2018-2019学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（下）开学数学试卷（2月份）含详细解答

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1、我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “诸葛亮领八员将，每将又分八 个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更 该八个甲， 每个甲头八个兵 ” 则该问题中将官、 先锋、 旗头、 队长、 甲头、 士兵共有 （ ） A人 B人 C人 D人 7 （5 分）等比数列an中，a1，q，an，则 n（ ） A3 B4 C5 D6 8 （5 分） 已知等差数列an的前 n 项和 Sn， 若 a2+a38， S525， 则该数列的公差为 （ ） A2 B2 C3 D3 第 2 页（共 21 页） 9 （5 分）若实数 x，y 满足，则 x+y（ ） A有最小值无最大值 B有

2、最大值无最小值 C有最小值也有最大值 D无最小值也无最大值 10 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则目标函数 zx+3y 的最大值为（ ） A2 B1 C6 D8 11 （5 分）不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|1x2，则不等式 a（x2+1）+b（x1）+c 2ax 的解集为（ ） Ax|0x3 Bx|x0 或 x3 Cx|2x1 Dx|x2 或 x 1 12 （5 分）设 x，y 满足约束条件的最大值是（ ） A4 B0 C8 D12 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 Sn是等差数列an的前

3、n 项和，且 a2+a9+a196，则 S19 14 （5 分）等差数列an的公差 d0，a3是 a2，a5的等比中项，已知数列 a2，a4，a， a，a，为等比数列，数列kn的前 n 项和记为 Tn，则 2Tn+9 15 （5 分）在ABC 中，tanA3，ABC 的面积 SABC1，P0为线段 BC 上一定点， 且满足 CP0BC，若 P 为线段 BC 上任意一点，且恒有，则线段 BC 的长为 16 （5 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c，且 4c9a，若不等式 f（x）0 恒成立，则 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分

4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1722 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答 17 （10 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 2ccosC+cacosB+bcosA （1）求角 C； （2）若点 P 在边 AB 上，且 BP2，求 CP+CB 的最大值 第 3 页（共 21 页） 18 （12 分）如图，在ABC 中，AB2，AC4，线段 BC 的垂直平分线交线段 AC 于点 D， 且 DADB1 （1）求 cosA 的值； （2）求BCD 的面积 S 19 （12 分）已知数列an满足 a1，an+12a

5、n+（nN*） （1）若 bnan，证明：bn为等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 20 （12 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12，且 4S1，3S2，2S3成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bnnan，设数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 21 （12 分）某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力， 决定优化产业结构，调整出 x（xN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年 创造利润为 10（a0.8x%）万元（a0） ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提 高 0.4x% （I）若要

6、保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最 多调整出多少名员工从事第三产业？ （） 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创遣的年总利润条件下， 若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取 值范围是多少？ 22 （12 分）已知函数 （）求函数 f（x）的定义域，并证明函数 f（x）是奇函数； （）是否存在这样的实数 k，使 f（kx2）+f（2kx4）0 对一切恒 成立，若存在，试求出 k 的取值集合；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 21 页） 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南

7、省湘潭市湘潭县一中高二（下）开学数学试学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（下）开学数学试 卷（卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）在ABC 中，AC2，ACB135，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D， 则 CD（ ） A B C D 【分析】先根据余弦定理求出 AB2，再根据三角形面积公式即可求出 【解答】解：因为 AC2，ACB135 由余弦定理可得 A

8、B2AC2+BC22ABBCcosACB4+8+22220， 即 AB2， SABCACBCsinACBABCD， 即222CD， 即 CD， 故选：A 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于 中档题 2 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a，c2，cosA， 则 b（ ） A B C2 D3 【分析】由余弦定理可得 cosA，利用已知整理可得 3b28b30，从而 解得 b 的值 【解答】解：a，c2，cosA， 由余弦定理可得：cosA，整理可得：3b28b30， 第 6 页（共 21 页） 解得：b3 或（舍去） 故

9、选：D 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题 3 （5 分）锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，a 1，则ABC 周长的最大值为（ ） A B C3 D4 【分析】由正弦定理，可求 sinA，结合已知条件求出 A 的值，再利用余弦定理，基本不 等式可求 bc，解得 b+c2，即可得解ABC 的周长的最大值 【解答】解：， 由正弦定理得， 0C， sinC0 三角形 ABC 是锐角三角形， 由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， 1（b+c）23bc， bc b0，c0， ， （b+

