第六章 平面向量及其应用 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习章末复习 一、复数的概念 1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目 不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养. 例 1 zlg(m22m2)(m23m2)i， 试求实数 m 的取值， 使(1)z 是纯虚数； (2)z 是实数； (3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限. 解 (1)由 lgm22m20， m23m20， 得 m3. 当 m3 时，z 是纯虚数. (2)由 m22m20， m23m20， 得 m1 或 m2. 当 m1 或 m2 时，z 是实数. (3)由 lgm22m20， 得

2、1m1 3或 1 3m3. 当1m1 3或 1 3m3 时，复数 z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限. 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是 abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为 abi 的形式，以便确定其实部和 虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 跟踪训练 1 (1)若复数 z1i(i 为虚数单位)，z 是 z 的共轭复数， 则 z2 z 2的虚部为( ) A.0 B.1 C.1 D.2 答案 A 解析 因为 z1i，所以 z 1i， 所以 z2 z 2(1i)2(1i)22i(2i)0. (2)已知 z1m23mm2i

3、，z24(5m6)i，其中 m 为实数，i 为虚数单位，若 z1z20， 则 m 的值为( ) A.4 B.1 C.6 D.1 或 6 答案 B 解析 由题意可得 z1z2，即 m23mm2i4(5m6)i， 根据两个复数相等的充要条件可得 m23m4， m25m6， 解得 m1. 二、复数的几何意义 1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数 运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题. 2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养. 例 2 (1)在复平面内，复数23i 34i (i 是虚数单位)所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限

4、 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 23i 34i 23i34i 25 18i 25 18 25 1 25i， 复数23i 34i 对应的点位于第二象限. (2)已知复数 z123i，z2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为 A，B，C. 若OC 2OA OB ，则 a_，b_. 答案 3 10 解析 OC 2OA OB ， 14i2(23i)(abi) 即 14a， 46b， a3， b10. 反思感悟 在复平面内确定复数对应点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即 zabi(a，bR)确定有序实数对(a，b). (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点 Z(a，

5、b). 跟踪训练 2 若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z 1i的点是( ) A.E B.F C.G D.H 答案 D 解析 点 Z(3,1)对应的复数为 z， z3i， z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i 42i 2 2i， 该复数对应的点的坐标是(2，1)，即 H 点. 三、复数的四则运算 1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数 的乘法和除法运算为主. 2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养. 例 3 计算： (1) 22i4 1 3i5； (2)2 3i 12 3i 2 1i 2 01848i 248i2

6、 11 7i . 解 (1)原式 161i4 1 3i41 3i 162i2 22 3i21 3i 16 1 3i4 4 1 3i1 3i. (2)原式i12 3i 12 3i 2 1i 2 1 00948i8i448i48i 11 7i i(i)1 00900. 反思感悟 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. 复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项). 复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意 i 的幂的性质，区分(abi)2a2 2abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同

7、乘 分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别 合并即可，但要注意把 i 的幂写成最简单的形式. (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化. 跟踪训练 3 (1)复数 z 满足 z( z 1)1i，其中 i 是虚数单位，则 z 等于( ) A.1i 或2i B.i 或 1i C.i 或1i D.1i 或2i 答案 C 解析 设 zabi(a，bR)， 由 z( z 1)1i 得 a2b2abi1i， 所以 b1，a2a11，所以 a0 或 a1. 故 z

8、i 或 z1i. (2)i 是虚数单位， 2 1i 2 018 1i 1i 6_. 答案 1i 解析 原式 2 1i 2 1 009 1i 1i 6 2 2i 1 009i6i1 009i6i42521i42ii21i. 1.已知 a，bR，i 是虚数单位.若 ai2bi，则(abi)2等于( ) A.34i B.34i C.43i D.43i 答案 A 解析 a，bR，ai2bi， a2，b1， (abi)2(2i)234i. 2.复数 z 满足(1i)z(1i)2， 其中 i 为虚数单位， 则在复平面上复数 z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答

9、案 D 解析 z1i 2 1i 2i1i 1i1i 2i1i 2 1i， 故 z 在复平面内对应的点的坐标为(1， 1)，位于第四象限. 3.若 z12i，则 4i z z 1等于( ) A.1 B.1 C.i D.i 答案 C 解析 4i z z 1 4i 12221i. 4.i 为虚数单位，设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z123i，则 z2 _. 答案 23i 解析 (2，3)关于原点的对称点是(2,3)， z223i. 5.已知 z， 为复数，(13i)z 为纯虚数， z 2i，且|5 2，则 _. 答案 (7i) 解析 由题意设(13i)zki(k0 且 kR)， 则 ki 2i13i. |5 2，k 50，故 (7i).