湖北省华大新高考联盟2020年4月高三教学质量测评理科数学试题（含答案解析）

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1、理科数学试题 第 页( 共页) 机密启用前 华大新高考联盟 届高三月教学质量测评 理科数学 命题: 本试题卷共页, 题( 含选考题) .全卷满分 分.考试用时 分钟. 祝考试顺利 注意事项: 答题前, 先将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上, 并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用

2、 B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 考试结束后, 请将答题卡上交. 一、 选择题: 本题共 小题, 每小题分, 共 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 已知复数z i, 则z z ABC D 设集合Ax|x ,Bx| l o g(xa) , 则a是BA的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 设等差数列an 的前n项和为Sn, 已知a,aa , 则S A B C D 魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术, 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术, 就是以 圆内接正多边形

3、的面积, 来无限逼近圆面积刘徽形容他的割圆术说: “ 割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以 至于不可割, 则与圆合体, 而无所失矣” 某学生在一圆盘内画一内接正十二边形, 将 粒豆子随机撒入 圆盘内, 发现只有粒豆子不在正十二边形内据此实验估计圆周率的近似值为 A B C D 已知x l g ,y l n ,z l o g, 则 AxzyBzyx CxyzDzxy 执行如图所示程序框图, 设输出数据构成集合A, 从集合A中任取一个 元素m, 则事件“ 函数f( x)x m x 在 ,) 上是增函数” 的概率为 A B C D 理科数学试题 第 页( 共页) 设f(x) ,g(x) 分别为定义

4、在, 上的奇函数和偶函数, 且f(x)g(x) e xc o s x(e为自然对数的底 数) , 则函数yf( x)g(x) 的图象大致为 某病毒研究所为了更好地研究“ 新冠” 病毒, 计划改建十个实验室, 每个实验室的改建费用分为装修费和设 备费, 每个实验室的装修费都一样, 设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列, 已知第五实验室比第 二实验室的改建费用高 万元, 第七实验室比第四实验室的改建费用高 万元, 并要求每个实验室改 建费用不能超过 万元则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A 万元B 万元 C 万元D 万元 设点F为抛物线y x的焦点,A,B,C三点在抛物线上, 且

5、四边形A B C F为平行四边形, 若对角线 |B F|( 点B在第一象限) , 则对角线A C所在的直线方程为 Axy Bxy CxyDxy 设函数f(x) | s i nx|s i nx c o s , 给出下列四个结论:f();f(x) 在 , 上单调递 增;f( x) 的值域为 c o s , c o s ;f(x) 在, 上的所有零点之和为 则正确结论的序 号为 A B C D 设点F,F分别为双曲线C: x a y b ( a,b) 的左、 右焦点, 点A,B分别在双曲线C的左、 右支 上, 若FB F A , A F A BA F , 且 |A F |B F |, 则双曲线C的离

6、心率为 A B C D 在正方体A B C D ABCD中, 点M,N,P分别在AA,AD,DC上,M为AA的中点, AN ND CP PD , 过点A作平面, 使得B C, 若平面ABCDm, 平面MNPn, 则直线m与直 线n所成的角的正切值为 A B C D 二、 填空题: 本题共小题, 每小题分, 共 分. 在x x 的展开式中, 常数项为( 用数字作答) 在等腰直角A B C中,A B,B A C ,AD为斜边B C的高, 将A B C沿AD折叠, 使二面角 理科数学试题 第 页( 共页) B AD C为 , 则三棱锥A B C D的外接球的表面积为 在A B C中,A B,A C,

7、B C, 已知MN为A B C内切圆的一条直径, 点P在A B C的外接圆 上, 则PM PN的最大值为 用符号x 表示不超过x的最大整数, 例如: ; ; 设函数f(x)a x l n( x) (a x ) l n(x) 有三个零点x,x,x(xxx) , 且xxx, 则a的取值范围是 三、 解答题: 共 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答.第 、 题为选考题, 考生根据要求作答. ( 一) 必考题: 共 分. ( 分) 在A B C中, 内角A,B,C的对边分别为a, b,c, 且b a cs i nB(ac) , A B C的面积为

8、( ) 求角B; ( ) 设,b,|ac|成等比数列, 求的最小值 ( 分) 如图所示, 在三棱柱A B C ABC中, 侧面A C CA为菱形,AA C ,A C , 侧面C B BC为正方形, 平面A C CA平面A B C点N为线段A C的中点, 点M在 线段A B上, 且AM MB ( ) 证明: 平面B BCC平面A C CA; ( ) 求直线B B与平面BMN所成角的正弦值 ( 分) 设以A B C的边A B为长轴且过点C的椭圆的方程为 x a y b ( ab) , 椭圆的离心率e , A B C面积的最大值为 ,A C和B C所在的直线分别与直线l:x相交于点M,N ( ) 求