10、c）24bc bc b+c2，当且仅当 bc1 时等号成立 ABC 周长 a+b+c 的最大值为 1+23 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转 化思想，属于中档题 第 7 页（共 21 页） 4 （5 分）在ABC 中，A60，B45，b2，则 a 等于（ ） A B C3 D 【分析】由正弦定理可得，代入即可求解 【解答】解：ABC 中，A60，B45，b2， 由正弦定理可得， 则 a 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理求解三角形，属于基本公式的简单应用 5 （5 分）已知数列an和bn首项均为 1，且 an1an（n2） ，an+1

11、an，数列bn的前 n 项和为 Sn，且满足 2SnSn+1+anbn+10，则 S2019（ ） A2019 B C4037 D 【分析】an1an（n2） ，an+1an，可得 anan+1an，anan+1，另外：a1a2a1， 可得 a2a11，可得 an1根据 2SnSn+1+anbn+10，可得 2SnSn+1+Sn+1Sn0，通过 转化，利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解：an1an（n2） ，an+1an， anan+1an， anan+1， 另外：a1a2a1，可得 a2a11， an1 2SnSn+1+anbn+10， 2SnSn+1+bn+10，2SnSn+1+S

12、n+1Sn0， 2 数列是等差数列，首项为 1，公差为 2 1+2（n1）2n1， Sn 第 8 页（共 21 页） S2019 故选：D 【点评】本题考查了数列递推关系、不等式的性质、等差数列的通项公式及其性质，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 6 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “诸葛亮领八员将，每将又分八 个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更 该八个甲， 每个甲头八个兵 ” 则该问题中将官、 先锋、 旗头、 队长、 甲头、 士兵共有 （ ） A人 B人 C人 D人 【分析】根据题意，分析可得该问题中有 8 名将官，82名先锋

13、，83名旗头，84名队长， 85名甲头，86名士兵，结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，该问题中有 8 名将官，82名先锋，83名旗头，84名队长，85名 甲头，86名士兵， 则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+82+83+84+85+86 （871） ， 故选：A 【点评】本题考查数列的应用，涉及数列的求和，注意建立数列的模型，属于基础题 7 （5 分）等比数列an中，a1，q，an，则 n（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】 根据题意， 结合等比数列的通项公式可得 ana1qn 1 （ ） （） n1 ， 解可得 n 的值，即可得答案 【

14、解答】解：根据题意，等比数列an中，a1，q，an， 则有 ana1qn 1（ ）（）n 1 ， 解可得：n4； 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式，属于 基础题 第 9 页（共 21 页） 8 （5 分） 已知等差数列an的前 n 项和 Sn， 若 a2+a38， S525， 则该数列的公差为 （ ） A2 B2 C3 D3 【分析】由条件利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，求出该数列的公差 【解答】解：等差数列an的前 n 项和 Sn，设公差为 d，若 a2+a32a1+3d8，S525 5a1+10d， 解得 d2， 故选：B 【点评】

15、本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，属于基础题 9 （5 分）若实数 x，y 满足，则 x+y（ ） A有最小值无最大值 B有最大值无最小值 C有最小值也有最大值 D无最小值也无最大值 【分析】先由约束条件画出可行域，再求出最优解，利用目标函数的几何意义，推出结 果 【解答】解：如图即为实数 x，y 满足的可行域， 得 A（，） 由图易得：当 x，y时， x+y 有最小值没有最大值 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 第 10 页（共 21 页） 10 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则目标函数 zx+3y 的最大值为（ ） A

16、2 B1 C6 D8 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由 x，y 满足不等式组作出可行域如图， 化目标函数 zx+3y 为 yx+， 由图可知，当直线 yx+过 A（0，2）时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 6 故选：C 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 11 （5 分）不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|1x2，则不等式 a（x2+1）+b（x1）+c 2ax 的解集为（ ） Ax|0x3 Bx|x0 或 x3 Cx|2x1 Dx|x2

17、或 x 1 【分析】根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到 a0，且有 ， 然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式， 设出该不 等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关 第 11 页（共 21 页） 系可求得要求解的不等式的解集 【解答】解：因为不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|1x2，所以1 和 2 是方程 ax2+bx+c0 的两根且 a0， 所以， 由 a（x2+1）+b（x1）+c2ax，得：ax2（2ab）x+ab+c0， 设 ax2（2ab）x+ab+c0 的两根为 x3，x4，则， ，联立得：x30，x43， 因为

