河北省唐山市2020年高考4月联考理科数学试卷（含答案）

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1、高三理科数学第 1 页（共 6 页） 0.5 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 理科数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 A x | 2 x 0 ， B x Z | y ln(x

2、1) ，则 A B A1, 2 B (1, 2 C0,1, 2 D 1, 0,1, 2 2. 设复数 z 满足| z i | z i | ， i 为虚数单位，且 z 在复平面内对应的点为 Z (x, y) ，则 下列结论一定正确的是 A. x 1 B. y 1 C. x 0 D. y 0 3. 在ABC 中， AB ， BC 2 ， ABC 135 ，若使该三角形绕直线 BC 旋 转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A. 2 B C 3 D 2 3 2 4. 中华文化博大精深，我国古代算书周髀算经中介绍了用统计概率得到圆周率的 近似值的方法古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图 1）

3、做统计，现将其抽象 成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2cm，正方形的边长为 1cm，在圆内随机取点，若 统计得到此点取自阴影部分的概率是 P，则圆周率的近似值为（ ） 4 A. 1 p 1 B. 1 p 1 C. 1 4 p 1 D 4(1 p) 5. 已知3a 4 3b1，c b log (2x2 4x 4) ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） A. c b a B. a b c C. b a c D. a c b 高三理科数学第 2 页（共 6 页） 6. 已知圆C : x2 y2 1 ，定点 P x0 , y0 ，直线l : x0 x y0 y 1 ，则“点 P 在圆C 外

4、” 是“直线l 与圆C 相交”的（ ） A充分而不必要条件 C必要而不充分条件 B充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列an 的公差不为零，Sn 为其前 n 项和，S3 9 ，且 a2 1，a3 1 ，a5 1 构成等比数列，则 S5 =（ ） A -15 B15 C25 D 30 8. 对于函数y f x ，如果其图象上的任意一点都在平面区域 x, y | y x y x 0 内，则称函数f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx ； y ，下列结论正确的是( ) A 、 均是“蝶型函数” B 、 均不是“蝶型函数” C. 是“蝶型函数”； 不是“蝶型函数” D. 不是

5、“蝶型函数”： 是“蝶型函数” 9已知向量 a (1, t),b (2, y) ，其中 y t2 2 1 t2 1 ，则当 y 最小时， cos a,b A. 5 5 B. 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 10 函 数 f (x) Asin(2x ) （ ， 2 A 0 ） 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且 f (a) f (b) 0 ，对不同的 x1 ， x2 a,b ，若 f (x1 ) f (x2 ) ，有 f (x1 x2 ) ， 则（ ） A. f (x) 在( B. f (x) 在( 5 , ) 上是减函数 12 12 5 , ) 上是增函数 12 12 5 C. f

6、 (x) 在( , ) 上是增函数 3 6 5 D. f (x) 在( , ) 上是减函数 3 6 x 2 1 高三理科数学第 3 页（共 6 页） F , F x2 y2 F 11. 已知 1 2 分别为椭圆 1的左、右焦点， M 是椭圆上一点，过点 2 作 16 8 F1MF2 的角平分线的垂线， 垂足为 N ， 若| ON | 2（ O 为坐标原点） ， 则| OM |（ ） A. 3 2 B. 3 3 C 2 D 2 12已知函数 f (x) 是定义在100,100 的偶函数，且 f (x 2) f (x 2) 当 x 0, 2 时， f (x) (x 2)ex ，若方程 f (x)2

7、 mf (x) 1 0 有 300 个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为 A e 1 , 5 B e 1 , 5 C (, 2) D e 1 , 2 e 2 e 2 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13(1 mx)6 a a x a x2 a x6 且 a a a a a a 63 ，则负实数 0 1 2 6 m 的值为 1 2 3 4 5 6 y2 14. 双曲线 a2 x 2 b2 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y 2x，则其离心率为 15. 在ABC 中，已知 B ， CA CB AB 0 且 S AB BC BC CA CA AB 的值是 ABC

8、 ，则 AB ; 16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4，点 P 是 AA1 的中点，点 M 在侧面 AA1B1B 内，若 D1M CP ，则BCM 面积的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17（12 分） 已知ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，设 a cos B b cos A c ， （1） 求 A ; （2） 若 a ， ABC 的面积为 1，求以 a,2b,2c 为边的A1B

9、1C1 的面积。 高三理科数学第 4 页（共 6 页） 15 18（12 分） 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形， FAC 600 , 四边形 BCEF 为平行四边形， AB BC 3, AF 2 , BF ， （1） 求证：平面 ABC平面 ACDF （2） 求平面 AEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值 19（12 分） 设 F 为抛物线C : y2 2 px 的焦点，A 是C 上一点，FA 的延长线交 y 轴于点 B ，A 为 FB 的中点，且 FB 3 . （1） 求抛物线C 的方程； （2） 过 F 作两条互相垂直的直线l1 ，

