2019-2020学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、命题“xR，2x23x+40”的否定为（ ） AxR，2x23x+40 BxR，2x23x+40 CxR，2x23x+40 DxR，2x23x+40 2 （3 分） “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （3 分）椭圆的焦点坐标为（ ） A （1，0） ， （1，0） B （2，0） ， （2，0） C （0，2） ， （0，2） D （0，1） ， （0，1） 4 （3 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （1，0） C （2，0） D （2，0） 5 （3 分）已知

2、ABC 的顶点 B、C 在椭圆+y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭 圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ） A2 B4 C6 D12 6 （3 分）已知双曲线 C：1 的一条渐近线的倾斜角为 60，且与椭圆+y21 有相等的焦距，则 C 的方程为（ ） Ay21 B1 Cx21 D1 7 （3 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：1 上的一点，F1，F2是 C 的左、右两 个焦点，若0，则 y0的取值范围是（ ） A B C 第 2 页（共 16 页） D 8 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F， 且两曲线的一个交点为

3、P若|PF|，则双曲线的渐近线方程为（ ） Ayx By2x Cyx Dyx 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 9 （4 分）命题： “xR，x2ax+10”的否定为 10 （4 分）对于常数 m、n， “mn0”是“方程 mx2+ny21 的曲线是椭圆”的 条件 11 （4 分）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，焦距为 4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距 离为 6，则椭圆的离心率为 12 （4 分） 已知点 A （3， 2） ， F 是抛物线 y22x 的焦点， 若点 P 在抛物线上运动， 当|PA|+|PF| 取最小值时，

4、点 P 的坐标为 13 （4 分）已知倾斜角为 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点交抛物线于 A、B 两点，并 且|AF|4|BF|，则 cos 14 （4 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 H，点 A 在 C 上，且 ，则AFH 的面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 8+102+12252 分分.解答应写出文字说明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤. 15 （8 分） （1）已知椭圆的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，焦距为 2，求该椭圆的标准方程； （2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是 y

5、轴，并且焦点到准线的距离为 5，求该抛物线 方程 16 （10 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，其两个顶点和两个焦点 构成的四边形面积为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 M（1，1）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且点 M 恰为线段 AB 的中点， 求直线 l 的方程 17 （10 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 P（2，2） ，A，B 是抛物线 C 上异于点 O 的不 第 3 页（共 16 页） 同的两点，其中 O 为原点 （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）若 OAOB，求AOB 面积的最小值 18 （12 分）已知椭圆 C：+

6、1（ab0）经过点（1，） ，一个焦点为（，0） （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 yk（x1） （k0）与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求的取值范围 19 （12 分）已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为 A，B， |AB|2，且直线 AM，BM 分别与椭圆 C 交于 E，F 两点，其中点，满足 m0 且 （）求椭圆 C 的方程； （）若BME 面积是AMF 面积的 5 倍，求实数 m 的值 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷 参

7、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （3 分）命题“xR，2x23x+40”的否定为（ ） AxR，2x23x+40 BxR，2x23x+40 CxR，2x23x+40 DxR，2x23x+40 【分析】否定：否定两次，否定结论 【解答】解：否定：否定两次，否定结论 故命题“xR，2x23x+40”的否定为xR，2x23x+40 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，属于基础题 2 （

8、3 分） “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线和双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但此时直线与双 曲线是相交的，不满足相切， 故“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和双曲线的位置关系是解 决本题的关键 3 （3 分）椭圆的焦点坐标为（

9、） A （1，0） ， （1，0） B （2，0） ， （2，0） C （0，2） ， （0，2） D （0，1） ， （0，1） 【分析】利用椭圆的方程求出 a，b，得到 c 即可求解结果 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：椭圆，可得 a2，b，所以 c1， 所以椭圆的焦点坐标（1，0） 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （3 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （1，0） C （2，0） D （2，0） 【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可 【解答】解：抛物线 y24x 的开口向左，p2，焦点坐标是： （1，

10、0） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 5 （3 分）已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆+y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭 圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ） A2 B4 C6 D12 【分析】由椭圆+y21，长轴长 2a2，则 a，设直线 AB 过椭圆的右焦点 F2，则根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|2a2，|AC|+|F2C|2a2三角形的周 长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|4a4即可求得ABC 的周长 【解答】解：椭圆+y21，长轴长 2a2，则 a， 设直线 AB 过椭圆的右焦点 F2，根据椭圆