18、 a0，所以 ax2（2ab）x+ab+c0 的解集为x|0x3， 所以不等式 a（x2+1）+b（x1）+c2ax 的解集为x|0x3 故选：A 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了 借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题 12 （5 分）设 x，y 满足约束条件的最大值是（ ） A4 B0 C8 D12 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+y 过 点 A（4，4）时，z 最大值即可 【解答】解：先根据 x，y 满足约束条件 画出可行域， 然后平移直线 0x+y， 当直线 zx+y 过点，解得

19、 A（4，4）时， z 最大值为 8 故选：C 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a2+a9+a196，则 S19 38 【分析】根据等差数列的性质和求和公式可求出 a1+a194，再根据求和公式计算即可 【解答】解：a2+a9+a196， a1+d+a10d+a196， a1+（a1+a19）+a196， a1+a194， S1938， 故答案为：38 【点评】本题主要

20、考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础试题 14 （5 分）等差数列an的公差 d0，a3是 a2，a5的等比中项，已知数列 a2，a4，a， a，a，为等比数列，数列kn的前 n 项和记为 Tn，则 2Tn+9 3n+2+2n 【分析】由已知 a3是 a2与 a5的等比中项，我们可构造一个关于数列基本量（首项与公 差）的方程，解方程可以找到首项与公差的关系，又由数列 a2，a4， ，为等比数列，则我们可以得到该数列的公比，进而给出该数列的通项公式， 进一步给出数列kn的通项 kn，由数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所 求和 【解答】解：由 a3是 a2，a5的等比中项得 a32

21、a2a5， 即（a1+2d）2（a1+d）a1+4d） ， 第 13 页（共 21 页） 又 d0，a10， 又数列 a2，a4，为等比数列， 可得该数列的公比为 q3， 所以a23n+1d3n+1， 又a1+（kn1）d（kn1）d， 则 kn3n+1+1， 前 n 项和记为 Tn（9+27+3n+1）+n +n， 可得 2Tn+93n+2+2n 故答案为：3n+2+2n 【点评】本题考查等比数列中项性质和等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运 用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 15 （5 分）在ABC 中，tanA3，ABC 的面积 SABC1，P0为线段 B

22、C 上一定点， 且满足 CP0BC，若 P 为线段 BC 上任意一点，且恒有，则线段 BC 的长为 【 分 析 】 设AC中 点 为M ， 由 极 化 恒 等 式 可 得 ：， 依题意可得 PMP0M 恒成立，MP0BC作 ADBC 于 D， 设 ADh，tana 【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 设AC中 点 为M ， 由 极 化 恒 等 式 可 得 ， 又， 即， 且恒有，则 PMP0M 恒成立 MP0BC 第 14 页（共 21 页） 作 ADBC 于 D，则 BDDP0P0Ca 设 ADh，tan tanA3，ABC 的面积 SABC1， tan（CAD+BAD）， a 故答案为：

23、【点评】本题考查了向量的极化恒等式的应用，及三角运算，属于难题 16 （5 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c，且 4c9a，若不等式 f（x）0 恒成立，则 的取值范围是 （，）（3，+） 【分析】 若不等式 f （x） 0 恒成立， 则， 设 x， y， 则， 则1+，令 z，则 z 表示区域内的点（x，y）与 P（1， 2）连线的斜率，结合图象利用 PA 和 PB 的斜率可得 【解答】解：若不等式 f（x）0 恒成立，则， 又由 4c9a， 设 x，y，则， 则1+， 令 z，则 z 表示区域内的点（x，y）与 P（1，2）连线的斜率， 第 15 页（共 21 页） 因为 A（3

24、，） ，所以 kPA， 设直线 PB：yk（x1）2，联立得 x24kx+4k+80， 16k216k320k1，k2， 由图可知，z（，）（2，+） ， 故答案为（，）（3，+） 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1722 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答 17 （10 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 2ccosC+cacosB+bcosA （1）求角 C； （2）若点 P 在

25、边 AB 上，且 BP2，求 CP+CB 的最大值 【分析】 （1）由已知结合正弦定理，两角和的正弦公式可求 cosC，进而可求 C （2）令 CPx，CBy，BCP，由，及（1）所求的 C 可求 cos，然 后在BCP 中，由余弦定理及基本不等式即可求解 CP+CB 的最大值 【解答】解： （1）2ccosC+cacosB+bcosA， 由正弦定理可得，2sinCcosC+sinCsinAcosB+sinBcosA， 即 2sinCcosC+sinCsin（A+B）sinC， sinC0， 第 16 页（共 21 页） cosC0， 0C， C， （2）令 CPx，CBy，BCP， ，C，

