2020年4月北京市东城区高考数学第一次模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）第一次模拟试卷月份）第一次模拟试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 2已知复数 z（其中 i 是虚数单位），则|z|（ ） A B C1 D2 3抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ） A B（0，1） C（0，2） D（0，4） 4设函数 f（x）x+2（x0），则 f（x）（ ） A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 5 已知曲线 C 的方程为， 则 “ab” 是 “曲线 C 为焦点在 x 轴上的

2、椭圆” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6一排 6 个座位坐了 2 个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A12 B36 C72 D720 7 已知圆C与直线yx及x+y40的相切， 圆心在直线yx上， 则圆C的方程为 （ ） A（x1）2 +（y1）2 2 B（x1）2 +（y+1）2 2 C（x+1）2 +（y1）2 4 D（x+1）2 +（y+1）2 4 8已知正项等比数列an中，a1a5a927，a6与 a7的等差中项为 9，则 a10（ ） A729 B332 C181 D96 9春天来了，某池塘中的荷花枝繁

3、叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已 生长了（ ） A10 天 B15 天 C19 天 D2 天 10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至 少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A8 B7 C6 D5 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分 11设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 12已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点（1，），

4、则 sin 13某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 14若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），（2，1），（4，2）中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是 15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其 函数图象如图 （1） 所示 由于目前该片盈利未达到预期， 相关人员提出了两种调整方案， 图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象 给出下列四种说法： 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是

5、：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 三、解答题 16如图 1，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，ABAC2， BC4将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使得平面 A1DE平面 BCED，如图 （）求证：A1OBD； （）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值； 17在b2+aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，_，A，b，求ABC 的面积 18为了解甲、乙两个快递公司的

6、工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果 中随机抽取 10 天的数据，制表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 4.5 元； 乙公司 规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元 （）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所 得的劳务费记为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望； （）根据表

7、中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 19已知函数 f（x）lnx （1）若曲线 yf（x）存在斜率为1 的切线，求实数 a 的取值范围； （2）求 f（x）的单调区间； （3）设函数 g（x），求证：当1a0 时，g（x）在（1，+）上存在极小值 20已知椭圆 C：x2+3y26 的右焦点为 F （）求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率； （）直线 l：ykx+m（k0）过点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，如果点 P 关于 x 轴的对称点为 P，判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标； 如果不经过，说明理由 21各项均为非负整数的数列an同时满足下

8、列条件： a1m（mN*）；ann1（n2）；n 是 a1+a2+a n的因数（n1） （）当 m5 时，写出数列an的前五项； （）若数列an的前三项互不相等，且 n3 时，an为常数，求 m 的值； （）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M，使得 nM 时，an为常数 参考答案 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 【分析】先求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x（x+1）0x|1

9、x0， 集合 Bx|1x1， ABx|1x1 故选：C 2已知复数 z（其中 i 是虚数单位），则|z|（ ） A B C1 D2 【分析】利用复数模长的性质即可求解 解：复数 z， ， 故选：A 3抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ） A B（0，1） C（0，2） D（0，4） 【分析】利用抛物线 x24y 的准线方程为 y1，即可求出抛物线 x24y 的准线与 y 轴 的交点的坐标 解：抛物线 x24y 的准线方程为 y1， 抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（0，1）， 故选：B 4设函数 f（x）x+2（x0），则 f（x）（ ） A有最大值 B有最小

10、值 C是增函数 D是减函数 【分析】根据 x0 即可根据基本不等式得出，从而可得出 f（x）4，并 且 x1 时取等号，从而得出 f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项 解：x0， ，当且仅当，即 x1 时取等号， f（x）有最大值， f（x）在（，0）上没有单调性 故选：A 5 已知曲线 C 的方程为， 则 “ab” 是 “曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解：若 ab0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立

11、， 若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则满足 ab0，即 a0，b0，满足 ab，即必 要性成立， 即“ab”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选：B 6一排 6 个座位坐了 2 个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A12 B36 C72 D720 【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将 2 个三口之家的成员进行全排列，再对 2 个三 口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案 解：根据题意，先将 2 个三口之家的成员进行全排列，有36 种情况， 再对 2 个三口之家整体进行全排列，有2 种情况， 则有 36272 种不同的坐法； 故选：C

12、 7 已知圆C与直线yx及x+y40的相切， 圆心在直线yx上， 则圆C的方程为 （ ） A（x1）2 +（y1）2 2 B（x1）2 +（y+1）2 2 C（x+1）2 +（y1）2 4 D（x+1）2 +（y+1）2 4 【分析】根据圆心在直线 yx 上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆 C 与直线 yx 及 x+y40 的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程 解：圆心在 yx 上，设圆心为（a，a）， 圆 C 与直线 yx 及 x+y40 的相切， 圆心到两直线 yx 及 x+y40 的距离相等， 即：a1， 圆心坐标为（1，1），R， 圆 C 的标准方程为（x1）2+（y1）

