2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知数列an满足 a12，anan1+2（nN*，n2） ，则 a3（ ） A5 B6 C7 D8 3 （4 分）已知命题 p：x1，x21，则p 为（ ） Ax1，x21 Bx1，x21 Cx1，x21 Dx1，x21 4 （4 分）已知 a，bR，若 ab，则（ ） Aa2b Babb2 Ca2b2 Da3b3 5 （4 分）已知向量 （1，2，1） ， （3，x，y） ，且 ，那么| |（ ） A B6 C9 D18 6 （4 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b 相交”是“平 面 和平面 相交”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条

2、件 D既不充分也不必要条件 7 （4 分）已知向量 （1，x，2） ， （0，1，2） ， （1，0，0） ，若 ， ， 共面， 则 x 等于（ ） A1 B1 C1 或1 D1 或 0 8 （4 分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉他在研究圆内整点问题时，定 义了一个函数 f（x）x，其中x表示不超过 x 的最大整数，比如3根据以上定 义，当时，数列 xf（x） ，f（x） ，x（ ） A是等差数列，也是等比数列 B是等差数列，不是等比数列 C是等比数列，不是等差数列 D不是等差数列，也不是等比数列 9 （4 分）设有四个数的数列an，该数列前 3 项成等比数列，其和为 m，后 3

3、 项成等差数 第 2 页（共 20 页） 列，其和为 6则实数 m 的取值范围为（ ） Am6 B Cm6 Dm2 10 （4 分）曲线 C：x3+y31给出下列结论： 曲线 C 关于原点对称； 曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1； 曲线 C 只经过 2 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 11 （5 分）设 P 是椭圆上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为 2，则 P 到右焦点 的距离为 12 （5 分）不等式0 的解集为 13（5 分

4、） 能说明 “若 ab， 则” 为假命题的一组 a、 b 值是 a ， b 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线1（a0，b0）的右焦点 F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 15 （5 分）某渔业公司今年初用 100 万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需 各种费用 4 万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加 2 万元 若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为 万元； 当 n 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用） 16 （5 分）若 x1，x2，x3，x9表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规 则如下： （1）对

5、一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作； （2）灯 x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 ixN|2x9，要求灯 xi的 左边有且只有灯 xi1是开灯状态时才可以对灯 xi进行一次操作 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 x4关闭最少需要 次操作； 如果除灯 x6外， 其余 8 盏灯都处于开灯状态， 那么要使所有灯都开着最少需要 次 第 3 页（共 20 页） 操作 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （13 分）已知等比数列an的公比为 2，且 a3，a4+4

6、，a5成等差数列 （）求an的通项公式； （）设an的前 n 项和为 Sn，且 Sn62，求 n 的值 18 （13 分）已知函数 f（x）x2+ax，aR （）若 f（a）f（1） ，求 a 的取值范围； （）若 f（x）4 对xR 恒成立，求 a 的取值范围； （）求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集 19 （13 分）已知椭圆（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且AFB90，求 AFB 的面积 20 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AD平面 ABP，BCAD，PAB90

7、PA AB2，AD3，BCm，E 是 PB 的中点 （）证明：AE平面 PBC； （）若二面角 CAED 的余弦值是，求 m 的值； （）若 m2，在线段 AD 上是否存在一点 F，使得 PFCE若存在，确定 F 点的位 置；若不存在，说明理由 21 （14 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，抛物线 C 上横坐标为 1 的点到焦点 F 的距离 为 3 （）求抛物线 C 的方程及其准线方程； 第 4 页（共 20 页） （）过（1，0）的直线 l 交抛物线 C 于不同的两点 A，B，交直线 x4 于点 E，直 线 BF 交直线 x1 于点 D是否存在这样的直线 l，使得 DEAF？若不存

8、在，请说明 理由；若存在，求出直线 l 的方程 22 （13 分）若无穷数列 a1，a2，a3，满足：对任意两个正整数 i，j（ji3） ，ai1+aj+1 ai+aj与 ai+1+aj1ai+aj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列” （）求证：若数列an为等差数列，则an为“和谐数列” ； （）求证：若数列an为“和谐数列” ，则数列an从第 3 项起为等差数列； （）若an是各项均为整数的“和谐数列” ，满足 a10，且存在 pN*使得 app， a1+a2+a3+app，求 p 的所有可能值 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷学年

9、北京市西城区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. 1 （4 分）已知椭圆的一个焦点为（2，0） ，则 a 的值为（ ） A B C6 D8 【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解 a 即可 【解答】解：椭圆的一个焦点为（2，0） ， 所以椭圆的长轴是 x 轴， 所以，解得 a2 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 2 （4 分）