10、l2 ，直线l1 与C 交于 M ， N 两点，直线l2 与C 交 于 D ， E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值. 20（12 分） 已知函数 f (x) k 2 a ln x ( k, a R 且 a 0 ). x （1） 求 f (x) 在2, ) 上的最小值; （2） 若 a 1 ,函数 f (x) 恰有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 x2 4 . 21（12 分） 世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格 的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期 7 至 10 天，比赛设 27 个大项，参赛规模 约 100 多个国家 8000

11、 余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增 进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运 会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在武汉举行，赛期 10 天，共设置射击、游泳、田径、篮 球等 27 个大项、329 个小项其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞 5 个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目现对某国在射击比赛预赛中的得分数 据进行分析，得到如下的频率分布直方图： 高三理科数学第 5 页（共 6 页） （1） 估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值 代表）； （2） 根

12、据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩 X 近似地服从正态分布 N , 2 ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50，用样本平均数 x 作为的 近 似值，用样本标准差 s 作为的估计值，求射击成绩得分 X 恰在 350 到 400 的概率；参考数 据：若随机变量服从正态分布 N , 2 ，则： P 0.6827 ， P 2 2 0.9545 ， P 3 3 0.9973 ； （3） 某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏， 送 大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控 1 车最终停在“胜利大本营”，则可获得购

13、车优惠券已知骰子出现任意点数的概率都是 ， 6 方格图上标有第 0 格，第 1 格，第 2 格，第 50 格遥控车开始在第 0 格，客户每抛 掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是 1，2，3，4，5 点，遥 控车向前移动一格（从 k 到k 1 ），若抛掷出正面向上的点数是 6 点，遥控车向前移动 两格（从 k 到 k 2 ），直到遥控车移动到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本 营）时，游戏结束设遥控车移动到第 n 格的概率为 Pn ，试证明Pn Pn11 n 49 是 等比数列，并求 P50 ，以及根据 P50 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力

14、高三理科数学第 6 页（共 6 页） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为cos m ，曲线C 的极坐标方程为 2 12 1 2 3 sin2 （1） 求曲线C1 的直角坐标方程和曲线C2 的参数方程； （2） 设曲线C1 与曲线C2 在第二象限的交点为 A ，曲线C1 与 x 轴的交点为 H ，点 M (1, 0) ，求AMH 的周长l 的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（

15、10 分） 已知函数 f (x) 2 | x 1 | mx ， m R （1） 当 m 3 时，求不等式 f (x) 4 0 的解集； （2） 若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值 唐山市20192020学年度高三4月六校联考 理科数学参考答案 一选择题：CDADB BCACB DA 二填空题： 13-3 14 2 6 1532 -10 16 8 5 5 三解答题： 17解： （1）由cAbBa coscos 结合正弦定理，得CABBAsincossincossin, 又BACsinsin=BABAsincoscossin所以ABABcossincossin

16、-,因为 0sinB ，所以0cosA ,因为 A0 所以 2 A 5分 高三理科数学第 7 页（共 6 页） （2）依题意1 2 1 bcS ABC ， 得 2bc且5 22 cb，设 111 CBA中，内角 111 ,CBA 的对边分别为 cba2 ,2 ,，则 cb cb A 222 544 cos 22 1 = bc cb 8 54 22 = 16 15 ，则 16 31 sin 1 A， 所以 111 CBA的面积 1 sin22 2 1 111 AcbS CBA = 1 sin2Abc= 4 31 。 12分 18 （1）证明：设O是AC中点，连结OF、OB、FC，在ABC中，AB

17、BC， OBAC， 四边形ACDF是菱形，60FAC，FAC是等边三角形，OFAC， FOB是二面角FACB的平面角,在Rt FAO中， 2 3AF ， 11 3 22 AOACAF， 22 1233OFAFAO ， 22 936OBABOA ，又15BF ， 222 OFOBBF， 90FOB， 平面ABC 平面ACDF 5分 （2）由（1）知OB、OC、OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴， OF为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0A， 3，0)，( 6B，0，0)， (0C ，3， 0)， (0F ，0，3)， (0AF ，3，3)，(0AC ，2 3，0)， 四边形BCEF

18、是平行四边形，(6, 3FEBC ，0)， (6,2 3AEAFFE ，3)， 设平面AEF的法向量 (nx ，y， ) z， 则 330 630 n AFyz n FEyy ， 取3x ，得( 3, 6,2)n ， 设平面ACE的法向量 (ma ，b， ) c， 则 62 330 2 30 m AEabc m ACb ，取3a ，得 ( 3,0, 2)m ， 设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为，则 |155 cos | |5555 m n mn 平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 55 55 12分 高三理科数学第 8 页（共 6 页） 19解： （1）如图，A为FB的中点

