北京四中顺义分校2020年4月高三模拟数学试卷(含答案)
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1、 1 / 5 北京四中顺义分校 4 月月考数学试卷 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1. 若复数 ,则 (A) (B) (C) (D)20 2. 设集合 或 则 (A) (B) (C) (D) 3. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 (A) 9 (B) 10 (C)8 (D)7 4. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是 (A) (B) (C) (D) 5.设 为非零实数,且 ,则 (A) (B) (C) (D) 6. 则以线段 为直径的圆的方程是 (A) (B) (C)
2、(D) 2 / 5 7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A) 且 (B) 且 (C) 且 (D) 且 8.设 为非零向量,则“ ”是“ 与 共线”的 (A) 必要而不充分条件 (B) 充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.已知函数 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图 象可以与原图象重合的变换方式有 绕着 轴上一点旋转 ; 沿 轴正方向平移; 以 轴为轴作轴对称; 以 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A) (B) (C) (D) 10.设函数 若关于 的方程 有四个实数解 ,其中 ,则 的取值范围是 (A)
3、(B) (C) (D) 第卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为 . 12. 在 的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 3 / 5 13. 若向量 满足 ,则实数 的取值范围是 . 14.函数 的最小正周期为 ;若函数 在区间 上单调递 增,则 的最大值为 . 15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率 为 70%,女生成绩的优秀率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%. 对于此次测试,给出下列三个
4、结论: 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率; 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中, 所有正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 中, 平面 ,底面 ABCD 满足 ,且 ()求证: 平面 ; ()求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.(本小题满分 14 分) 已知 满足 ,且 ,求 的值及 的面积. 从 , , 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完
5、成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 4 / 5 18.(本小题满分 14 分) 2019 年底,北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破 60 万, 其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取 20 人 进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下: ()试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数; ()从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求 的分 布列和数学期望; ()为便于联络,现将所有的青年
6、学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在 每组中随机选取 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出 的最小值.(结论不要求证 明) 19.(本小题满分 14 分) 设函数 其中 ()若曲线 在点 处切线的倾斜角为 ,求 的值; ()已知导函数 在区间 上存在零点,证明:当 时, . 5 / 5 20.(本小题满分 15 分) 设椭圆 ,直线 经过点 ,直线 经过点 ,直线 直线 ,且直线 , 分别与椭圆 相交于 两点和 两点. ()若 分别为椭圆 的左、右焦点,且直线 轴,求四边形
7、的面积; ()若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 为平行四边形,求证: ; ()在()的条件下,判断四边形 能否为矩形,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 对于正整数 ,如果 个整数 满足 , 且 ,则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记 均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 . ()写出整数 4 的所有“正整数分拆”; ()对于给定的整数 ,设 是 的一个“正整数分拆”, 且 ,求 的最大值; ()对所有的正整数 ,证明: ;并求出使得等号成立的 的值. (注:对于 的两个“正整数分拆” 与 ,当且仅当 且 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.) 北京
8、市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 1 页(共 7 页) 4 月月考数学答案月月考数学答案 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分. 1A 2D 3A 4A 5. D 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 25 分分. 11 6 2 1220 13( 3,1) 14, 8 15 注:注:第 14 题第一问 3 分,第二问 2 分;第 15 题全部选对得 5 分,不选或有错选得0分,其他 得 3 分. 三、解答题:本大
9、题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 85 分分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 16 (本小题满分 14 分) 解: ()因为在底面ABCD中,2,2 2ABADBD, 所以 222 ABADBD,即ABAD. 2 分 因为 1 AA 平面ABCD,AB 平面ABCD, 所以 1 AA AB, 4 分 又因为 1 AAADA, 1, AA AD 平面 1 1 ADD A, 所以AB 平面 1 1 ADD A. 6 分 ()由() ,得 1 ,AB AD AA两两垂直,故分别以AB,AD, 1 AA为x轴,y轴,z轴, 如图建立空间直角坐
10、标系, 7 分 在底面ABCD中,由题意,得 22 4BCBDCD . 则(0,0,0)A,(2,0,0)B,(2,4,0)C, 1(2,0,2) B, 1(0,2,2) D, 所以(2,0,0)AB , 1 (0,4, 2)BC , 11 ( 2,2,0)B D , 8 分 设平面 11 BCD的法向量( , , )x y zn, 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 2 页(共 7 页) 由 1 0BCn, 11 0B D n,得 420, 220, yz xy 令1y ,得(1,1,2)n. 11 分 设直线AB与平面 11 BCD所成的角为, 则 6 sin|cos,
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