10、已知数列an满足 a12，anan1+2（nN*，n2） ，则 a3（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】结合等差数列的定义及通项公式即可求解 【解答】解：由题意可知数列是以 a12 为是首项，以 2 为公差的等差数列， 则 a36 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题 3 （4 分）已知命题 p：x1，x21，则p 为（ ） Ax1，x21 Bx1，x21 Cx1，x21 Dx1，x21 【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命 题的否定 【解答】解：命题 p：x1，x21，则p：x1，x21； 故选：C 【点评】

11、本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等 第 6 页（共 20 页） 号的变化，考查转化思想，属于基础题 4 （4 分）已知 a，bR，若 ab，则（ ） Aa2b Babb2 Ca2b2 Da3b3 【分析】利用不等式的性质，逐项分析即可 【解答】解：取 a2，b1，a2b，故选项 A 错误； 当 b0 时，abb20，故选项 B 错误； 取 a1，b0，显然选项 C 错误； 由 yx3为 R 上的增函数可知，当 ab 时，a3b3，故选项 D 正确 故选：D 【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题 5 （4 分）已知向量 （1，2，1） ， （3，x，y）

12、 ，且 ，那么| |（ ） A B6 C9 D18 【分析】根据题意，设 k ，即（3，x，y）k（1，2，1） ，分析可得 x、y 的值， 进而由向量模的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，向量 （1，2，1） ， （3，x，y） ，且 ， 则设 k ，即（3，x，y）k（1，2，1） ， 则有 k3， 则 x6，y3， 则 （3，6，3） ，故| |3； 故选：A 【点评】本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出 x、y 的值 6 （4 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b 相交”是“平 面 和平面 相交”的（ ） A充分不必要条件 B必

13、要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平 面 和平面 相交” ，反之不成立 【解答】解：直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交” 第 7 页（共 20 页） “平面 和平面 相交” ， 反之不成立 “直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础 题 7 （4 分）已知向量 （1，x，2） ， （0，1，2） ， （1，0，0） ，若 ， ， 共面， 则

14、 x 等于（ ） A1 B1 C1 或1 D1 或 0 【分析】由 ， ， 共面，得，由此能求出 x 的值 【解答】解：向量 （1，x，2） ， （0，1，2） ， （1，0，0） ， ， ， 共面， ，（1，x，2）（n，m，2m） ， 解得 n1，mx，22m，x1 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 8 （4 分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉他在研究圆内整点问题时，定 义了一个函数 f（x）x，其中x表示不超过 x 的最大整数，比如3根据以上定 义，当时，数列 xf（x） ，f（x） ，x（ ） A是等差数列，

15、也是等比数列 B是等差数列，不是等比数列 C是等比数列，不是等差数列 D不是等差数列，也不是等比数列 【分析】根据题意，求出 f（x）和 xf（x）的值，即可得数列 xf（x） ，f（x） ，x；据 此分析可得答案 【解答】解：根据题意，当时，f（x）2， 则 xf（x）（+1）21， 第 8 页（共 20 页） 数列 xf（x） ，f（x） ，x，即1，2，+1，其不是等差数列，也不是等比数列； 故选：D 【点评】本题考查数列的表示方法，关键是求出 f（x） ，属于基础题， 9 （4 分）设有四个数的数列an，该数列前 3 项成等比数列，其和为 m，后 3 项成等差数 列，其和为 6则实数

16、m 的取值范围为（ ） Am6 B Cm6 Dm2 【分析】本题先根据等差数列列出后 3 项，然后根据等比中项的性质算出第 1 项，再写 出 m 关于 d 的表达式，根据二次函数的性质可得出实数 m 的取值范围 【解答】解：由题意，后 3 项成等差数列，其和为 6， 故可设公差为 d，后 3 项可写成 2d，2，2+d 又前 3 项成等比数列， 根据等比中项的性质，可知第 1 项为 数列an为：，2d，2，2+d m+2d+2 d23d+6 （d3）2+ 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的性质，二次函数的知识，考查了函数思想 的应用及计算能力本题属中档题 10 （4 分）曲线

17、C：x3+y31给出下列结论： 曲线 C 关于原点对称； 曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1； 曲线 C 只经过 2 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】将方程中的 x 换成x，y 换成y，即有x3y31，则 x3+y31，曲线 C 关于原点不对称；曲线 C：x3+y31 过点 M（x，） ，M 到原点 O（0，0）的距离： 第 9 页（共 20 页） |MO|1；曲线 C：x3+y31 经过（1，0） ， （0，1）两个整数点 【解答】解：将方程中的 x 换成x，y 换成y，即有x3y31，则 x3+y31， 所以曲线 C 关

