江西省南昌三中2020届高三考前第二次适应性检测数学试卷（含答案）

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1、 2020 届高三届高三考前考前第第二二次次适应性检测适应性检测 数数 学学 测测 试试 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符

2、合题目要求的 1已知复数（ 是虚数单位） ，是的共轭复数，则等于（ ） A1 B2 C D 2如果全集，则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A B C D 3的展开式中常数项是（ ） A14 B C42 D 4等差数列满足，记的前项和为，则的值为（ ） A B C D 5某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制 (1 i)2zizzz z 2 2 2 U R1,2,3,4A 3,4,5B 1,2,3,4,53,41,2,3,41,2,5 37 1 (2)x x 1442 n a 3 5 5 3 a a n an n S 7 9 S S 28 27 35

3、 27 5 3 4 3 的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克 并且小于 104 克的产品个数是（ ） A45 B60 C75 D90 6函数在区间上的简图是（ ） 7已知变量，满足的约束条件为，目标函数，则的最大值和 最小值分别为（ ） A10，0 B，0 C， D10， 8已知，且，成等比数列，则（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 9一个多面体的直观图和三视图如图，则此多面体外接球的表面积是（ ） A B C D sin(2) 3 yx , 2 xy 4 230 220 0,0 xy xy xy xy 32z

4、xyz 31 3 31 3 11 1x 1y xln 4 1 4 1 ylnxy eeee 34 31248 10曲线在处的切线的斜率为（ ） A B C D 11设方程的两个根分别为，则（ ） A B C D 12抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ） A B C D不存在 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13如图所示为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的值为 23，那么应输入的值 为_ 14已知向量，若，则 15双曲线的右焦点为，点是渐近线上的点，且，则_ 16每人最多投篮 5 次，

5、若连续两次投篮不中则停止投篮，否则继续投篮，直到投满 5 次，每次投 篮投中的概率是 05，则投中 3 次的概率为 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 00 ( )dcos d xx t f xe tt t 4 x 2 2 2 2 22 3ln x x 1 x 2 x 12 0x x 12 1x x 12 1x x 12 01x x OFM MO MF 3 3 2 3 3 4 3 3 yx (1,2)a(2,3)b()()abab 2 2 1 3 y x FP2OP PF 1

6、7 （ 12 分 ） 设是 锐 角 三 角 形 ，分 别 是 内 角所 对 边 长 ， 且 （1）求角的值； （2）若，求、（其中） 18 （12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元，表示经销一件该商品的利润 （1）求事件 A： “购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率； （2）求的分布列及期望 ABCcba,CBA, 22 sinsin()sin()sin 33 ABBB A

7、12AB AC2 7a bccb X P A XEX 19 （12 分）如图，在直三棱柱中， 是的中点，是中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、 ，且四边形是边长为 2 的正方形 （1）求椭圆的方程； （2） 若、分别是椭圆长轴的左、 右端点， 动点满足， 连接， 交椭圆于点， 证明：为定值 111 ABCABC2ACBC 1 2 2AA 90ACB M 1 AAN 1 BC MN 111 ABC 1 BCBCM 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 FA B 12 F AF B CDMMDC

8、DCMP OM OP 21（12分） 已知， 其中是自然对数的底， （1）讨论时，的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，； （3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在， 说明理由 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：极坐标与参数方程】 在极坐标系中，已知点到直线的距离为 3 （1）求实数的值； （2）设是直线 上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程， 并指出轨迹是什么图形 ( )ln()f xaxx,0)xe ln() ( )

9、 x g x x eaR 1a( )f x 1 ( )( ) 2 f xg x a( )f xa ( 2,0)A :sin()(0) 4 lm m m PlQOP| | 1OPOQQ 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知 （1）当时，解不等式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围 理 科 数 学（四）答 案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 【答案】B 【解析】可得，则，那么 2 【答案】D

