线 yx 对称的函数为 ylnx, 则函数 g(x)ax2 与函数 ylnx 有一个交点,a0 显然成立; 当 a0 时, 作出函数图象如下, ; 设 ylnx 上任一点坐标为(x0,lnx0),因为其导函数为 y,故其对应切线的斜率为: k ; 故切线为:ylnx0(xx0)y x1+lnx0; 当切线过点(0,2)时; 1+lnx02x0;此时对应的切线斜率为:e; 由图可知,要使函数 f(x)ax2 与函数 ylnx 有一个交点,则需 0
19、ae 综上可得:函数 f(x)ax2 与 g(x)ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点,则 a 的取值范围是(,e 故选:C 12已知抛物线 C:y24x 和点 D(2,0),直线 xty2 与抛物线 C 交于不同两点 A,B, 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断: 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2; AEy 轴; 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切 其中,所有正确判断的序号是( ) A B C D 【分析】如图所示,设 A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),联立,化为: y24ty+80设直线 BD 的方程为:xmy+2,联立,化为:y24my
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