26、cos， BCP 中，由余弦定理可得，cos ， 整理可得， 解不等式可得，0， 即 CP+CB 的最大值 2 【点评】本题主要考查了和角正弦公式及余弦定理，基本不等式在求解三角形中的应用， 属于知识的简单综合 18 （12 分）如图，在ABC 中，AB2，AC4，线段 BC 的垂直平分线交线段 AC 于点 D， 且 DADB1 （1）求 cosA 的值； （2）求BCD 的面积 S 【分析】 （1）依题意得 BDDC，可求，DCDB，利用余弦定理可求 cosA 的值； （2）由同角三角函数基本关系式可求 sinA，根据余弦定理，正弦定理，三角形面积公式 第 17 页（共 21 页） 即可求解

27、 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）依题意得 BDDC， 因为 ACDA+DC4，DADC1， 所以，DCDB， 在ABD 中，cosA（5 分） （2）由（1）知 cosA， 所以 sinA， 在ABC 中，BC2AB2+AC22ABACcosA， 又由，即 sinC， 所以 SCDCBsinC （12 分） （注意：还可以用ABC 的面积减去ABD 的面积进行求解） 【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积 公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知数列an满足 a1，an+12an+（nN*） （1）若 b

28、nan，证明：bn为等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）直接利用等比数列的定义的应用和递推关系式的整理和应用求出结果 （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用分组法和裂项相消法求 出数列的和 【解答】证明（1）数列an满足 a1，an+12an+， 所以：， ， 第 18 页（共 21 页） 2， ， 则：（常数） 故：数列bn为等比数列 （2）由于数列bn为等比数列， 则：， 整理得：， 则：+（） ， ， 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，分组法和裂项相消法在数列求 和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型

29、20 （12 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12，且 4S1，3S2，2S3成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bnnan，设数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （1）由已知得公比，进一步可得通项公式； （2）由（1）得 bn，然后用裂项求和得 Tn 【解答】解： （1）依题意得 6S24S1+2S3，即 6（a1+a2）4a1+2（a1+a2+a3） ， 化简得 2a2a3，即 q2，所以 an2n （2）由（1）知 an2n，则， 所以 得， 第 19 页（共 21 页） 所以， 整理得 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项

30、和公式、 “裂项求和” ，考查了推理 能力与计算能力 21 （12 分）某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力， 决定优化产业结构，调整出 x（xN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年 创造利润为 10（a0.8x%）万元（a0） ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提 高 0.4x% （I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最 多调整出多少名员工从事第三产业？ （） 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创遣的年总利润条件下， 若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创

31、造的年总利润，则 a 的取 值范围是多少？ 【分析】 （）根据题意可列出 10（1000x） （1+0.4x%）101000，进而解不等式求 得 x 的范围，确定问题的答案 （）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工 的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得 a 的取值范围 【解答】解： （）由题意得：10（1000x） （1+0.4x%）101000， 即 x2750x0，又 x0，所以 0x750 即最多调整 750 名员工从事第三产业， （）从事第三产业的员工创造的年总利润为 10（a）x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 10（100

32、0x） （1+x）万元， 则 10（a）x10（1000x） （1+x） ， 即 ax1000+4xxx2， 所以 ax+1000+3x， 即 a+3，在 x（0，750恒成立， 第 20 页（共 21 页） 因为+24， 当且仅当，即 x500 时等号成立 所以 a7，又 a0，所以 0a7， 故 a 的取值范围为（0，7 【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用考查了学生综合运用所学 知识，解决实际问题的能力 22 （12 分）已知函数 （）求函数 f（x）的定义域，并证明函数 f（x）是奇函数； （）是否存在这样的实数 k，使 f（kx2）+f（2kx4）0 对一切恒 成立，

33、若存在，试求出 k 的取值集合；若不存在，请说明理由 【分析】 （）真数大于 0 解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性； （）假设存在实数 k 后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然 后转化为最值即可得 【解答】解： （）由0 得2x2， 所以 f（x）的定义域为（2，2） ； f（x）lglgf（x） ， f（x）是奇函数 （）假设存在满足题意的实数 k，则 令 t1，x（2，2） ， 则 t 在（2，2）上单调递减，又 ylgt 在（0，+）上单调递增， 于是函数 f（x）在（2，2）上单调递减， 已知不等式 f（kx2）+f（2kx4）0f（kx2）f（2kx4） f（kx2）f（x42k）2kx2x42k2， 由题意知2kx2x42k2 对一切 x，恒成立， 得不等式组对一切 x，恒成立， 第 21 页（共 21 页） ，即 k 故不存在满足题意的实数 k 【点评】本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立