11、的定义可知： |AB|+|BF2|2a2，|AC|+|F2C|2a2 三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|4a4 故选：B 第 6 页（共 16 页） 【点评】本题考查椭圆的定义，考查焦点三角形的周长公式，考查计算能力，属于基础 题 6 （3 分）已知双曲线 C：1 的一条渐近线的倾斜角为 60，且与椭圆+y21 有相等的焦距，则 C 的方程为（ ） Ay21 B1 Cx21 D1 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有，即 b a，求出椭圆的半焦距，分析可得 a2+b24，解可得 a2、b2的值，将 a2、b2的值代 入双曲线的方程，即可得答案

12、 【解答】解：根据题意，双曲线 C：1 的焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y x， 若其一条渐近线的倾斜角为 60，则该渐近线的方程为 yx， 则有，即 ba， 椭圆+y21 中，c2514， 若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有 a2+b24， 解可得 a21，b23， 第 7 页（共 16 页） 则双曲线的方程为 x21； 故选：C 【点评】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置 7 （3 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：1 上的一点，F1，F2是 C 的左、右两 个焦点，若0，则 y0的取值范围是（ ） A B C D 【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程

13、，即可确定 y0的取值范围 【解答】解：由题意，（x0，y0） （x0，y0）x023+y02 3y0210， 所以y0 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基 础 8 （3 分）已知双曲线1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F， 且两曲线的一个交点为 P若|PF|，则双曲线的渐近线方程为（ ） Ayx By2x Cyx Dyx 【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以 求出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p2c，b2c2a2，解得 a，b，得到渐近线方程 【解答】解：抛物线 y24x

14、 的焦点坐标 F（1，0） ，p2， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， p2c，即 c1， 设 P（m，n） ，由抛物线定义知： |PF|m+m+1，m 第 8 页（共 16 页） P 点的坐标为（，） 解得：， 则渐近线方程为 yx， 故选：C 【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本 的运算能力解答关键是利用性质列出方程组 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 9 （4 分）命题： “xR，x2ax+10”的否定为 xR，x2ax+10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可

15、【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题： “xR，x2ax+10”的否定是：xR，x2ax+10； 故答案为：xR，x2ax+10 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查 10 （4 分）对于常数 m、n， “mn0”是“方程 mx2+ny21 的曲线是椭圆”的 必要不充 分 条件 【分析】根据椭圆的标准方程形式确定 m，n 的关系，然后利用充分条件和必要条件的定 义进行判断 【解答】解：由方程 mx2+ny21 得，所以要使方程 mx2+ny21 的曲线是椭 圆，则，即 m0，n0 且 mn 所以， “mn0”是“方程 mx2+ny21 的曲线是椭圆

16、”的必要不充分条件 故答案为：必要不充分条件 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程 11 （4 分）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，焦距为 4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距 离为 6，则椭圆的离心率为 第 9 页（共 16 页） 【分析】利用已知条件列出方程组，求解 a、c，得到椭圆的离心率 【解答】解：椭圆 G 的中心在坐标原点，焦距为 4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距 离为 6， ，解得 a8，c2， 所以椭圆的离心率为：e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 12 （4 分） 已知点 A （3， 2） ， F 是

17、抛物线 y22x 的焦点， 若点 P 在抛物线上运动， 当|PA|+|PF| 取最小值时，点 P 的坐标为 （2，2） 【分析】设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|进而把问题转 化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得 到结论 【解答】解：设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD| 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小 当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小， A（3，2） ，P 点的纵坐标 y2， 此时由 y22x 得 x， 即 P（2

18、，2） ， 故答案为： （2，2） 【点评】本题主要考查了抛物线的应用考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应 用，利用抛物线的定义是解决本题的关键 第 10 页（共 16 页） 13 （4 分）已知倾斜角为 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点交抛物线于 A、B 两点，并 且|AF|4|BF|，则 cos 【分析】设 A、B 两点在准线上的射影分别为 C、D过 B 作 BMAC 于 M则有 AC AF，BDBF 设|AF|4|BF|4m，则 AM3m ，cos即可 【解答】解：如图，设 A、B 两点在准线上的射影分别为 C、D 过 B 作 BMAC 于 M则有 ACAF，BDBF 设|A

19、F|4|BF|4m，则 AM3m 则 cos 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想， 是中档题 14 （4 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 H，点 A 在 C 上，且 ，则AFH 的面积为 4 【分析】设 P（） ， （t0） ，则|PF|PM|，|PH|由 第 11 页（共 16 页） ，可得 t28t+40，解得 t4即可 【解答】解：由抛物线 C：y24x，得焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1过 P 作 PM 垂直准线于 M， 设 P（） ， （t0） ，则|PF|PM|， |PH| 由，可得 t2

20、8t+40， 解得 t4 则AFH 的面积为， 故答案为：4 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 8+102+12252 分分.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 15 （8 分） （1）已知椭圆的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，焦距为 2，求该椭圆的标准方程； （2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且焦点到准线的距离为 5，求该抛物线 方程 【分析】 （1）设出椭圆的方程为+1（ab0） ，由题意可得 a，c，求得 b

