2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，且 ABR，则集合 B 可以是（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|x3 Dx|1x3 2 （5 分）命题 p：x0，xsinx，则p（ ） Ax0，xsinx Bx0，xsinx Cx0，xsinx Dx0，xsinx 3 （5 分）已知 ， 均为单位向量，| + |，则（2 + ） （ ）（ ） A B C D 4 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S3+S627，则 a2+a4（ ） A3 B6 C9 D12 5 （5 分）已知 E、F 分别为椭圆+1 的左、右焦点，倾斜角为 60的直线 l 过点 E， 且

2、与椭圆交于 A，B 两点，则FAB 的周长为（ ） A10 B12 C16 D20 6 （5 分）已知数列an满足 a12，an+1，则 an（ ） A2n Bn+1 C+1 D 7 （5 分）设 a、bR，原命题“若 x（a+b）2，则 xa2+b2” ，则关于其逆命题、否命 题、逆否命题的结论正确的是（ ） A逆命题与否命题均为真命题 B逆命题为假命题，否命题为真命题 C逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D否命题为假命题，道否命题为真命题 8 （5 分）下列函数中，最小周期为 且为偶函数的是（ ） Af（x）sin|2x| 第 2 页（共 18 页） Bf（x）tan（x） Cf（x）|c

3、os2x| Df（x） 9 （5 分）要得到函数 f（x）cos2xsin（2x）的图象，只需将函数 g（x）cos2x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 10 （5 分）当 x（0，+）时，ax23x+a0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A （， B， C，+） D （，+） 11 （5 分）已知 P 是椭圆 E：+1（ab0）上异于点 A（a，0） ，B（a，0）的 一点，E 的离心率为，则直线 AP 与 BP 的斜率之积为（ ） A B C D 12 （5 分）在ABC 中，若（3），则角 A 的最大值为（ ） A B C D 二

4、、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，4，则 14 （5 分）已知向量 （2，sin） ， （1，cos） ，且 ，则 sin（）cos（+） tan（） 15 （5 分）在ABC 中，|，BAC120，过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D， x+y，则 16 （5 分）如图，ABC 中，ACB 为钝角，AC10，BC6，过点 B 向ACB 的角平分 第 3 页（共 18 页） 线引垂线交于点 P，岩 AP6，则ABP 的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应

5、写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2ba）cosCccosA （1）求角 C； （2）若 c7，ABC 的面积为 10，求ABC 的周长 18 （12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，已知，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）已知 x，y 满足约束条件 （1）若 zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个，求 m 的值； （2）求 zx2+y2的取值范围 20 （12 分）已知数列bn的前 n 项和为 Sn，Sn+

6、bn2等差数列an满足 b1a23，b1+a5 7 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）证明：a1b2+a2b3+anbn+13 21 （12 分）设函数 f（x）cos（2x）+2sin（x）sin（x+） （1）求 f（x）的单调递减区间及其图象的对称轴方程； （2）若 f（x）在区间，a上的值域为，1，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的一个顶点为 A（3，0） ，且经过点（2， ） （1）求椭圆 C 的方程； 第 4 页（共 18 页） （2）过点 A 作斜率为 k（k0）的直线 l 交 C 于另一点 D，交 y 轴点 E，P 为线段 AD 的

7、 中点，O 为坐标原点，是否存在点 Q 满足对于任意的 k（k0）都有 OPEQ？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，且 ABR，则集合

8、 B 可以是（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|x3 Dx|1x3 【分析】可解出集合 Ax|x1，或 x3，并且 ABR 从而得出 B 可以是x|x 1 【解答】解：Ax|x1，或 x3，且 ABR； 符合条件的只有 B 故选：B 【点评】考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2 （5 分）命题 p：x0，xsinx，则p（ ） Ax0，xsinx Bx0，xsinx Cx0，xsinx Dx0，xsinx 【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案 【解答】解：命题 p：x0，xsinx，则p 为x0，xsinx， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是

