第七章 复数 章末复习 学案(含答案)
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1、章末复习章末复习 一、向量的线性运算 1. 向量运算 法则(或几何意义) 向量的线性运算 加法 减法 数乘 (1)|a|a|; (2)当0时, a的方向与a的方向相同; 当 0). (1)用 k 表示数量积 a b; (2)求 a b 的最小值,并求出此时 a 与 b 的夹角 的大小. 解 (1)由|kab| 3|akb|, 得(kab)23(akb)2, k2a22ka bb23a26ka b3k2b2. (k23)a28ka b(13k2)b20. |a|cos2sin21,|b| cos2sin21, k238ka b13k20, a b2k 22 8k k 21 4k (k0). (2
2、)a bk 21 4k 1 4 k1 k 1 42 1 2,当且仅当 k1 时等号成立, 此时 a 与 b 的夹角 的余弦值 cos a b |a|b| 1 2, 又0 180 ,60 . 反思感悟 数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设 a(x1,y1),b(x2,y2), abx1y2x2y10, abx1x2y1y20(a,b 均为非零向量). (2)求向量的夹角和模的问题 设 a(x1,y1),则|a| x21y21. 两向量夹角的余弦值(0,a,b 为非零向量) cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . 跟踪训练2 已
3、知向量AB 与AC的夹角为120 , 且|AB|3, |AC|2.若APABAC, 且APBC, 则实数 的值为 . 答案 7 12 解析 由AP BC知AP BC0, 即AP BC(ABAC) (ACAB) (1)AB ACAB2AC2 (1)32 1 2 940, 解得 7 12. 三、余弦定理、正弦定理 1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的 元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径),解 三角形通常是指求未知的元素,有时也求三角形的面积. 2.解斜三角形共包括四种类型: (1)已知三角形的两角和一边
4、(一般先用内角和求角或用正弦定理求边); (2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边); (3)已知三边(先用余弦定理求角); (4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边, 注意讨论 解的个数). 3.借助解三角形,培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 例 3 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2BAC,向量 m(3a, b),n(2b,c),mn.求 A. 解 方法一 2BAC,ABC, B 3,AC 2 3 . mn,2b23ac, 由正弦定理,得 2sin2B3sin Asin C, 即 sin Asin C1
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