19、，A到y轴的距离为 4 p ， 3|3 | 42422 pppFB AF， 解得2p 抛物线C的方程为 2 4yx； 4分 （2）由已知直线 1 l的斜率存在且不为0，设其方程为(1)yk x 由 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 (24)0k xkxk 0，设 1 (M x， 1) y、 2 (N x， 2) y 12 2 4 2xx k ， 则 12 2 1 |24(1)MNxx k ；同理设 3 (D x， 3) y 、 4 (E x， 4) y ， 2 34 24xxk，则 2 34 |24(1)DExxk 四边形MDNE的面积32 1 28 2 1 2 2 k kDEM

20、NS 当且仅当1k 时，四边形BCDE的面积取得最小值32 12分 20解： （1）定义域 22 22 (0,)( ) aax fx xxx , 若2 2 a 即1a 时，在2,)上 0 xf， ( )f x单调递增,故( )f x在2,)的最小值 为(2)1ln2fka ; 若2 2 a 当01a时,在 2 2, a 上 0 xf， ( )f x单调递减,在 2 , a 上 0 xf， ( )f x单调递增,故( )f x在2,)的最小值为 22 lnfkaa aa 综上所述,当1a 时,故 ( )f x在2,)上的最小值为(2)1ln2fka ; 当01a时, ( )f x在2,)的最小值

21、为 22 lnfkaa aa 6分 （2）当1a 时,不妨 12 0xx , 11 1 2 ln0f xkx x , 22 2 2 ln0f xkx x , 得 12 12 22 lnlnxx xx ,故 21 2 21 2 11 2 lnlnln xxx xx x xx 令 2 1 (1) x t t x ,则 1 2(1) ln t t tx , 1 2(1) ln t x tt , 高三理科数学第 9 页（共 6 页） 所以 2 12 21 (1) ln t xxx t tt ,故 2 12 21 21 442ln lnln t xxtt tttt , 令 1 ( )2lng ttt t

22、 , 而 2 22 12(1) ( )10 t g t ttt ,所以 ( )g t在(1,)上单调递增 又1t ,所以( )(1)0g tg,而0lnt ,故 12 4xx 12分 21. 解：（1） 0.002X ； 3 分 （2）因为XN（300，50 2）， 所以 1 3504000.95450.68270.1359 2 PX； 5分 （3）摇控车开始在第0格为必然事件，P01，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇 控车移动到第1格，其概率为 5 6 ，即 1 5 6 P ；摇控车移到第n格（2n49）格的情况是 下列两种，而且也只有两种； 摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为

23、6点，其概率为 2 1 6 n P； 摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为 1 5 6 n P ， 故 21 15 66 nnn PPP ， 112 1 6 nnnn PPPP ，故1n49时，Pn-Pn-1是首项为 10 1 6 PP ，公比为 1 6 的等比数列，故 1 1 6 n nn PP ， 9分 PnP0（P1-P0）（P2-P1）（Pn-Pn-1） 1 21 1 1 111616 11 166676 1 6 n nn ， 高三理科数学第 10 页（共 6 4949 5048 11 61111 11 66 76762 PP ， 4950 1 1 2 PP ，

24、故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力 12分 22解： （1）将 cosx 代入 cosm ，可得x m ， 所以曲线 1 C的直角坐标方程为xm 由 2 2 12 3sin 可得 222 3sin12， 将 siny ， 222 xy代入上式，可得 222 3312xyy， 整理可得 22 1 43 xy ，所以曲线 2 C的参数方程为 2cos ( 3sin x y 为参数)5分 （2）由题可设2cos , 3s n()iA， 2 ，2cos(0),H， 所以3|i|s nAH， 1|2|cosHM ， 222 (1 2cos )3sincos4cos42c|osAM

25、， 所以3sin(12cos )|(2cos )|lAHHMAM 3sin3cos32 3sin()3 3 ， 所以当 32 ，即 6 时，l取得最大值为2 33， 所以AMH的周长l的最大值为2 33 10分 23解： （1）当3m 时， ( )421| 34|f xxx ，由 ( )40f x 可得2 1| 34| xx ， 所以 (34)2(1)34xxx ，解得2x ， 所以不等式 ( )40f x 的解集为(2, ) 5分 （2）由题可得 (2)2,1 ( ) (2)2,1 mxx f x mxx ， 因为函数 ( )f x的图象与x轴恰好围成一个直角三角形， 所以 2)21()(mm ，解得 3m ，当3m 时，(1)30f，函数 ( )f x的图 象与x轴没有交点，不符合题意. 10分