9、椭圆的方程; ( ) 设A B C与CMN的外接圆的面积分别为S,S, 求 S S的最小值 ( 分) 年寒假期间新冠肺炎肆虐, 全国人民众志成城抗击疫情某市要求全体市民在家隔离, 同时决定全 市所有学校推迟开学某区教育局为了让学生“ 停课不停学” , 要求学校各科老师每天在网上授课, 每天共 分钟, 请学生自主学习区教育局为了了解高三学生网上学习情况, 上课几天后在全区高三学生中采取 随机抽样的方法抽取了 名学生进行问卷调查, 为了方便表述把学习时间在(, 分钟的学生称为A 类, 把学习时间在( , 分钟的学生称为B类, 把学习时间在( , 分钟的学生称为C类, 随机调查 的 名学生学习时间的

10、人数频率分布直方图如图所示: 理科数学试题 第 页( 共页) 以频率估计概率回答下列问题: ( ) 求 名学生中A,B,C三类学生分别有多少人? ( ) 在A,B,C三类学生中, 按分层抽样的方法从上述 个学生中抽取 人, 并在这 人中任意邀 请人电话访谈, 求邀请的人中是C类的学生人数的分布列和数学期望; ( ) 某校高三() 班有 名学生, 某天语文和数学老师计划分别在 : : 和 : : 在线 上与学生交流, 由于受校园网络平台的限制, 每次只能 个人同时在线学习交流假设这两个时间段高三 ( ) 班都有 名学生相互独立地随机登录参加学习交流设表示参加语文或数学学习交流的人数, 当为 多少

11、时, 其概率最大 ( 分) 已知函数f( x)a xs i nxa xc o sx, (aR) ( ) 若a , 当x( ,) 时, 证明:f(x) ; ( ) 若当x,) 时,f(x), 求a的取值范围 ( 二) 选考题: 共 分.请考生在第 、 题中任选一题作答, 如果多选, 则按所做的第一题计分. 选修: 坐标系与参数方程 ( 分) 在直角坐标系x O y中, 曲线C的参数方程为 x c o s, y s i n ( 为参数) , 以坐标原点O为极点,x轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C的极坐标方程为 c o s , 点P 在曲线C上, 点Q在曲线 C上 ( ) 求曲线C的一般方

12、程和曲线C的直角坐标方程; ( ) 求|P Q|的最大值 选修: 不等式选讲 ( 分) 设a, b,c都是正数, 且abc ( ) 求 ab c 的最小值; ( ) 证明:a b c a b c 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 华大新高考联盟 届高三月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准 一、 选择题 【 答案】 D 【 命题意图】 主要考查复数的概念及相关运算, 考查考生的运算求解能力 【 解析】 因为z i i , z i, 所以zz( i) ( i)故选D 【 答案】A 【 命题意图】 主要考查指数函数和对数函数的单调性、 集合子集的概念、 充要条件, 考查考生的逻辑推

13、理能力 【 解析】 Ax|x ,Bx|xa当a时,Bx|x所以BA 当BA时, 即a, 并不能得到a故选A 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查等差数列通项公式及前n项和的应用, 考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力 【 解析】 因为aaa , 所以a 又a, 所以aa aa S (aa ) 故选C 【 答案】 D 【 命题意图】 主要考查以数学文化为背景的概率问题, 考查考生的化归转化能力、 数学建模能力和逻辑推理 能力 【 解析】 因为 R s i n R , 所以 故选D 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查对数函数的性质, 考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力 【 解析】 因为

14、x l g , y l n ,z l o g, 所以x最小 又因为yl g l ge , z l g l g , 所以yz, 所以xyz故选C 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查程序框图有关知识、 二次函数单调性以及古典概型, 考查考生的逻辑推理能力和数形 结合能力 【 解析】 当xy;xy;xy;xy; x y;x, 退出循环, 所以A, , , 又函数f( x)x m x 在 ,) 上是增函数, 所以m m 函数f( x)x m x 在 ,) 上是增函数的概率为 , 故选 C 【 答案】A 【 命题意图】 主要考查函数的性质与图象, 考查考生的化归转化能力和数形结合能力, 以及逻辑推

15、理、 直观 想象和数学运算 【 解析】 因为f(x)g(x) e xc o s x, 所以f(x)g(x) e xc o s (x) , 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 即f( x)g(x) e xc o s ( x) , 所以f(x)g(x) c o sx e x 因为y c o s x e x , 当x 时, y, 所以C,D错误 又 y (s i nx c o sx) e x s i nx e x , 所以x 为极值点, 即 B错误故选A 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查等比数列有关知识, 考查考生的数学抽象、 逻辑推理和数学建模能力 【 解析】 设每个实验室的装修