18、于原点不对称，故错误； 曲线 C：x3+y31 过点 M（x，） ， M 到原点 O（0，0）的距离：|MO|1，故正确； 曲线 C：x3+y31 经过（1，0） ， （0，1）两个整数点，故正确； 故正确的结论的序号是：， 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查曲线的对称性、曲线上的点到原点的距离和整 点问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 11 （5 分）设 P 是椭圆上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为 2，则 P 到右焦点 的距离为 8 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程

19、可得 a 的值，结合椭圆的定义可得若 M 为椭圆上 一点，则有|MF1|+|MF2|2a10，又由题意，分析可得答案 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为+1， 其中 a5， 若 P 为椭圆上一点，则有|PF1|+|PF2|2a10， 又由 P 到左焦点 F1的距离是 2，则 P 到右焦点的距离为 1028； 故答案为：8 【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的定义分析 12 （5 分）不等式0 的解集为 （0，1） 【分析】由不等式0 可得 x（x1）0，由此解得不等式的解集 【解答】解：由不等式0 可得 x（x1）0，解得 0x1， 故答案为： （0，1） 【点评】本题主要考查分式不

20、等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题 第 10 页（共 20 页） 13 （5 分） 能说明“若 ab，则”为假命题的一组 a、 b 值是 a 1 ，b 1 【分析】结合不等式的性质即可进行判断 【解答】解：利用 a1，b1 时，满足 ab，但是， 故此时若 ab，则”为假命题 故答案为：1，1 【点评】本题主要考查了命题的真假判断，属于基础试题 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线1（a0，b0）的右焦点 F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可 【解答】解：双曲线1（a0

21、，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 yx 的距离为c， 可得：b， 可得，即 c2a， 所以双曲线的离心率为：e 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 15 （5 分）某渔业公司今年初用 100 万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需 各种费用 4 万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加 2 万元 若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为 n2+3n+100 万元； 当 n 10 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用） 【分析】第一空：根据增长规律可求得第 n 年捕捞所需费用为 2n+2，进而求出总费用； 第二空：表示

22、出平均花费，利用基本不等式即可求出 n10 时平均花费最低 【解答】解：因为第一年捕捞工作需各种费用 4 万元，从第二年开始，每年所需费用均 比上一年增加 2 万元， 第 11 页（共 20 页） 则第n年捕捞所需费用为4+2 （n1） 2n+2， 所以总花费为+100n2+3n+100； 平均花费n+32+323，当且仅当 n2100 即 n10 时， 平均花费最小， 故答案为：n2+3n+100；10 【点评】本题考查函数模型的实际应用，涉及基本不等式求最值，属于综合题 16 （5 分）若 x1，x2，x3，x9表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规 则如下： （1）对一盏

23、灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作； （2）灯 x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 ixN|2x9，要求灯 xi的 左边有且只有灯 xi1是开灯状态时才可以对灯 xi进行一次操作 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 x4关闭最少需要 3 次操作； 如果除灯 x6外，其余 8 盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 21 次 操作 【分析】 （1）把灯 x2关闭，再把 x1灯关闭，再把 x4灯关闭，最少需要 3 次操作； （2）按照规则，适当对灯 x1操作，先把灯 x6打开，再一步一步把前面的灯打开即可 【解答】解： （1）如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯 x2关闭，再把

24、 x1灯关闭，再 把 x4灯关闭，最少需要 3 次操作； （2）如果除灯 x6外，其余 8 盏灯都处于开灯状态，那么： 第 1 次操作：把 x2灯关闭， 第 2 次操作：把 x1灯打开， 第 3 次操作：把 x4灯关闭， 第 4 次操作：把 x1灯打开， 第 5 次操作：把 x2灯打开， 第 6 次操作：把 x1灯关闭， 第 7 操作：把 x3灯关闭， 第 8 次操作：把 x1灯打开， 第 9 次操作：把 x2灯关闭， 第 10 次操作：把 x1灯关闭， 第 11 次操作：把 x6灯打开， 第 12 页（共 20 页） 第 12 次操作：把 x1灯打开， 第 13 次操作：把 x2打开， 第

25、14 次操作：把 x1灯关闭， 第 15 次操作：把 x3灯打开， 第 16 次操作：把 x1灯打开， 第 17 次操作：把 x2灯关闭， 第 18 次操作：把 x1灯关闭， 第 19 次操作：把 x4灯打开， 第 20 次操作：把 x1灯打开， 第 21 次操作：把 x2灯打开， 至少需要 21 次操作，可以使所有灯都开着， 故答案为：3，21 【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （13 分）已知等比数列an的公比为 2

