2018-2019学年湖南省常德市高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、若命题“pq”为假,且“p”为假,则( ) Ap 或 q 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 q 的真假 2 (3 分)某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15, 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A35 B3 C3 D0.5 3 (3 分)动点 P 到点 M(1,0)与点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 4 (3 分)从某鱼池中捕得 130 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再 从池中捕得 100 条鱼,计算其中有记号的鱼为 10 条,试估计鱼池中
2、共有鱼的条数大约为 ( ) A1000 B1200 C130 D1300 5 (3 分)有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条 线段能构成一个三角形的概率为( ) A B C D 6 (3 分)已知随机变量 服从正态分布 N(2,2) ,且 P(4)0.8,则 P(02) 等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 7 (3 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 3, 3.5,则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是( ) A 0.4x+2.3 B 2x2.4 C 2x+9.5 D 0.3x+4.4 8 (3 分
3、)从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件 是( ) A至少有一个黒球与都是红球 第 2 页(共 18 页) B至少有一个黒球与都是黒球 C恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 D至少有一个黒球与至少有 1 个红球 9 (3 分)有下述说法: ab0 是 a2b2的充要条件 ab0 是的充要条件 ab0 是 a3b3的充要条件则其中正确的说法有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10 (3 分)6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人 2 本,不同的分法种数为( ) A6 B12 C60 D90 11 (3 分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了
4、两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互 独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是( ) A B C D 12 (3 分)已知椭圆 E:+1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直 线 l:3x4y0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|4,点 M 到直线 l 的距离不小于, 则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A (0, B (0, C,1) D,1) 二、填空题二、填空题 13 (3 分)在 5 张卡片上分别写有数字 1、2、3、4、5,然后将它们混
5、合,再任意排列成一 行,则得到的数能被 2 或 5 整除的概率是 14 (3 分) 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1, F2的连线互相垂直, 则PF1F2 的面积为 15 (3 分)若(2x1)na0+a1x+anxn,则 a1+a2+an 16 (3 分)已知 p: “x1,2,x2a0” ,q: “x0R,使 x02+2ax0+2a0” 若命题 “p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 第 3 页(共 18 页) 三、解答题(三、解答题(6 个小题,共个小题,共 70 分)分) 17 (10 分)如图,从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数
6、) 整理后画出的频率分布直方图如图:观察图形,回答下列问题: (1)79.589.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率 (60 分及以上为及格) (3)若准备取成绩最好的 300 名发奖,则获奖的最低分数约为多少? 18 (12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用 户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 6
7、5 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ,假设两地区用户 的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率 第 4 页(共 18 页) 19 (12 分)已知命题 p
8、:方程 x2+mx+10 有两个不相等的实根;命题 q:方程 4x2+4(m 2)x+10 无实根,若 p 或 q 为真,而 p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围 20 (12 分)已知(x2)n展开式中的二项式系数的和比(3a+2b)7展开式的二项式系 数的和大 128, ()求 n 的值; ()求(x2)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 21 (12 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白 色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的 可能性相同) ()求取出的 4 张卡片中,含有编号为
9、 3 的卡片的概率 ()在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和 数学期望 22 (12 分)已知点 A(0,2) ,椭圆 E:+1(ab0)的离心率为,F 是 椭圆的右焦点,直线 AF 的斜率为,O 为坐标原点 ()求 E 的方程; ()设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当OPQ 的面积最大时,求 l 的方程 第 5 页(共 18 页) 2018-2019 学年湖南省常德市高二(下)期中数学试卷(理科)学年湖南省常德市高二(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 (3 分)若命题“p
10、q”为假,且“p”为假,则( ) Ap 或 q 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 q 的真假 【分析】根据复合命题的真值表,先由“ p”为假,判断出 p 为真;再根据“pq”为 假,判断 q 为假 【解答】解:因为“ p”为假, 所以 p 为真; 又因为“pq”为假, 所以 q 为假 对于 A,p 或 q 为真, 对于 C,D,显然错, 故选:B 【点评】本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系: “pq”全真则 真; : “pq”全假则假; “ p”与 p 真假相反 2 (3 分)某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15, 那么由此