13、22 故选：A 8已知正项等比数列an中，a1a5a927，a6与 a7的等差中项为 9，则 a10（ ） A729 B332 C181 D96 【分析】正项等比数列an的公比设为 q，q0，运用等差数列的中项性质和等比数列的 通项公式及性质，解方程可得公比 q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值 解：正项等比数列an的公比设为 q，q0， 由 a1a5a927，可得 a5327，即 a53，即 a1q43， a6与 a7的等差中项为 9，可得 a6+a718，即 a1q5+a1q618， 相除可得 q2+q60，解得 q2（3 舍去）， 则 a10a5q533296 故选：D 9春天来了，

14、某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已 生长了（ ） A10 天 B15 天 C19 天 D2 天 【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明 x 的范围，列出方 程求解即可 解：设荷叶覆盖水面的初始面积为 a，则 x 天后荷叶覆盖水面的面积 ya 2x（xN+）， 根据题意，令 2（a 2x）a 220，解得 x19， 故选：C 10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至 少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都

15、开车上班的职工人数至多是（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合 A，B， C 中元素个数分别为 n（A），n（B），n（C），根据 n（ABC）n（A）+n（B） +n（C）n（AB）n（AC）n（BC）+n（ABC），且 n（AB）n（A BC），n（AC）n（ABC），n（BC）n（ABC）可得 解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合 A，B，C 中 元素个数分别为 n（A），n（B），n（C）， 则 n（A）14，n（B）10，n（C）8，n（ABC）20， 因为 n（ABC）n（A）+n

16、（B）+n（C）n（AB）n（AC）n（BC）+n （ABC），且 n（AB）n（ABC），n（AC）n（ABC），n（BC） n（ABC）， 所以 14+10+820+n（ABC）3n（ABC），即 n（ABC） 6 故选：C 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分 11设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 【分析】利用向量平行的条件直接求解 解：向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行， + t（ +2 ）， ，解得实数 故答案为： 12已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点（1，），则 sin 1 【分析】

17、由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得 的值，可得 sin 的值 解：角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点（1，）， tan（+） ，故 + 为第二象限角 可令 +，此时， ，sin1， 故答案为：1 13某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积 解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分， 长方体的棱长为：2，1，2， 四棱锥的体积为：122 故答案为： 14若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），（2，1），（4，2）中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是 x28

18、y 或 y2x 【分析】由题意可设抛物线方程为 y22px（p0）或 x22py（p0），然后分类求解 得答案 解：由题意可得，抛物线方程为 y22px（p0）或 x22py（p0） 若抛物线方程为 y22px（p0），代入（1，1），得 p ， 则抛物线方程为 y2x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为 x22py（p0），代入（2，1），得 p2， 则抛物线方程为 x28y，此时（2，）在抛物线上，符合题意 抛物线的标准方程可以是 x28y 或 y2x 故答案为：x28y 或 y2x 15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其 函

19、数图象如图 （1） 所示 由于目前该片盈利未达到预期， 相关人员提出了两种调整方案， 图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象 给出下列四种说法： 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解 解：由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价， 故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不

20、变，但提高了票 价，即对； 故选： 三、解答题共 6 题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16如图 1，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，ABAC2， BC4将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使得平面 A1DE平面 BCED，如图 （）求证：A1OBD； （）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值； 【分析】（）推导出 A1ODE，从而 A1O平面 BCDE，由此能证明 A1OBD （）以 O 为原点，在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴，以 OE 为 y 轴，OA1 为 z 轴，建立空间直角坐标

21、系，由此能求出直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值 解：（）证明：在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点， O 为 DE 的中点，ABAC2，BC4 A1ODE， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使得平面 A1DE平面 BCED， A1O平面 BCDE， BD平面 BCDE，A1OBD （）解：以 O 为原点，在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴， 以 OE 为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，2，0），D（0，1，0）， （2，2，2），（2，1，0），（0，1，2）， 设平面

22、A1BD 的法向量为 （x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，2，1）， 设直线 A1C 和平面 A1BD 所成角为 ， 则直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值为： sin 17在b2+aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，_，A，b，求ABC 的面积 【分析】取，由余弦定理可得 cosB进而解得 B，C 的大小也 可得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取acosBbsinA，由正弦定理可得：tanB1，B（0，），

23、解得 B，可得 sinCsin （A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出； 取，可得，由此可求出 B 的大小，C 的大小也可 得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 解：（1）若选择， 由余弦定理， 因为 B（0，），所以； 由正弦定理，得， 因为，所以， 所以 所以 （2）若选择acosBbsinA，则 sinAcosBsinBsinA， 因为 sinA0，所以 sinBcosB， 因为 B（0，），所以； 由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 所以 （3）若选择， 则，所以， 因为 B（0，），所以， 所以，所以； 由正弦定理，得， 因为

24、，所以， 所以 ， 18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果 中随机抽取 10 天的数据，制表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 4.5 元； 乙公司 规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元 （）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所 得的劳务费记为 X（单

