2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二（上）12月联考数学试卷（含详细解答）

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1、一只小虫在边长为 2 的正方形内部爬行， 到各顶点的距离不小于 1 时为安全区域， 则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A B C D 5 （3 分）在等差数列an中，Sn为前 n 项和，且 2a7a9+5，则 S9的值为（ ） A9 B36 C45 D54 6 （3 分）已知曲线，C2：ycosx，若想要由 C2得到 C1，下列说法 正确的是（ ） A把曲线 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 B把曲线 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平移个单位 C把曲线 C2上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变） ，再向左平移个单位

2、D把曲线 C2上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变） ，再向右平移个单位 7 （3 分）如图是抛物线拱形桥，当水面在 l 时，拱顶高于水面 2 米，水面宽为 4 米，当水 面宽为米时，水位下降了（ ）米 第 2 页（共 21 页） A B2 C1 D 8 （3 分）已知双曲线（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半 径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若，则 C 的离心 率为（ ） A B C D 9 （3 分）已知圆 C： （x2）2+y22，点 P 在直线 x+y+20 上运动，过点 P 向圆 C 作切 线，切点分别为 A、B，则四边形 PAC

3、B 面积的最小值为（ ） A B C D4 10 （3 分）若两个正实数 x，y 满足，对这样的 x，y，不等式恒成 立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，4） B （4，1） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+） 11 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，P 是 l 上一点， 连接 PF 交抛物线于点 M，若，则MFK 的面积为（ ） A B C D 12 （3 分）已知函数，函数 g（x）是偶函数，且 g（x+2）g（x） ， 当 x0，1时，g（x）2x1，若函数 yf（x）g（x）恰好有 6 个零点，则 a 的取值 范围

4、是（ ） A （5，+） B （5，6） C （4，6） D （5，7） 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知函数 f（x）2xf（1）ex，则 f（1） 14 （3 分）已知数列an满足 a1+2a2+22a3+2n 1a n ，Sn为数列an的前 n 第 3 页（共 21 页） 项和，则 S6 15 （3 分）一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为 1，若这个几何体的顶点 都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 16 （3 分）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一 个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被

5、 双 曲 线 反 射 后 的 反 射 光 线 等 效 于 从 另 一 个 焦 点 发 出 ； 如 图 ， 椭 圆C1： 与双曲线 C2：1（m0，n0）有公共焦点，现一光 线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 2k（kN*）次反射后， 首次回到左焦点所经过的路径长为 三、解答题三、解答题 17已知命题 p：方程表示双曲线，命题 q：xR，mx2+mx+10 （1）写出命题 q 的否定“q” ； （2）若命题“pq”为假命题， “q”为假命题，求实数 m 的取值范围 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 B； （2）若等差数列an的公差不

6、为 0，且 a1tanB2，a2，a4，a8成等比数列，求数列 前 n 项和 Sn 19双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的网络促销活动， 目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其 网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了 100 份，按购物金额 （单位：元）进行统计，得到如图频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点 第 4 页（共 21 页） 值做代表计算） （1）求 a 的值； （2）试估计购物金额的平均数； （3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商

7、品优惠如表： 购物金额范 围 200，400） 400，600） 600，800） 800，1000） 1000， 1200） 1200， 1400 商家优惠 （元） 30 50 140 160 280 320 如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？ 20在三棱锥 SABC 中，ABC 是正三角形，面 SAC面 ABC，AB4，SASC2， E、F 分别是 AB，SB 的中点 （1）证明：ACSB； （2）求二面角 BCEF 的余弦值 21如图，要在河岸 EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示 坐标系，其中 E，F 在 x 轴上，且 F（3，0） ，道路的前一部

8、分为曲线段 FBC，该曲线 段为二次函数 f（x）a（x+1）2+4 在 x3，0时的图象，最高点为 B，道路中间部分 为直线段 CD，CDEF，且，道路的后一段是以 O 为圆心的一段圆弧 DE （1）求 a 的值； （2）求DOE 的大小； 第 5 页（共 21 页） （3）若要在扇形区域 ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ，P 在圆弧 DE 上运动，M、N 在 OE 上，记POE，则当 为何值时， “矩形草坪”面积最大 22如图，椭圆的左右焦点 F1、F2恰好是等轴双曲线 E：x2 y22 的左右顶点，且椭圆的离心率为，P 是双曲线 E 上异于顶点的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆

9、的交点分别记为 A，B 和 C，D （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 PF1、PF2的斜率分别为 K1，K2，求证：K1K2为定值； （3）若存在点 P 满足，试求F1PF2的大小 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二（上）学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二（上）12 月月 联考数学试卷联考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）已知集合 Ax|x1，Bx|2x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DABx|x1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合