16、费用为x万元, 设备费为a n 万元( n, , ) 则 aa , aa , 所以 aq aq , aq aq , 解得 a, q 故a aq 依题意x , 即x 所以总费用为 xaaa x ( ) x 故选C 【 答案】 B 【 命题意图】 主要考查抛物线的定义、 抛物线的标准方程、 直线方程等知识, 考查考生的化归转化思想、 数形 结合思想以及数学运算能力 【 解析】 如图所示, 设B点的坐标为(x, y) , 则|B F|x, 所以x,B点的坐标为(, ) 所以线段B F的中点D的坐标为 , 设A( x,y) ,C(x,y)有y x,y x, 且 yy 所以y y ( xx) , 所以

17、yy xx yy , 所以kA C 对角线A C所在的直线方程为A C: yx , 即 xy故选B 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查三角函数的图象与性质, 考查考生的化归与转化能力、 数形结合能力, 考查逻辑推理 与直观想象 【 解析】 f() s i n c o s t a n 因为 , 所以t a n t a n , 所以t a n 故正确 设y | s i nx|s i nx s i nx, kxk, s i nx,kxk , kZ 显然f( x) 是以 为周期的周期函数作y | s i nx|s i nx,x, 的图象如图所示 由图可知f( x) 的值域为 c o s , c

18、o s , 即错误 由f( x) 的函数图象可知,f(x) 在, 上单调递增又因为f( x) 是周 期为 的函数, 所以f( x) 在 , 上单调递增, 即正确 又因为 , 所以 c o s , 所以 c o s 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) f(x) | s i nx|s i nx c o s 由图象可知f( x) 在, 内有四个零点 且 xx , xx , 所以xxxx , 所以正确 故选C 【 答案】 D 【 命题意图】 主要考查双曲线的定义及几何性质、 平面向量的运算, 考查考生的运算求解能力、 化归转化能 力和数形结合能力 【 解析】 因为FB F A , 所以点F

19、,A, B共线, 且|A B | |A F | 因为A F A BA F ( A F F B ) A F A F F B A F , 所以F B A F , 所以F B A F 设|A F |m, 则|A B |m, 由双曲线定义得 |A F |ma, m|B F |a, |A F | | B F | m , 所以( ma) ( ma) m m m aa ( ma) (ma) , 解得ma或m a 若ma时, |A F |a,|B F |a, 因为|A F |B F |, 故舍去 若m a时,|A F | a,|B F |a,|B F |a,|A B | a,c o s A B F a a 在

20、FB F中, c a a aa c a e , 故选D 【 答案】A 【 命题意图】 考查空间线线、 线面、 面面的平行与垂直关系, 考查考生的空间想象能力、 化归转化能力和直 观想象能力 【 解析】 如图, 补正方体A B J K ABI H, 作平面MNP与正方体A B C D ABCD的截面, 设A B, 易知A EA F 易证B CB I,B CA B,B IA BB, 所以B C平面A B I H,即平面A B I H为平面, 所以直线G F为n, 直线H I为m, 又H IA B,A F G为直线m与直线n所成的角 设A Gx,GHy, 而A E GHNG, 所以 xy , x y

21、 , 解得x 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 在R t A G F中, t a nA F GA G A F , 故选A 二、 填空题 【 答案】 【 命题意图】 主要考查二项式定理有关知识, 考查考生的运算求解能力 【 解析】 因为TrC r x r x r r C r x r, 令r, 所以r,T 【 答案】 【 命题意图】 主要考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积, 考查考生的空间想象能力和转化与划 化归能力 【 解析】 沿AD折叠后二面角B AD C为 , 即折叠后B D C , 所以D B C为等边三角形 又因为A B, 所以折叠后ADD BB CC D 设点O为三

22、棱锥A B C D外接球的球心,O为B D C的外心 所以 s i n D O, 所以D O 又O O AD , 所以球心半径RD O O O 所以S球 R 【 答案】 【 命题意图】 主要考查平面向量加、 减、 数量积的运算, 以及三角形内切圆和外接圆有关问题, 考查考生的 化归与转化能力, 逻辑推理和运算求解能力 【 解析】 因为A B C为直角三角形, 所以内切圆O的半径r , 外接圆O的半径r A B , PM PN( P O O M ) ( P O O N ) P O P O ( OM O N ) OM O N | P O | 又|OO | () , 理科数学参考答案和评分标准 第

23、页( 共页) 所以|P O |的最大值为 , 所以PM PN的最大值为 【 答案】 l n , l n 【 命题意图】 主要考查函数零点, 利用导数分析函数的图象及性质, 考查考生化归转化能力、 推理运算能力 和数形结合能力 【 解析】 因为f(x)a x a x l n x l n x l n xa x ( l n x) l n x(l n x)(l n x) ( a x l n x),x, 所以 l n x 或a x l n x 由得xe , 由得 a l n x x 令g( x) l n x x , 则 g ( x) ( l n x) x , 所以x e 当x , e 时, g ( x)