21、，可 得所求方程； （2）设抛物线的方程为 x2ty，t0，由焦点到准线的距离解得 t，可得所求方程 第 12 页（共 16 页） 【解答】解： （1）设椭圆的方程为+1（ab0） ， 由题意可得 2a4，即 a2，2c2，即 c1， b， 则椭圆的标准方程为+1； （2）设抛物线的方程为 x2ty，t0， 焦点到准线的距离为 5，可得|t|5，即 t10， 则抛物线的标准方程为 x210y 或 x210y 【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 16 （10 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，其两个顶点和两个焦点 构成的四边形面积为 2 （1）求椭

22、圆 C 的方程； （2）过点 M（1，1）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且点 M 恰为线段 AB 的中点， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质求得 a，b； （2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率 k，从而求得直线 l 的方程 【解答】解（1）椭圆 C 的离心率为，a23c2 a2b2+c2b22c2，即 bc 椭圆 C 的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为 2，bc ，c1，从而得 a，b 椭圆 C 的方程为+1 （2）显然，直线 l 的斜率存在，设该斜率 k， 直线 l 的方程为 y1k（x1） ，即 ykx+1k

23、， 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 得： 第 13 页（共 16 页） （3k2+2）x2+6k（1k）x+3（1k）260 且该方程显然有二不等根， 记 A，B 两点的坐标依次为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 1，即 x1+x22， 2，解得 k， 所求直线 l 的方程为 2x+3y50 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题 17 （10 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 P（2，2） ，A，B 是抛物线 C 上异于点 O 的不 同的两点，其中 O 为原点 （）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）若 OAOB，求AOB 面积的最小值

24、【分析】 （）根据题意，将 P 的坐标代入抛物线的方程，可得 p 的值，即可得抛物线的 标准方程，分析即可得答案； （）直线 AB 的方程为 xty+a，与抛物线的方程联立，可得 y22ty2a0，设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，结合 OAOB，结合根与系数的关系分析可得，进 而可得AOB 面积的表达式，分析可得答案 【解答】解： （I）由抛物线 C：y22px 经过点 P（2，2）知 4p4，解得 p1 则抛物线 C 的方程为 y22x 抛物线 C 的焦点坐标为，准线方程为， （ II）由题知，直线 AB 不与 y 轴垂直，设直线 AB：xty+a， 由消去 x，得 y22ty

25、2a0 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1+y22t，y1y22a 因为 OAOB，所以 x1x2+y1y20，即， 解得 y1y20（舍）或 y1y24 所以2a4解得 a2 所以直线 AB：xty+2 第 14 页（共 16 页） 所以直线 AB 过定点（2，0）. 4 当且仅当 y12，y22 或 y12，y22 时，等号成立 所以AOB 面积的最小值为 4 【点评】本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程 18 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过点（1，） ，一个焦点为（，0） （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 yk（x1） （k0）

26、与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求的取值范围 【分析】 （）由椭圆过点（1，） ，结合给出的焦点坐标积隐含条件 a2b2c2求解 a，b 的值，则椭圆方程可求； （）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出 A，B 横纵坐标的和与积，进一步求 得 AB 的垂直平分线方程，求得 Q 的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求 得|AB|，作比后求得的取值范围 【解答】解： （）由题意得，解得 a2，b1 椭圆 C 的方程是； （）联立，得（1+4k2）x28k2x+4k240 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）

27、， 则有， 线段 AB 的中点坐标为， 第 15 页（共 16 页） 线段 AB 的垂直平分线方程为 取 y0，得， 于是，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q， 又点 P（1，0） ， 又 于是， k0， 的取值范围为 【点评】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线 联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲 线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题 19 （12 分）已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为 A，B， |AB|2，且直线 AM，BM 分别与椭圆 C 交于 E，F 两点，其中点，满足

28、 m0 且 （）求椭圆 C 的方程； （）若BME 面积是AMF 面积的 5 倍，求实数 m 的值 第 16 页（共 16 页） 【分析】 （）列方程组，求出 a，b 即可得出椭圆的方程； （）用 m 表示出直线方程，得出出 E，F 的横坐标，根据面积关系列方程得出 m 的值 即可 【解答】解： （）由题意可得：，解得， 椭圆 C 的方程为：+y21 （）A（0，1） ，B（0，1） ， 直线 AM 的方程为：yx+1，直线 BM 的方程为：yx1， 联立方程组，消元可得： （1+）x20， xE，同理可得：xF， SBMESABESABM|xE|m|m|， SAMFSABFSABM|xF|m|m|， ，解得 m21 m1 【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题