25、位：元），求 X 的分布列和数学期望； （）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 【分析】（）由茎叶图能求出甲公司员工 A 投递快递件数的平均数和众数 （）由题意能求出 X 的可能取值为 136，147，154，189，203，分别求出相对应的概 率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 （）利用（）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 解：（）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为： （32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）36， 众数为 33 （）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则 当 a34 时，X136 元，当 a35 时，X354+（

26、a35）7 元， X 的可能取值为 136，147，154，189，203， P（X136）， P（X147）， P（X154）， P（X189）， P（X203）， X 的分布列为： X 136 147 154 189 203 P （）根据图中数据，由（）可估算： 甲公司被抽取员工该月收入364.5304860 元， 乙公司被抽取员工该月收入165.5304965 元 19已知函数 f（x）lnx （1）若曲线 yf（x）存在斜率为1 的切线，求实数 a 的取值范围； （2）求 f（x）的单调区间； （3）设函数 g（x），求证：当1a0 时，g（x）在（1，+）上存在极小值 【分析】（1）

27、求出函数的导数，问题转化为 x2+x+a0 存在大于 0 的实数根，根据 y x2+x+a 在 x0 时递增，求出 a 的范围即可； （2）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 a 的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调 区间即可； （3）求出函数 g（x）的导数，根据 f（e）0，得到存在 x0（1，e）满足 g（x0） 0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可 解：（1）由 f（x）lnx1 得： f（x），（x0）， 由已知曲线 yf（x）存在斜率为1 的切线， f（x）1 存在大于 0 的实数根， 即 x2+x+a0 存在大于 0 的实数根， yx2+x+a 在 x0

28、 时递增， a 的范围是（，0）； （2）由 f（x），（x0）， 得：a0 时，f（x）0， f（x）在（0，+）递增； a0 时，若 x（a，+）时，f（x）0， 若 x（0，a），则 f（x）0， 故 f（x）在（a，+）递增，在（0，a）递减； （3）由 g（x）及题设得： g（x）， 由1a0，得：0a1， 由（2）得：f（x）在（a，+）递增， f（1）a10，取 xe，显然 e1， f（e）0， 存在 x0（1，e）满足 f（x0）0， 即存在 x0（1，e）满足 g（x0）0， 令 g（x）0，解得：xx0， 令 g（x）0，解得：1xx0， 故 g（x）在（1，x0）递减，在

29、（x0，+）递增， 1a0 时，g（x）在（1，+）存在极小值 20已知椭圆 C：x2+3y26 的右焦点为 F （）求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率； （）直线 l：ykx+m（k0）过点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，如果点 P 关于 x 轴的对称点为 P，判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标； 如果不经过，说明理由 【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出； （II）直线 l：ykx+m（k0）过点 F，可得 l：yk（x2）代入椭圆的标准方程可 得：（3k2+1）x212k2x+12k260（依题意0） 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可

30、得根与系数的关系点 P 关于 x 轴的对称点为 P，则 P（x1，y1）可得直线 PQ 的方程可以为，令 y0， ，把根与系数的关系代入化简即可得出 解：（）椭圆 C：， c2a2b24，解得 c2， 焦点 F（2，0），离心率 （）直线 l：ykx+m（k0）过点 F， m2k， l：yk（x2） 由，得（3k2+1）x212k2x+12k260（依题意0） 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则， 点 P 关于 x 轴的对称点为 P，则 P（x1，y1） 直线 PQ 的方程可以设为， 令 y0， 3 直线 PQ 过 x 轴上定点（3，0） 21各项均为非负整数的数列an同时满足下列条

31、件： a1m（mN*）；ann1（n2）；n 是 a1+a2+a n的因数（n1） （）当 m5 时，写出数列an的前五项； （）若数列an的前三项互不相等，且 n3 时，an为常数，求 m 的值； （）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M，使得 nM 时，an为常数 【分析】（）当 m5 时，写出数列an的前五项； （）对 a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求 m 的值； （）令 Sna1+a2+an，则 进一步推得 存在正整数 Mm，当 nM 时，必有成立再由成立证明 an为常 数 【解答】（）解：m5 时，数列an的前五项分别为：5，1，0，2，2 （）解：0ann1，0a

32、21，0a32， 又数列an的前 3 项互不相等， （1）当 a20 时， 若 a31，则 a3a4a51， 且对 n3，都为整数，m2； 若 a32，则 a3a4a52， 且对 n3，都为整数，m4； （2）当 a21 时， 若 a30，则 a3a4a50， 且对 n3，都为整数，m1，不符合题意； 若 a32，则 a3a4a52， 且对 n3，都为整数，m3； 综上，m 的值为 2，3，4 （）证明：对于 n1，令 Sna1+a2+an， 则 又对每一个 n，都为正整数，其中“”至多出现 m 1 个 故存在正整数 Mm，当 nM 时，必有成立 当时，则 从而 由题设知，又及 an+1均为整数， an+1，故常数 从而常数 故存在正整数 M，使得 nM 时，an为常数