10、Ax|x1， Bx|2x1x|x0， ABx|x0 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （3 分）已知函数，若 ff（2）1，则 a（ ） A2 B7 C1 D5 【分析】推导出 f（2）3，由 ff（2）f（3）log2（9+a）1，能求出 a 的值 【解答】解：函数， f（2）3， 由 ff（2）f（3）log2（9+a）1， 解得 a7 故选：B 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 3 （3 分）已知曲线 f（x）ax32x+1 在 x1 处的切线的倾斜角为，则 a（ ） A B1

11、 C D3 第 7 页（共 21 页） 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x0 处的导数，再由斜率等于倾斜角的正切 值求解 【解答】解：由 f（x）ax32x+1，得 f（x）3ax22， 又1，3a21，得 a1 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题 4 （3 分） 一只小虫在边长为 2 的正方形内部爬行， 到各顶点的距离不小于 1 时为安全区域， 则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A B C D 【分析】安全区域为图中阴影部分，求出其面积 S22124，利用几何概型 能求出小虫在安全区域内爬行的概率 【解答】解：安全区域为图中阴影部分， 其面积

12、 S22124， 故小虫在安全区域内爬行的概率， 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 5 （3 分）在等差数列an中，Sn为前 n 项和，且 2a7a9+5，则 S9的值为（ ） A9 B36 C45 D54 【分析】根据题意，分析可得 a52a7a95，进而结合等差数列的前 n 项和公式分析 可得答案 【解答】解：根据题意，在等差数列an中，2a7a9+5， 则有 a52a7a95，故 故选：C 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题 6 （3 分）已知曲线，C2：ycos

13、x，若想要由 C2得到 C1，下列说法 正确的是（ ） A把曲线 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 B把曲线 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平移个单位 C把曲线 C2上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 D把曲线 C2上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变） ，再向右平移个单位 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果 【解答】解析：曲线 C2化为 ycosxsin（x+）将横坐标缩短为原来的得到 ysin （2x+）再向右平移个单位，得到 ysin2（x）+， 即 ysin（2

14、x+）的图象， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和 伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （3 分）如图是抛物线拱形桥，当水面在 l 时，拱顶高于水面 2 米，水面宽为 4 米，当水 面宽为米时，水位下降了（ ）米 A B2 C1 D 【分析】距离适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，由点 A 在抛物线上求得抛物线 方程，再取 x求解 【解答】解：建系如图，设拱桥所在抛物线为 x2ay（a0） ， 第 9 页（共 21 页） 由点 A（2，2）在抛物线上，得 a2， 抛物线方程为 x22y，当水面宽为时

15、，设拱顶高于水面 hm， 由点在抛物线上，得，故水面下降了 故选：D 【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查计算能力，是基础题 8 （3 分）已知双曲线（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半 径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若，则 C 的离心 率为（ ） A B C D 【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点， 若，列出方程转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：由题意，圆 A 为（xa）2+y2b2，与渐近线交于 M、N 两点， 由知MAN90，故圆心 A 到渐近线距离为， ，即， 故选：

16、B 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，是基本知识 的考查，基础题 9 （3 分）已知圆 C： （x2）2+y22，点 P 在直线 x+y+20 上运动，过点 P 向圆 C 作切 线，切点分别为 A、B，则四边形 PACB 面积的最小值为（ ） A B C D4 【 分 析 】 根 据 图 形 ， 边 形PACB的 面 积 为， 又 又 ，代入求出最小值即可 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：如图，四边形 PACB 的面积为， 故当 PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离，则 又， ， 故选：C 【点评】考查直线与圆的位置关系，圆的切线问题，最值问题

17、，中档题 10 （3 分）若两个正实数 x，y 满足，对这样的 x，y，不等式恒成 立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，4） B （4，1） C （，4）（1，+） D （，1）（4，+） 【分析】利用基本不等式可把问题转化为解不等式 m23m4，由此容易得解 【解答】解：由，当且仅当“x4y”时取 等号， 故 m23m4，解得1m4， 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的运用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属 于基础题 11 （3 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，P 是 l 上一点， 连接 PF 交抛物线于点 M，若，则MF

18、K 的面积为（ ） A B C D 【分析】画出图形，利用已知条件，结合三角形的面积公式求解即可 【解答】解：如图，过点 M 作 MHl 于 H，由题意 PF3MF， 第 11 页（共 21 页） ， 由定义， ， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题 12 （3 分）已知函数，函数 g（x）是偶函数，且 g（x+2）g（x） ， 当 x0，1时，g（x）2x1，若函数 yf（x）g（x）恰好有 6 个零点，则 a 的取值 范围是（ ） A （5，+） B （5，6） C （4，6） D （5，7） 【分析】通过作图画出 g（x）以及 f（x）的图象，从