24、,g(x) 单调递增, x e , 时, g ( x),g(x) 单调递减 事实上, 当x 时, g(x), 当x时,g(x) 由图显然x(, ) ,xe ( ,) , 所以x, x, 而 xxx, 所以x, 即x,) 所以 ag() , ag() , 即 a l n , a l n , 解得 l n a l n 三、 解答题 【 命题意图】 主要考查解三角形、 三角恒等变换、 等比中项以及均值不等式的应用, 考查考生的转化与化归 能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 因为b a cs i nBa c a c, 所以a c a cc o sB a cs i nBa c a c,分 所以 s

25、i nBc o sB,即s i nB 分 因为 B ,所以B , 分 所以B 分 ( )A B C的面积为 , 所以 a cs i n , 即 a cs i n , 所以a c分 因为, b,|ac|成等比数列, 所以b | ac|, 由于ac, 所以 b |ac| 分 又b a c a cc o s (ac) a c(ac) 分 所以 b |ac| ( ac) |ac| |ac| |ac| 分 当且仅当|ac| 时, 取“” 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以的最小值为 分 【 命题意图】 主要考查空间面面垂直关系, 直线与平面所成角的求法, 考查考生的空间想象能力、 推理论

26、证 能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 连接AC,AN, 因为四边形A C CA为菱形,AA C , 所以AA C为等边三角形 而点N为A C中点, 所以ANA C 又平面A C CA平面A B C, 分 所以AN平面A B C, 所以ANB C 分 而四边形C B BC为正方形, 所以B CC C而C CAA, 所以B CAA 分 又因为A AANA, 所以B C平面AACC 分 又因为B C平面B C CB, 所以平面B BCC平面A C CA 分 ( ) 设AC的中点为点P, 以C点为坐标原点, 分别以向量C A , C B , C P 为x 轴, y轴,z轴的正方向建立如图所示空间

27、直角坐标系, 则有A(, ,) ,B(,) ,A(,) ,N(,)分 A B ( ,) ,AM A B , , , NA ( ,) , 所以NM NAAM , , 分 又NA ( ,) ,AB A B( ,) , 所以NB NA A B ( ,)分 设平面BMN的法向量为n( x,y,z) , 则 nNM , nNB , 所以 x y, xy z 取y, 则n(, , ) , 分 B B A A ( ,) 分 设为直线B B与平面BMN所成的角, 所以s i n B B n |B B | |n| (, ,) (, ) , 所以直线B B与平面BMN所成角的正弦值为 分 【 命题意图】 主要考查

28、椭圆的标准方程及几何性质, 直线与椭圆的位置关系, 正弦定理等知识, 考查考生的 逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等 【 解析】 ( ) 依题意: c a , ab , a b c , 分 所以 a, b 分 椭圆的方程为 x y 分 ( ) 设C(x,y) (y) , 则 x y ,A(,) ,B(,) 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 直线A C: y y x x 与直线l: x联立得M, y x 直线B C: y y x x 与直线l: x联立得N, y x |MN| y x y x |y|x | |x | 分 设A C B, r,r分别为A B C

29、和CMN外接圆的半径, 在A B C中 |A B| s i n r,所以r |A B| s i n 在CMN中 |MN| s i n() r, 所以r |MN| s i n , 分 S S r r |MN| |A B| y ( x) ( x ) y ( x) ( x ) 又y ( x ) , 所以 S S ( x ) ( x) ( x ) ( x) x 分 令tx, 而x, 所以t S S t (t) t t t t t t 分 所以t, 即x时, S S取得最小值, 最小值为 分 【 命题意图】 主要考查频率分布直方图、 古典概型、 离散型随机变量分布列、 超几何分布等知识, 考查考生 的数

30、据处理能力、 数学建模能力和数学运算能力 【 解析】 ( )A类学生有: ( ) 人,分 B类学生有: 人,分 C类学生有: ( ) 人分 ( )ABC , 故从A类中抽人,B类中抽人,C类中抽人 分 设邀请的三人中是C类的学生人数为X, 则X可取, , P(X)C C , P(X)C C C , P(X)C C C , P(X)C C 分 所以X的分布列为 X P , 所以E(X) 分 ( ) 学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为 ( C ) , 分 当k时, 由韦恩图可知, 只参加语文辅导的人数为k , 只参加数学辅导的人数为k , 语文和数学都参加辅导的人数为 k 分 事件 k 所包含的基本事件的总数为C C k C k , 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以P( k) C C k C k ( C ) C k C k