湖北省荆州市2019届高三4月质量检查（Ⅲ）数学（理）试题（含答案）

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1、荆州市荆州市 20192019 届高三年级质量检查（届高三年级质量检查（）数学（理工农医类）数学（理工农医类） 注意事项： 1本试卷共 4 页，23 题（含选考题） ；卷面为 150 分，考试时间 120 分钟 2全部答案在答题卡上完成，答在试题卷上无效 3考生在答卷前，请先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、考号，在规定的位置 贴好条形码 4考试结束后，只交答题卡 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每 小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，多涂、不涂或涂错均为 0 分 1已知复数( ,

2、)zabi a bR，若(1)(1)aiibi，则z （ ） A3 B2 C5 D5 2已知全集UR，集合 2 230Ax xx，210Bxx ，则() U AB（ ） A 1 1, 2 B 1 ,3 2 C1,3 D 1 , 2 3用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A24 B48 C60 D72 4 已知在数列 n a中， * 1 1(2) nn aanNn 且， 设 n S为 n a的前n项和， 若 9 72S ， 则 9 a （ ） A8 B12 C16 D72 5已知函数 3 1 ( ) 4 f xxax，若x轴为曲线( )yf x的切线，则

3、实数a的值为（ ） A 1 2 B 3 4 C 1 2 D 3 4 6设M，N为ABC所在平面内的两点，2,AMMC BNNC，则（ ） A 11 26 MNABAC B 11 26 MNABAC C 11 26 MNABAC D 11 26 MNABAC 7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A32 B44 C24 D 9 4 2 8已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，直线:1lyx经过点F，且分别交C于A、B两点， 则AB （ ） A4 2 B8 C8 2 D12 9已知, x yR，且满足 22 (1)1xy，则“yx”的概率为（ ） A 2 1 B 2 1

4、 C 11 2 D 31 2 10 已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左， 右焦点， 其半焦距为c， 点P在双曲线E上， 1 PF与x轴垂直， 1 F到直线 2 PF的距离为 2 3 c，则双曲线E的离心率为（ ） A2 B3 C 3 2 D2 11 将 函 数( )sin 2fxx的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 后 得 到 函 数( )g x的 图 象 ， 若 12 ,x x满 足 12 ( )()2f xg x，则 12 xx的最小值为（ ） A 6 B 4 C 5 12 D 3 12设函数 2 1 ( )(1)1ln 2 f x

5、xaxx ，其中0a ，若存在唯一的正整数 0 x使得 0 ()0f x，则a的 取值范围是（ ） A0,1 B0,1 C0,2ln2 D 1 1ln2 , 22 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填写在答题卡中相应的横线上 13已知函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数，当01x时，( )2xf x ，则 3 ( 1)( ) 2 ff _ 14若, x y满足约束条件1 1 yx xy y ，则2zxy的最大值为_ 15设数列 n a的前n项和为 n S，若 * 21 4,1, nn SaSnN ，则 5 S _ 16已知函数 2 ( )sin2 3s

6、in 2 x f xx，则( )f x在区间0, 4 上的最小值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分） 在ABC中， 角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，ABC的面积为 2 3sin a A ， 且 1 cos cos 6 BC （1）求角A的值； （2）若33bc，求a的值 18 （12 分）如图，几何体EFABCD中，平面ABCD 平面EFCD，四边形CDEF为边长为 2 的正 方形，在等腰梯形ABCD中，ABCD，2AD ，4AB （

7、1）求证：ACFB ； （2）求二面角EFBD的余弦值 19 （12 分）某高校进行自主招生选拔，分笔试和面试两个阶段进行，规定分数不小于笔试成绩中位数的具 有面试资格现有 1000 余名学生参加了笔试考试，所有学生的成绩均在区间(180,300内，其频率分布直 方图如图 （1）求获得面试资格应划定的最低分数线； （2）从笔试得分在区间(260,300的学生中，利用分层抽样的方法随机抽取 7 人，那么从得分在区间 (260,280与(280,300各抽取多少人? （3）从（2）抽取的 7 人中，选出 4 人参加学校座谈交流，学校打算给这 4 人一定的物质奖励，若该生分 数在(260,280给予