10、 【解析】图中的阴影部分为去掉，则为 3 【答案】A 【解析】展开式的通项为， ( )2f xx xa 1a ( )2f xx (0,1x 2 1 ( )1 2 f xxa 2 1 i 1 i z 1 iz 2z z ABAB1,2,5 7 21 3 77 2 177 1 C (2)()C 2( 1) r rrrrrr r Txx x 由，得，那么展开式中常数项是 4 【答案】A 【解析】设的公差为，由，则， 那么，可得， 那么 5 【答案】D 【解析】小于 100 克的的频率为， 大于或等于 98 克并且小于 104 克的频率为， 由，可得 6 【答案】A 【解析】当时，排除 B、D； 当时

11、，排除 C 7【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域如图， 7 210 2 r6r 67 66 7 C 2( 1)14 n ad 3 5 5 3 a a 35 35aa 11 3(2 )5(4 )adad 1 7ad 71 91 721492128 936633627 Saddd Saddd (0.050.1) 20.3 (0.1 0.150.125) 20.75 0.30.75 36x 90x x 3 2 y 3 x 3 2 y 因为，则知当，时，； 当，时， 8【答案】C 【解析】可得，则， 则，则 9【答案】C 【解析】取的中点为、的中点为，连结， 知的中点即为此多面体外接球的球心

12、，可得， 那么外接球的表面积是 10 【答案】B 【解析】， 则， 则 11 【答案】D 【解析】不妨设，画与的图象，知， 则， 那么，则 12 【答案】B 【解析】设抛物线方程为，则， 设，则， 3 1 2 0x0y min 0z 7 3 x 5 3 y max 7531 32 333 z 11 lnln 164 xy 2 2 1lnlnln () lnln() 424 xyxy xy ln()1xy xye CFMDENMN MNO 22 1( 2)3OB 2 4( 3)12 0 0 00 ( )dcos d() (sin)(1)sin xx x x ttx f xe tt tetex (

13、 )sin(1)cos(sincos )cos xxx fxexexexxx 2 () 42 f 12 xx3 x y lnyx 12 1xx 1 11 3lnln x xx 2 22 3lnln x xx 21 1212 lnlnln()330 xx xxx x 12 01x x 2 2(0)ypx p(0,0)O(,0) 2 p F ( , )M x y 222 2 2 22 2 2 () () 2 4 MOxyxpx p pMF xy xpx 设，则， 即， 当时，则； 当时，则，解得，当时等号成立， 综上，当时，所以的最大值为 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小

14、题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13 【答案】或 【解析】当时，由，则； 当时，不符合要求； 当时，由，得 14 【答案】 【解析】， 由已知，则， 则 15 【答案】2 或 【解析】知，点有如图的两种位置情况 当为位置情况时，则； 当为位置情况时，则 2 2 2 2 4 xpx t p xpx 2 22 2 4 p xpxx ttpxt 2 2 (1)(2)0 4 p t xptp xt 1t 4 p x 1t 2 2 (2)4(1)0 4 p ptptt 4 3 t xp xp max 4 3 t MO MF 2 3 3 2715 6x234x27x 26x 2x23

15、8x 15x 5 3 (2,23)ab( 1, 1) ab () ()0abab(2,23) ( 1, 1)2230 5 3 2 3 2OFcP 1 P 1 60POF2PF 2 P 2 120POF2 3PF 16 【答案】 【解析】从 5 次中选 3 次，有种选法， 而其中 1 与 2 连续没投中、2 与 3 连续没投中、3 与 4 连续没投中，不满足要求， 则投中 3 次的概率为 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （1）， ， （2）， 由，得， ， 18 （1

16、）由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” ， 知表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” ， ，则 （2）的可能取值为 200 元，250 元，300 元， ， ， ， 则的分布列为 7 32 3 5 C 35 5 17 (C3) ( ) 232 22 31313 sin(cossin)(cossin)sin 22224 ABBBBB 0 2 A 3 sin 2 A 60A cos12bcA24bc 222 2cosabcbcA 22 52bc bc4b6c A 3 ( )(1 0.4)0.216P A ( )1( )1 0.2160.7

17、84P AP A X (200)(1)0.4P XP (250)(2)(3)0.20.20.4P XPP (300)1(200)(250)0.2P XP XP X X 200 250 300 P 04 04 02 元 19 （1）如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线 为轴，建立空间直角坐标系 取中点，连结， 由已知得， 所以， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面 （2）又，则， 设平面的法向量为，则， 所以，解得，所以， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为 20 （1）， X 200 0.4 250 0.4 300 0.2240EX CCBxCAy 1 CC z