19、图象交点上交点的不同，来判断函 数零点个数，从而确定底数 a 的大小范围 【解答】解：在同一坐标系中画出函数 f（x）与 g（x）的示意图如图， 由图可知，当 x0 时，f（x）x+1 与 g（x）有 1 个交点， 故 x0 时 f（x）logax 与 g（x）有且仅有 5 个交点， 第 12 页（共 21 页） 必有 a1 且，即，解得 5a7 故选：D 【点评】本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函 数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知函数 f（x）2xf（1）ex，则 f（1） e 【分析】可求出导函

20、数 f（x）2f（1）ex，然后即可求出 f（1）的值 【解答】解：f（x）2f（1）ex， f（1）2f（1）e， f（1）e 故答案为：e 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力， 属于基础题 14 （3 分）已知数列an满足 a1+2a2+22a3+2n 1a n ，Sn为数列an的前 n 项和，则 S6 【分析】法一：利用已知条件逐步求出数列的前 6 项，然后求和； 法二：利用已知条件求出数列的通项公式，然后求解即可 【解答】 解： 法一： 可求得， ， 法二：记， 则， 两式相减得， 由也适合上式，有，故 故答案为： 【点评】本题考查数列的递推关

21、系式以及数列求和，考查计算能力； 是中档题 15 （3 分）一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为 1，若这个几何体的顶点 都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 9 第 13 页（共 21 页） 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出球的半径，再求出球的表面积 【解答】解：首先根据几何体的三视图转换为几何体为： 几何体的直观图是正四棱锥（如图所示） ，且高 CA 和底面边长为 2，在 RtOAB 中， 由，解得， 故 S4R29， 故答案为：9 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，几 何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能

22、力和转换能力及思维能力和空 间想象能力，属于中档题型 16 （3 分）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一 个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被 双 曲 线 反 射 后 的 反 射 光 线 等 效 于 从 另 一 个 焦 点 发 出 ； 如 图 ， 椭 圆C1： 与双曲线 C2：1（m0，n0）有公共焦点，现一光 线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 2k（kN*）次反射后， 首次回到左焦点所经过的路径长为 2（am） 【分析】画出图形，利用椭圆的性质以及双曲线的性质，结合对称性转化求解即可 【解答】解

23、：由已知，如图光线从 F1出发，若先经过双曲线上一点 B 反射， 则反射光线相当于光线从 F2设出经过点 B 再到达椭圆上一点 A 反射回到 F1； 第 14 页（共 21 页） 同理，若先出发经过椭圆上一点 A 反射，则光线沿着直线 AF2方向到达双曲线上一点 B 反射后回到 F1， 则可知，光线从 F1出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回 F1， 则讨论光线反射两次后返回 F1的过程如图，AF22m+AF1， BF1+BA+AF12aAF2+AF12a（2m+AF1）+AF12a2m 所以光线经过 2k 次反射后回到左焦点所经过的路径长为 2（am） 故答案为：2（am） 【点评

24、】本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力， 是中档题 三、解答题三、解答题 17已知命题 p：方程表示双曲线，命题 q：xR，mx2+mx+10 （1）写出命题 q 的否定“q” ； （2）若命题“pq”为假命题， “q”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用命题 p：方程表示双曲线，能求出q （2）由 p 解得 m2 或 m1，由 q 得到 m0，4） ， “pq”为假命题， “q”为假命 题，得到 p 假 q 真，由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）命题 p：方程表示双曲线， q：x0R，（或写为：xR，mx2+mx+10） （2

25、）命题 q：xR，mx2+mx+10 由 p 有： （m+2） （m1）0，解得 m2 或 m1， 由 q 有：若 m0，化为 10 成立， 第 15 页（共 21 页） 若 m0，则有，m0，4） ， “pq”为假命题， “q”为假命题， p 假 q 真，m2，10，4）0，1 实数 m 的取值范围是0，1 【点评】本题考查命题的否命题的求法，考查实数的取值范围的求法，考查复合命题真 假的判断、双曲线方程、一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于 中档题 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 B； （2）若等差数列an的公差不为 0，且 a1

26、tanB2，a2，a4，a8成等比数列，求数列 前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用正弦定理以及余弦定理，转化求解 B 即可 （2）利用等差数列以及等比数列的性质以及通项公式，求出通项公式，然后化简所求数 列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解： （1）由正弦定理有：， 由余弦定理， 又 B（0，） （2）由（1）a1tanB2a12， 又a1dd2， d0，da12，an2n， 从而， 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式以及数列求和的方法，考查分析 问题解决问题，是中档题 19双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的网络

27、促销活动， 目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其 第 16 页（共 21 页） 网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了 100 份，按购物金额 （单位：元）进行统计，得到如图频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点 值做代表计算） （1）求 a 的值； （2）试估计购物金额的平均数； （3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商品优惠如表： 购物金额范 围 200，400） 400，600） 600，800） 800，1000） 1000， 1200） 1200， 1400 商家优惠 （元）