9、全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定 方法是解答的关键 3 （5 分）已知 ， 均为单位向量，| + |，则（2 + ） （ ）（ ） A B C D 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解 【解答】解： ， 均为单位向量，且| + |， 3， 第 6 页（共 18 页） ， 则（2 + ） （ ）， 故选：B 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题 4 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S3+S627，则 a2+a4（ ） A3 B6 C9 D12 【分析】根据等差数列的求和公式可得 a1+2d3，即可求出 【解答】解：

10、S3+S627， 3a1+d+6a1+d27， 即 9a1+18d27， a1+2d3， a2+a42（a1+2d）6， 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题 5 （5 分）已知 E、F 分别为椭圆+1 的左、右焦点，倾斜角为 60的直线 l 过点 E， 且与椭圆交于 A，B 两点，则FAB 的周长为（ ） A10 B12 C16 D20 【分析】利用椭圆的简单性质，椭圆的定义，转化求解三角形的周长即可 【解答】解：椭圆+1， 可得 a5， 三角形 AF2B 的周长|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|AF1|+|BF1|， 所以：周长|AF1|+|AF2|+|BF1

11、|+|BF2|， 由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a10， 所以，周长4a20 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法， 属于基本知识的考查 第 7 页（共 18 页） 6 （5 分）已知数列an满足 a12，an+1，则 an（ ） A2n Bn+1 C+1 D 【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式 【解答】解：数列an满足 a12，an+1， 可得：，所以数列是等差数列，可得：， 可得 an， 故选：D 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力 7

12、（5 分）设 a、bR，原命题“若 x（a+b）2，则 xa2+b2” ，则关于其逆命题、否命 题、逆否命题的结论正确的是（ ） A逆命题与否命题均为真命题 B逆命题为假命题，否命题为真命题 C逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D否命题为假命题，道否命题为真命题 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的 逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题 【解答】解：原命题： “设 a、bR，原命题“若 x（a+b）2，则 xa2+b2” ，是假 命题， 原命题的逆否命题是假命题； 原命题的逆命题： “若 xa2+b2，则 x（a+b）2” ，是真命题， 原命题的否

13、命题是真命题 故选：A 【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 8 （5 分）下列函数中，最小周期为 且为偶函数的是（ ） 第 8 页（共 18 页） Af（x）sin|2x| Bf（x）tan（x） Cf（x）|cos2x| Df（x） 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】解：f（x）sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为，故排除 A； 由于 f（x）tan（x）为非奇非偶函数，故排除 B； f（x）|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为，故排除 C； f（x）cos2x 为偶函数，且

14、它的最小正周期为 ，故 D 满足条件， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题 9 （5 分）要得到函数 f（x）cos2xsin（2x）的图象，只需将函数 g（x）cos2x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 【分析】利用诱导公式、函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：函数 f（x）cos2xsin（2x）cos2x（cos2xsin2x） cos2x+sin2xcos（2x） ， 故将函数 g（x）cos2x 的图象向右平移个单位，可得 f（x）的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查诱

15、导公式的应用，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，统一 这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题 10 （5 分）当 x（0，+）时，ax23x+a0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 18 页） A （， B， C，+） D （，+） 【分析】对x（0，+） ，不等式 ax23x+a0 恒成立通过 a0 以及 a0，利用二 次函数的性质即可得出 【解答】解：当 a0 时，不等式不恒成立， 由二次函数的性质可知：a0，且94a20，解得 a， a0 时，ax23x+a0 不恒成立， 综上 a，+） 故选：C 【点评】本题考查了恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性

16、质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 11 （5 分）已知 P 是椭圆 E：+1（ab0）上异于点 A（a，0） ，B（a，0）的 一点，E 的离心率为，则直线 AP 与 BP 的斜率之积为（ ） A B C D 【分析】利用点 P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲 线的方程，即可确定 a，b 的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可 【解答】解：设 P（x，y） ，点 A（a，0） ，B（a，0） ，椭圆椭圆 E：+1，y2 b2（） 椭圆的离心率为， ，则，所以， 点 P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：， 故选：C 第 10 页（共 18 页） 【点