8、 300 元物质奖励，若该生分数在(280,300给予 500 元物质奖励，用X表示学校发的 奖金数额，求X的分布列和数学期望 20 （12 分）已知m，0n且mn，圆 222 :()4Mxmyn，点,0N m，P是圆M上的动点， 线段PN的垂直平分线交直线PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C （1）讨论曲线C的形状，并求其方程； （2）若 1m ，且QMN面积的最大值为 3，直线l 过点N且不垂直于坐标轴，l与曲线C交于 ,A B， 点B关于x轴的对称点为D求证：直线AD过定点，并求出该定点的坐标 21 （12 分）已知函数 2 ( )ln()f xxaxb，其中0a （1）若1b 时，函数( )

9、f x有两个极值点 1212 ,()x x xx，求a的取值范围，并证明 12 ()()22ln2f xf x； （2）若 2 e a 时，不等式( )0f x 对于任意0x 总成立，求实数b的取值范围 选考题：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，已知直线 1 l的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数方程为 cos 4 sin 4 xt yt （t为参数） ，其中 3 0 4 ，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同 的单位长度建立极坐

10、标系，曲线C的极坐标方程为2sin0 （1）写出直线 1 l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设直线 1 l， 2 l分别与曲线C交于点A B，（非坐标原点） ，求AB的值 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）已知函数( )212f xxx （1）解不等式( )0f xx ； （2）若关于x的不等式 2 ( )25f xaa的解集为R，求实数a的取值范围 荆州市 2019 届高三毕业班第三次质量检查 数学（理工农医类）参考答案 一、选择题： CABBD CDBCA DD 二、填空题： 13、2 14、4 15、39 16、0 三、解答题： 17解： （1）由题意得： 2

11、1 sin 23sin a bcA A ，由正弦定理得： 22 2 1(2 ) sin (2 ) sinsinsin 23sin RA RBCA A （R为ABC外接圆的半径） 2 sinsin 3 BC， 1 coscos()coscossinsin 2 ABCBCBC ， 3 A （2）由余弦定理得： 222222 2cos()3 3 abcbcbcbcbcbc 222 2 333333(2 ) sinsin333() 3 sin 3 a abcRBC 即 2 2 8 33 3 a a，3a 18 （1）证明：过点C作CHAB于H ABCD为等腰梯形，则ABCD， 又2ADDC，4AB 1

12、BH ，又 2BC ， 60ABC， 又 4,2ABBC ， ACBC 平面ABCD 平面EFCD，FCCD，FC 平面ABCD AC 平面ABCD，ACFC，又ACBC，BCFCC AC BFC，FB 平面BFC， （2）解：以CA方向为x轴，CB方向为y轴，CF方向为z轴 则 2 3,0,0A，0,2,0B，0,0,2F，( 3, 1,0)D 设平面EFB和平面DFB的法向量分别为 1111 ,nx y z和 2222 ,nxy z 111 111 220 2 320 BF nyz BA nxy ，取 1 1x 得： 1 1, 3, 3n 222 2222 220 320 BF nyz D

13、F nxyz ，取 2 1y 得： 2 31,1n ， 则 12 3 33 105 cos, 351333 1 1 n n 二面角EFBD的余弦值为 35 1053 19解（1）由题意知(180,240的频率为：20(0.00250.00750.0075)0.35， (260,300的频率为：20(0.00500.0125)0.35 所以分数在(240,260的频率为：1 0.35 0.350.3 从而分数在(240,260的 0.3 =0.015 20 频率 组距 ， 假设该最低分数线为x，由题意得0.35(240)0.0150.5x解得250x 故面试资格最低分数线应划为 250 分 （2