28、 30 50 140 160 280 320 如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？ 【分析】 （1）利用频率分布直方图的性质能求出 a （2）利用频率分布直方图能求出平均金额 （3）选择方案一：优惠力度为 750（180%）150 元，选择方案二：优惠力度为 30 0.1+500.2+1400.25+1600.3+2800.1+3200.05140 元，由此得到方案一的优 惠力度更大 【解答】解： （1）各小组的频率依次为 0.1，0.2，0.25，200a，0.1，0.05， 由 0.1+0.2+0.25+200a+0.1+0.051， 有 a0.0015 （2）平均金额 （元） （

29、3）选择方案一：优惠力度为 750（180%）150 元， 第 17 页（共 21 页） 选择方案二：优惠力度为 300.1+500.2+1400.25+1600.3+2800.1+3200.05 140（元） ， 故方案一的优惠力度更大 【点评】本题考查频率、平均数、最优方案的求法，考查频率分布直方图的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 20在三棱锥 SABC 中，ABC 是正三角形，面 SAC面 ABC，AB4，SASC2， E、F 分别是 AB，SB 的中点 （1）证明：ACSB； （2）求二面角 BCEF 的余弦值 【分析】 （1）取 AC 的中点 O，连接 OS，OB，证明

30、 ACSO 且 ACBO得到 AC面 SBO 即可证明 ACSB； （2）以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系：求出平面 EFC 的一个法向量，求出面 ABC 的一个法向 量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可 【解答】 （1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OS，OB，SASC，ABBC， ACSO 且 ACBOAC面 SBO， 又 SB面 SBO，ACSB （2）解：由面 SAC面 ABC，SOAC， 可得 SO面 ABC， 故以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z

31、轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则 A（2，0，0） ，C（2，0，0） ，S（0，0，2） ， 设为平面 EFC 的一个法向量， 第 18 页（共 21 页） 由 取 x1，则，z1， 又为面 ABC 的一个法向量， 由， 如图知二面角 BCEF 的余弦值为 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及计算能力，是中档题 21如图，要在河岸 EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示 坐标系，其中 E，F 在 x 轴上，且 F（3，0） ，道路的前一部分为曲线段 FBC，该曲线 段为二次函数 f（x）a（x+1）2+4

32、 在 x3，0时的图象，最高点为 B，道路中间部分 为直线段 CD，CDEF，且，道路的后一段是以 O 为圆心的一段圆弧 DE （1）求 a 的值； （2）求DOE 的大小； （3）若要在扇形区域 ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ，P 在圆弧 DE 上运动，M、N 在 OE 上，记POE，则当 为何值时， “矩形草坪”面积最大 【分析】 （1）利用二次函数经过的点，求解 a 即可 （2）通过函数经过的特殊点，求解 CD，通过求解三角形推出结果 （3）利用已知条件转化求解矩形草坪的面积的表达式，然后求解面积的最大值 第 19 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由图可知函数 f（x）a（

33、x+1）2+4 的图象过点 F（3，0） ， f（3）4a+40a1， （2）由（1）知 f（x）（x+1）2+4， 当 x0 时，f（0）3，OC3，又， 在 RtOCD 中， （3）由（2）可知， 易知矩形草坪面积最大时，Q 在 OD 上 如图：， ， 又， 矩形草坪的面积为： ， 又， 故，当即时，有， 综上所述，当时，矩形草坪面积最大 【点评】本题考查函数的实际应用，涉及解三角形以及二次函数，三角函数的最值，考 查分析问题解决问题的能力，是中档题 22如图，椭圆的左右焦点 F1、F2恰好是等轴双曲线 E：x2 y22 的左右顶点，且椭圆的离心率为，P 是双曲线 E 上异于顶点的任意一点

34、，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别记为 A，B 和 C，D （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 PF1、PF2的斜率分别为 K1，K2，求证：K1K2为定值； 第 20 页（共 21 页） （3）若存在点 P 满足，试求F1PF2的大小 【分析】 （1）由题意得椭圆的焦点，再由离心率和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）得焦点的坐标，设双曲线上的 P 的坐标，求出斜率，计算出斜率之积为定 值； （3）设直线 AB 的方程，由（2）得 CD 的方程，分别于椭圆联立求出弦长 AB，CD，又 由向量的关系求出夹角的余弦值，进而求出F1PF2的大小 【解答】解： （1）由题意知，又离心率 a2，故， 椭圆 C 的方程为； （2）证明：设 P（x0，y0） ，则， 由此（定值） ； （3）由（2）知 K1K21， 设直线 AB 的方程为，则直线 CD 方程为， 联立消去 y，得：， 记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， ， 第 21 页（共 21 页） 同理， 由题意：， 故， F1PF245 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题