17、评】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中 档题 12 （5 分）在ABC 中，若（3），则角 A 的最大值为（ ） A B C D 【 分 析 】 根 据即 可 得 出， 从 而 得 出 ， 进 而 得 出 ，从而可求出 A 的最大值 【解答】解：； ； ，且 0A； A 的最大值为 故选：A 【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意 义，以及 a2+b22ab 的应用 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，4，

18、则 3 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出 【解答】解：设等比数列的公比为 q，由4，可得1+q34，解得 q33， q33， 故答案为：3 【点评】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前 n 项和公式的应用问题，属于基 础题 第 11 页（共 18 页） 14 （5 分）已知向量 （2，sin） ， （1，cos） ，且 ，则 sin（）cos（+） tan（） 【分析】由已知求得 tan，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值 【解答】解：由 （2，sin） ， （1，cos） ，且 ， 得 2cossin0，即 tan2 sin（）cos（+

19、）tan（）sin （sin） tan（） 故答案为： 【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本 关系式化简求值，是基础题 15 （5 分）在ABC 中，|，BAC120，过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D， x+y，则 【分析】由题意，可得出 BD2AD2DC，由向量三角形法则可得出， 再结合x+y，根据平面向量基本定理，得出 x，y 的值，即可得出答案 【解答】解：在ABC 中，|， BAC120， 过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D， 如图 ABC30， BD2AD， 且ADB60， 所以 DCAD BD2AD2DC， 第 12 页

20、（共 18 页） 又x+y，x，y 故答案为 【点评】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题 16 （5 分）如图，ABC 中，ACB 为钝角，AC10，BC6，过点 B 向ACB 的角平分 线引垂线交于点 P，岩 AP6，则ABP 的面积为 4 【分析】设 CPx，ACPBCP，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得 x 和 cos 的值，再计算 sinACB 以及 SABC、SACP和 SBCP的值，从而求得ABP 的面 积 【解答】解：如图所示， 设 CPx，ACPBCP， 则 cos， 由余弦定理得，AP2AC2+x22xACcos， 解得 x2，cos； s

21、inACBsin22； SABC61020， SACP10， 第 13 页（共 18 页） SBCP626， SABPSABCSACPSBCP201064， 即ABP 的面积为 4 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2ba）cosCccosA （1）求角 C； （2）若 c7，ABC 的面积为 10，求ABC 的周长 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数

22、公式化简已知等式可得 2sinBcosCsinB， 由 sinB0，可求 cosC，结合范围 C（0，） ，可求 C 的值 （2）由（1）及三角形面积公式可求 ab40，由余弦定理可求 a+b 的值， 即可解得ABC 的周长 【解答】 （本题满分为 10 分） 解： （1）（2ba）cosCccosA， 由正弦定理可得： （2sinBsinA）cosCsinCcosA， 可得：2sinBcosCsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB， sinB0， 解得：cosC， C（0，） ， C（5 分） （2）由（1）及已知可得：ABC 的面积为 10ab，解得 ab40， 由余弦

23、定理可得：c2a2+b2ab，可得：49（a+b）23ab（a+b）2340，解 得：a+b13， 第 14 页（共 18 页） ABC 的周长 a+b+c13+720（10 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定 理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，已知，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）根据数列的，nN*利用 anSnSn1求通项公式即可 （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解：

24、（1）由，得 当 n1 时，a1S13； 当 n2 时，anSnSn12n2+n2（n1）2+（n1）4n1 所以 an4n1 （2）， 所以 【点评】本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用累加法和分组求和法是解 决本题的关键 19 （12 分）已知 x，y 满足约束条件 （1）若 zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个，求 m 的值； （2）求 zx2+y2的取值范围 【分析】利用约束条件画出可行域， （1）利用目标函数的最优解求解即可 （2）利用目标函数的几何意义，转化求解即可 【解答】解：作出约束条件的可行域如图：由图形可知：A（3，1） ，B（7，9） ，C（1， 3）

