人教A版（新教材）必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案（含答案）

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1、 7.1 复数的概念复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性， 了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由 实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法， 理解复数相等的 充要条件. 知识点一 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21. (2)表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.

2、 (2)表示：通常用大写字母 C 表示. 知识点二 复数的分类 1.复数 zabi(a，bR) 实数b0， 虚数b0 纯虚数a0， 非纯虚数a0. 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三 复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，则 abicdiac 且 bd，abi0ab0. 1.若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数.( ) 2.复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( ) 3.bi 是纯虚数.( ) 4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等.( ) 一、复数的概念 例 1 下列命题： 若 aR，则(a1)i 是纯虚数； 若 a，bR，且

3、 ab，则 aibi； 若(x24)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 2； 实数集是复数集的真子集. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 对于复数 abi(a，bR)，当 a0 且 b0 时，为纯虚数.对于，若 a1，则(a 1)i 不是纯虚数，即错误.两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若 x2，则 x2 40，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0，不是纯虚数，则错误.显然，正 确. 反思感悟 复数 abi(a，bR)中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为 复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练

4、 1 (多选)对于复数 abi(a，bR)，下列说法不正确的是( ) A.若 a0，则 abi 为纯虚数 B.若 a(b1)i32i，则 a3，b2 C.若 b0，则 abi 为实数 D.i 的平方等于 1 答案 ABD 解析 对于 A，当 a0 时，abi 也可能为实数； 对于 B，若 a(b1)i32i，则 a3，b1； 对于 D，i 的平方为1.所以 ABD 均错误. 二、复数的分类 例 2 当 m 为何实数时，复数 zm 2m6 m3 (m22m15)i. (1)是虚数； (2)是纯虚数. 解 (1)当 m30， m22m150， 即 m5 且 m3 时，z 是虚数. (2)当 m2m

5、6 m3 0， m22m150， 即 m3 或 m2 时，z 是纯虚数. 延伸探究 1.本例中条件不变，当 m 为何值时，z 为实数？ 解 当 m30， m22m150， 即 m5 时，z 是实数. 2.已知 zlog2(1m)i 1 2 log(3m)(mR)，若 z 是虚数，求 m 的取值范围. 解 z 是虚数， 1 2 log(3m)0，且 1m0， 即 3m0， 3m1， 1m0， 10， 解得 a3 或 a0)，则实数 x_，y_. 答案 1 1 解析 x2y22xyi2i， x2y20， 2xy2， 解得 x1， y1， 或 x1， y1舍. 1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成 zabi 的形式.