18、 11 BCD 1 AD 1(0,2,2 2) A 1(0,0,2 2) C(0,2,2)M(1,0,2)N(1,0,2 2)D (1, 2,0)MN 1 (1, 2,0)AD 1 MNAD 1 MNAD MN 111 ABC 1 AD 111 ABC/MN 111 ABC (0,0,0)C(2,0,0)B( 2,2, 2)BM (0,2,2)CM BCM( , ,1)a bn0BMn0CMn 2220 220 ab b 0a 2 2 b 2 (0,1) 2 n 1 ( 2,0,2 2)BC 1 1 1 2 cos, 3 BC BC BC n n n 1 BCBCM 2 3 2abc 222

19、abc 2 2b 椭圆方程为 （2）， 设，则， 直线，代入椭圆方程， 得， ， ， （定值） 21 （1），则， 当时，此时单调递减； 当时，此时单调递增， 的极小值为 （2）的极小值，即在的最小值为 1， 令，则， 当时，则在上单调递减， ， 当时， （3）假设存在实数，使有最小值 3， 因为， 22 1 42 xy ( 2,0)C (2,0)D 0 (2,)My 11 ( ,)P x y 11 ( ,)OPx y 0 (2,)OMy 0 :(2) 4 y CMyx 22 24xy 2 2220 00 11 (1)40 822 y xy xy 2 0 1 2 0 4(8) ( 2) 8 y

20、 x y 2 0 1 2 0 2(8) 8 y x y 0 1 2 0 8 8 y y y 2 00 22 00 2(8)8 (,) 88 yy OP yy 222 000 222 000 4(8)8432 4 888 yyy OP OM yyy ( )ln()f xxx 11 ( )1 x fx xx 1ex ( )0fx( )f x 10x ( )0fx( )f x ( )f x( 1)1f ( )f x( )f x,0)e min ( )1f x 1ln()1 ( )( ) 22 x h xg x x 2 ln() 1 ( ) x h x x 0ex ( )0h x( )h x,0)e

21、maxmin 1111 ( )()1( ) 222 h xhef x e ,0)xe 1 ( )( ) 2 f xg x a( )ln()f xaxx 1 ( )fxa x 当时，由于，则， 函数是上的增函数， ，解得（舍去） ； 当时，则当时， 此时是减函数， 当时，此时是增函数， ，解得， 由以上知，存在实数，使的最小值是 3，它的值为 22 （1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系 则点的直角坐标为，直线 的直角坐标方程为 由点到直线 的距离为， （2）由（1）得直线 的方程为， 设，则， 因为点在直线 上，所以， 将代入，得 则点的轨迹方程为， 化为直角坐标方程为， 1 a

22、 e ,0)xe 1 ( )0fxa x ( )ln()f xaxx,0)e min ( )()13f xfeae 41 a ee 1 a e 1 ex a 1 ( )0fxa x ( )ln()f xaxx 1 0x a 1 ( )0fxa x ( )ln()f xaxx min 11 ( )( )1 ln()3f xf aa 2 ae a( )f x 2 e x A( 2,0)l20xym Al |22| 13 2 m dm 2m l sin()2 4 00 (,)P ( , )Q 0 0 0 0 1 1 00 (,)P l 00 sin()2 4 1 sin()2 4 Q 1 sin()

23、 24 22 221 ()() 8816 xy 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 23 （1）当时，不等式化为， 则可得或或， 可得或或， 则不等式解集为 （2）当时，恒成立， 则恒成立， 化为在上恒成立， 而在上为增函数，则 ，等号成立时 所以的取值范围为 Q 1 3 , 44 1 4 1a ( )2f xx122x xx 2 (1)22 x x xx 12 (1)22 x x xx 1 (1)22 x xxx x12x1x 2x x (0,1x 2 1 ( )1 2 f xx 2 1 21 2 x xax 1131 22 xax xx (0,1x 11 ( ) 2 g xx x (0,1x max 1 ( ) 2 g x 313 ( )26 22 h xx x 6 3 x a 1 (, 6) 2 a