14、）在区间(260,280与(280,300，0.0125:0.00505:2，成绩在区间(260,300的学生中，利用分 层抽样的方法随机抽取 7 人， 分别在区间(260,280与(280,300各抽取 5 人，2 人结果是 5 人，2 人 （3）X的可能取值为 1600，1400，1200 22 52 4 7 2 (1600) 7 C C P X C ， 31 52 4 7 4 (1400) 7 C C P X C ， 40 52 4 7 1 (1200) 7 C C P X C ， 从而X的分布列为 X 1600 1400 1200 P 2 7 4 7 1 7 24110000 ()16

15、0014001200 7777 E X （元） 20 （1）当nm时，点N在圆M内， mMNnQMQPQMQN22， 故曲线C是以NM,为焦点，以n2为长轴长的椭圆，其方程为1 22 2 2 2 mn y n x 当nm时，点N在圆M外，mMNnQPQMQNQM22， 曲线C是以NM,为焦点，以n2为实轴长的双曲线，其方程为1 22 2 2 2 nm y n x 综上，当nm时，曲线C是椭圆；当nm时曲线C是双曲线 其方程为1 22 2 2 2 mn y n x （2）由QMN面积有最大值为 3知，曲线C只可能是椭圆， 由椭圆几何性质知，当Q位于短轴端点时其面积有最大值，因22 mMN， 故其

16、短半轴长为 3，又因焦距为 2 故曲线C的方程为1 34 22 yx 设)0( , 1:ttyxl，),(),( 2211 yxByxA，则),( 22 yxD 联立 1 1 34 22 tyx yx ，消去x得：096)43( 22 tyyt 43 9 , 43 6 2 21 2 21 t yy t t yy 直线 )(: 1 21 21 1 xx xx yy yyAD 由椭圆的对称性知，若直线AD过定点，则该定点必在x轴上 故令0y得： 41 2 21 21 21 2112 yy yty yy yxyx x 所以直线AD过定点)0 , 4( 21解： （1）) 1ln()( 2 axxxf

17、，0a，其定义域为R 由已知， 1 12 1 2 1)( 2 2 2 ax axax ax ax xf在R上有两个零点， 即方程012 2 axax有两个不等实根)(, 2121 xxxx， 2 440aa ，结合0a 得， 1a 由二次方程根与系数的关系知， a xx a xxxx 2 4, 1 , 2 2 2 2 12121 )1)(1ln()()()( 2 2 2 12121 axaxxxxfxf 1)()(ln)( 2 2 2 1 2 21 2 21 xxaxxaxx)4ln(2a 又由于 1a ，故 2ln224ln24ln2a 2ln22)()( 21 xfxf （2）当 2 e

18、a 时，) 2 ln()( 2 bx e xxf 注意到0x时0 2 2 bx e 总成立，得0b8 分 不等式0)(xf等价于) 2 ln( 2 bx e x， 即 2 2 x e eb x 对于0x总成立 设 2 ( ),0 2 x e xexx，则( ) x xeex， 设( )( )xx，则eex x )( 当) 1 , 0x时0)( x ，)(x是减函数； 当), 1 ( x时0)( x ，)(x是增函数 所以( )( )(1)0xx，故( )x在), 0 是增函数 min ( )(0)1x，故1b，结合0b， 所以01b 22解： （1） 1 l的极坐标方程为()R 由2sin得

19、2 2 sin，又 222 xy，siny 曲线C的直角坐标方程为： 22 (1)1xy （2） 1 2sin， 2 2sin 4 2 2222 1212 2cos4sinsin ()2sinsin() 444 AB 1cos(2) 1cos2 2 4sin (sincos )2 22 2AB 23解： （1）当2x 时，2(1)(2)0xxx解得：40，即2x ； 当21x 时，2(1)(2)0xxx解得：0x，即20x ； 当1x 时，2(1)(2)0xxx解得：2x，即2x 综上：解集为 ,02, （2）由 4,2 ( )3 , 21 4,1 xx f xxx xx )(xf在,1单调递减，在1 ，单调递增 min ( )(1)3f xf ， 2 253aa 2 3 1a 3 1 2 a ，