25、； （1）zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个，若 m0，则 m2；若 m0，则 m 1，故 m1； 所以 m1 或 m2 第 15 页（共 18 页） （2）zx2+y2的几何意义是可行域内的点与（0，0）的距离的平方， 由图可得：zmin8； zmax|OB|2130 8z130 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何 意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力 20 （12 分）已知数列bn的前 n 项和为 Sn，Sn+bn2等差数列an满足 b1a23，b1+a5 7 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）证明：a1b2+a2b3+anbn

26、+13 【分析】 （1）由数列的递推式：n1 时，b1S1，n2 时，bnSnSn1，化简计算可 得 bn；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到 an； （2）由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证 【解答】解： （1）Sn+bn2， 可得 n1 时，b1S12b1，可得 b11； n2 时，bnSnSn12bn2+bn1， 即有 bnbn1， 可得 bn（）n 1； 等差数列an的公差设为 d，b1a23，b1+a57， 即有 a1+d3，a1+4d6， 解得 a12，d1，可得 an2+n1n+1； 第 16 页（共 18 页） （2）证明：设

27、Tna1b2+a2b3+anbn+12+3 （）2+（n+1） （）n， Tn2 （）2+3 （）3+（n+1） （）n+1， 相减可得Tn1+（）2+（）3+（）n（n+1） （）n+1 1+（n+1） （）n+1， 化简可得 a1b2+a2b3+anbn+13（n+3） （）n， 由（n+3） （）n0，可得 a1b2+a2b3+anbn+13 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公 式，考查数列的错位相减法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题 21 （12 分）设函数 f（x）cos（2x）+2sin（x）sin（x+） （1）求 f（x

28、）的单调递减区间及其图象的对称轴方程； （2）若 f（x）在区间，a上的值域为，1，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用恒等变换公式将 f（x）化为 sin（2x） ，再利用正弦函数的单调递 减区间和对称轴可得； （2）利用正弦函数的图象可得 【解答】解： （1）f（x）cos2x+sin2x+（sinxcosx） （sinx+cosx） cos2x+sin2xcos2xsin（2x） ， 令 2k+2x2k+，则 k+xk+，kZ f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ 由 2xk+（kZ）得 x+（kZ） f（x）图象的对称轴方程为 x+（kZ） （2）x，a，2x，2a 结合正

29、弦函数图象可知：2a，解得， 第 17 页（共 18 页） 实数 a 的取值范围是， 【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的一个顶点为 A（3，0） ，且经过点（2， ） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 A 作斜率为 k（k0）的直线 l 交 C 于另一点 D，交 y 轴点 E，P 为线段 AD 的 中点，O 为坐标原点，是否存在点 Q 满足对于任意的 k（k0）都有 OPEQ？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由由题意可得，解得 a29，b25，由此能求出椭圆方程 （2）直线的方程为 yk（x+

30、3） ，与椭圆联立，得（5+9k2）x2+54k2x+81k2450，由此 利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出 定点 Q 的坐标 【解答】解： （1）由题意可得，解得 a29，b25， 则椭圆 C 的方程为+1， （2）直线的方程为 yk（x+3） ，得 E（0，3k） ， 联立椭圆方程，消元化简得（5+9k2）x2+54k2x+81k2450， xA3， xD， yDk（xD+3）， D（，） ， 第 18 页（共 18 页） 又点 P 为 AD 的中点，P（，） ， 则 kOP（k0） ， 假设存在定点 Q（m，n） （m0）使得 OPEQ，则 kOPkEQ1， 即1 恒成立， k（9m+15）5n0 恒成立， ，即 m，n0， 因此定点 Q 的坐标为（，0） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与 求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆 性质的合理运用，是中档题