11、求出的平均数与实际平均数的差是( ) A35 B3 C3 D0.5 【分析】 在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90, 在计算过程中共有 30 个数,所以少输入的 90 对于每一个数来说少 3,求出的平均数与实际平均数的差可以 求出 【解答】解:在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90, 而3 平均数少 3, 求出的平均数减去实际的平均数等于3 第 6 页(共 18 页) 故选:B 【点评】本题考查平均数的性质,求数据的平均值和方差是研究数据常做的,平均值反 映数据的平均水平,而方差反映数据的波动大小,从两个方面可以准确的把握数据的情 况
12、3 (3 分)动点 P 到点 M(1,0)与点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 【分析】根据双曲线的定义:动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常 数时为双曲线;距离当等于两定点距离时为两条射线;距离当大于两定点的距离时无轨 迹 【解答】解:|PM|PN|2|MN|, 点 P 的轨迹为一条射线 故选:D 【点评】本题考查双曲线的定义中的条件:小于两定点间的距离时为双曲线 4 (3 分)从某鱼池中捕得 130 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再 从池中捕得 100 条鱼,计算其中有记号的鱼为 1
13、0 条,试估计鱼池中共有鱼的条数大约为 ( ) A1000 B1200 C130 D1300 【分析】设鱼池中共有鱼的条数大约为 n,利用等可能事件概率计算公式列出方程,能求 出结果 【解答】解:设鱼池中共有鱼的条数大约为 n, 则,解得 n1300, 故选:D 【点评】本题考查鱼池中共有鱼的条数的求法,考查等可能事件概率计算公式等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 5 (3 分)有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条 线段能构成一个三角形的概率为( ) A B C D 【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的所有事件是从五条线段
14、中取三 第 7 页(共 18 页) 条共有 C53种结果,而满足条件的事件是 3、5、7;3、7、9;5、7、9,三种结果,根据 古典概型公式得到结果 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有 C53种结果, 而满足条件的事件是 3、5、7;3、7、9;5、7、9,三种结果, 由古典概型公式得到 P, 故选:B 【点评】本题考查古典概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本 题可以列举出所有事件,概率问题同其他的知识点结合在一起,实际上是以概率问题为 载体,主要考查的是另一个知识点 6 (3 分)已知随机变量 服从正态分布 N(2,
15、2) ,且 P(4)0.8,则 P(02) 等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 【分析】据随机变量 X 服从正态分布 N(2,2) ,看出这组数据对应的正态曲线的对称 轴 x2,根据正态曲线的特点,得到 P(02)P(04) ,得到结果 【解答】解:随机变量 X 服从正态分布 N(2,2) , 2,得对称轴是 x2 P(4)0.8 P(4)P(0)0.2, P(04)0.6 P(02)0.3 故选:C 第 8 页(共 18 页) 【点评】本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟 形的曲线,其对称轴为 x,并在 x 时取最大值 从 x 点开始,曲线向正
16、负两个 方向递减延伸,不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的 7 (3 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 3, 3.5,则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是( ) A 0.4x+2.3 B 2x2.4 C 2x+9.5 D 0.3x+4.4 【分析】变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归 直线方程 【解答】解:变量 x 与 y 正相关, 可以排除 C,D; 样本平均数 3, 3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方
17、程恒过样本中心点是关键 8 (3 分)从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件 是( ) A至少有一个黒球与都是红球 B至少有一个黒球与都是黒球 C恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 D至少有一个黒球与至少有 1 个红球 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【解答】解:从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球, 在 A 中,至少有一个黒球与都是红球是对立事件,故 A 错误; 在 B 中,至少有一个黒球与都是黒球能同时发生,不是互斥事件,故 B 错误; 在 C 中,恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球是互斥而不对立的两个事件,故 C
18、 正确; 在 D 中,至少有一个黒球与至少有 1 个红球能同时发生,不是互斥事件,故 D 错误 故选:C 【点评】本题考查命题真假的判断,考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识,是基 第 9 页(共 18 页) 础题 9 (3 分)有下述说法: ab0 是 a2b2的充要条件 ab0 是的充要条件 ab0 是 a3b3的充要条件则其中正确的说法有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】 依次分析命题, ab0a2b2, 反之则不成立, 故错误; ab0, 反之则不成立,故错误;ab0a3b3,反之由不成立,故错误;综合可得答案 【解答】解:ab0a2b2,反之则不成立,故错误;
19、 ab0,反之则不成立,故错误; ab0a3b3,反之由不成立,故错误 故选:A 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解 答,注意避免不必要错误的发生 10 (3 分)6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人 2 本,不同的分法种数为( ) A6 B12 C60 D90 【分析】把 6 本书平均分给甲、乙、丙 3 个人,每人 2 本,分 3 步进行,先从 6 本书中 取出 2 本给甲,再从剩下的 4 本书中取出 2 本给乙,最后把剩下的 2 本书给丙,分别求 出其情况数目,进而由分步计数原理,可得结论; 【解答】解:把 6 本书平均分给甲、乙、丙 3 个人,
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