26、，且 a3，a4+4，a5成等差数列 （）求an的通项公式； （）设an的前 n 项和为 Sn，且 Sn62，求 n 的值 【分析】本题第（）题先根据数列an的公比为 2 的等比数列写出 a3，a4，a5然后根 据等差中项的性质有 2（a4+4）a3+a5，代入解出 a1，即可得到数列an的通项公式； 第（）题根据等比数列的求和公式写出前 n 项和为 Sn，然后 Sn62，化简，解关于 n 的方程即可得到结果 【解答】解： （）由题意，an为公比为 2 的等比数列， 故，a48a1，a516a1， 依题意，得 2（a4+4）a3+a5， 即 2（8a1+4）4a1+16a1， 整理，得 4a1

27、8，解得 a12 数列an的通项公式为 （）根据（1） ，可知 第 13 页（共 20 页） 故 2n+1262， 整理，得 2n+164， 解得 n5 n 的值是 5 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，以及等比数列的求和公式考查了 方程思想的应用和计算能力本题属中档题 18 （13 分）已知函数 f（x）x2+ax，aR （）若 f（a）f（1） ，求 a 的取值范围； （）若 f（x）4 对xR 恒成立，求 a 的取值范围； （）求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集 【分析】 （I）结合已知函数解析式及二次不等式的解法即可求解， （II）结合二次不等式的恒成立可转化为求最值

28、问题，可求， （III）结合二次不等式的解法，对 a 进行分类讨论即可求解 【解答】解： （）由 f（a）f（1）得 a2+a21+a， 整理得 2a2a10， 解得或 a1 （）f（x）4 对xR 恒成立，则 f（x）min4， 所以， 整理得 a2160， 解得a|4a4 （）解 x2+ax0，得 x10，x2a， 当a0 时，即 a0 时，x0 或 xa； 当a0 时，即 a0 时，xa 或 x0； 当a0 时，即 a0 时，x0 综上，当 a0 时，不等式的解集为x|x0 或 xa；当 a0 时，不等式的解集为x|x a 或 x0；当 a0 时，不等式的解集为x|x0 【点评】本题主要

29、考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立问题的应用，体现了 分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档试题 第 14 页（共 20 页） 19 （13 分）已知椭圆（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且AFB90，求 AFB 的面积 【分析】 （）由离心率及焦点坐标和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （）由（）得，A，F 的坐标，设 B 的坐标，由AFB90，得直线 BF，AF 的斜 率之积为1，即 B 在椭圆上，求出 B 的坐标，进而求出 AF，BF 的长，求出面积 【解答】解：

30、（）依题意 c1， 解得， 所以椭圆 C 的方程为 （）设点 B（x0，y0） ，因为点 B 在椭圆上，所以， 因为AFB90，所以 kFAkFB1，得， 由消去 y0得， 解得 x00（舍） ， 代入方程得，所以， 所以，又， 所以AFB 的面积 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 20 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AD平面 ABP，BCAD，PAB90PA AB2，AD3，BCm，E 是 PB 的中点 （）证明：AE平面 PBC； （）若二面角 CAED 的余弦值是，求 m 的值； （）若 m2，在线段 AD 上是否存在一点 F，使得 PFCE若存在，确定 F 点的

31、位 置；若不存在，说明理由 第 15 页（共 20 页） 【分析】 （）推导出 BC平面 PAB AEBC AEPB由此能证明 AE平面 PBC （）建立空间直角坐标系 Axyz利用向量法能求出 m 的值 （）设 F（0，0，t） （0t3） 当 m2 时，C（0，2，2）.， 由 PFCE 知，22t0，t1这与 0t3 矛 盾从而在线段 AD 上不存在点 F，使得 PFCE 【解答】解： （）证明：因为 AD平面 PAB，BCAD， 所以 BC平面 PAB 又因为 AE平面 PAB，所以 AEBC 在PAB 中，PAAB，E 是 PB 的中点，所以 AEPB 又因为 BCPBB，所以 AE

32、平面 PBC （）解：因为 AD平面 PAB，所以 ADAB，ADPA 又因为 PAAB，所以，如图建立空间直角坐标系 Axyz 则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（0，2，m） ，E（1，1，0） ，P（2，0，0） ，D（0，0， 3） ， ， 设平面 AEC 的法向量为 （x，y，z） 则即 令 x1，则 y1，于是 （1，1，） 因为 AD平面 PAB，所以 ADPB又 PBAE，所以 PB平面 AED 又因为，所以 取平面 AED 的法向量为 （1，1，0） 第 16 页（共 20 页） 所以|cos|，即，解得 m21 又因为 m0，所以 m1 （）解：结论：不存在理由

33、如下： 证明：设 F（0，0，t） （0t3） 当 m2 时，C（0，2，2）.， 由 PFCE 知，22t0，t1这与 0t3 矛盾 所以，在线段 AD 上不存在点 F，使得 PFCE 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查实数值的求法，考查满足线线垂直的点是否存 在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求 解能力，是中档题 21 （14 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，抛物线 C 上横坐标为 1 的点到焦点 F 的距离 为 3 （）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （）过（1，0）的直线 l 交抛物线 C 于不同的两点 A，B，交直线 x4 于点

34、 E，直 线 BF 交直线 x1 于点 D是否存在这样的直线 l，使得 DEAF？若不存在，请说明 理由；若存在，求出直线 l 的方程 【分析】 （）通过横坐标为 1 的点到焦点的距离为 3，求出 p 得到抛物线方程得到准 线方程 （）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk（x+1） （k0） ，A（x1，y1） ，B（x2， 第 17 页（共 20 页） y2） 联立得消去 y 得 k2x2+（2k28）x+k20利用韦达定理， 方法一：直线 BF 的方程为，求出 D 的坐标，利用直线 DE 与直线 AF 的 斜率相等推出转化求解直线的斜率，得到直线方程 方法二：利用 DEAF

35、，得到，转化求解直线的斜率，然后求解直线 l 的方 程 【解答】解： （）因为横坐标为 1 的点到焦点的距离为 3，所以，解得 p4， 所以 y28x， 所以准线方程为 x2 （）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk（x+1） （k0） ，A（x1，y1） ，B（x2， y2） 联立得消去 y 得 k2x2+（2k28）x+k20 由（2k28）24k40，解得所以且 k0 由韦达定理得，x1x21 方法一： 直线 BF 的方程为， 又 xD1，所以，所以， 因为 DEAF，所以直线 DE 与直线 AF 的斜率相等 又 E（4，3k） ，所以 第 18 页（共 20 页） 整理

36、得，即， 化简得，即 x1+x27 所以，整理得， 解得经检验，符合题意 所以存在这样的直线 l，直线 l 的方程为或 方法二： 因为 DEAF，所以，所以 整理得 x1x2+（x1+x2）8，即， 整理得 解得，经检验，符合题意 所以存在这样的直线 l，直线 l 的方程为或 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角 形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 22 （13 分）若无穷数列 a1，a2，a3，满足：对任意两个正整数 i，j（ji3） ，ai1+aj+1 ai+aj与 ai+1+aj1ai+aj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列

37、” （）求证：若数列an为等差数列，则an为“和谐数列” ； （）求证：若数列an为“和谐数列” ，则数列an从第 3 项起为等差数列； （）若an是各项均为整数的“和谐数列” ，满足 a10，且存在 pN*使得 app， a1+a2+a3+app，求 p 的所有可能值 【分析】 （I）结合等差数列的性质即可进行证明， （II）结合等差数列的定义进行转化即可求解证明， （III）对 p 的所有可能的值进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式及性质可求 【解答】 （）证明：因为数列an为等差数列， 第 19 页（共 20 页） 所以 对任意两个正整数 i，j（ji3） ，有 ai+1aiajaj

38、1d， 所以 ai+1+aj1ai+aj 所以 数列an为“和谐数列” （）证明：因为数列an为“和谐数列” ， 所以 当 i1，j4 时，只能 ai+1+aj1ai+aj成立，ai1+aj+1ai+aj不成立 所以 a2+a3a1+a4，即 a2a1a4a3 当 i1，j5，6，7，8，9时，也只能 ai+1+aj1ai+aj成立，ai1+aj+1ai+aj不成立 所以 a2+a4a1+a5，a2+a5a1+a6，a2+a6a1+a7， 即 a2a1a5a4a6a5a7a6， 所以 a2a1a4a3a5a4a6a5 令 a2a1d，则数列an满足 anan1d（n4） 所以，数列an从第 3 项起为等差数列 （）解：若 p1，则 apa11，与 a10 矛盾，不合题意 若 p2，则 a10，a22，但 a1+a222，不合题意 若 p3，则 a10，a33，由 a1+a2+a33，得 a26， 此时数列an为：0，6，3，3，9，符合题意 若 p4，设 a2a1d， 则 所以， 即 因为 p10，所以 p+d+p（p3）d0 所以 p4 不合题意 所以 因为 p 为整数，所以为整数，所以 p5，6，8，12 综上所述，p 的所有可能值为 3，5，6，8，12 【点评】本题考查等差关系的确定与等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查 运算与推理、证明的能力，属于中档题