2019-2020学年湖南省长沙市重点中学高二(上)开学数学试卷(8月份)含详细解答
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1、老师在班级 50 名学生中,依次抽取学号为 5,10,15,20,25,30,35,40,45, 50 的学生进行作业检查,这种抽样方法是( ) A随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D以上都是 2 (3 分)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的棱长为( ) A B C D2 3(3 分) 设 Sn为等差数列an的前 n 项和,(n+1) SnnSn+1(nN*) 若1, 则 ( ) ASn的最大值为 S8 BSn的最小值为 S8 CSn的最大值为 S7 DSn的最小值为 S7 4 (3 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分
2、后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A84,4.84 B84,1.6 C85,1.6 D85,4 5 (3 分)四面体 PABC 的一组对棱分别相等,且长度依次为 2,5,则该四面 体的外接球的表面积为( ) A B28 C D29 6 (3 分)如果圆(xa)2+(ya)28 上总存在到原点的距离为的点,则实数 a 的 第 2 页(共 24 页) 取值范围是( ) A (3,1)(1,3) B (3,3) C1,1 D3,11,3 7 (3 分)在锐角三角形 ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且b2asinB, a4,则ABC 面积的最大值为( ) A2 B4
3、C8 D16 8 (3 分)若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 9(3 分) 已知正数数列an是公比不等于 1 的等比数列, 且 lga1+lga20190, 若 f (x) , 则 f(a1)+f(a2)+f(a2019)( ) A2018 B4036 C2019 D4038 10 (3 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且,则 B( ) A B C D 1
4、1 (3 分)过点(,0)引直线 l 与曲线 y相交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 当AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( ) A B C D 12 (3 分)已知函数 f(x)cosx,x(0,2)有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x) m(m0)有两个不同的实根 x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列, 则实数 m( ) A B C D 13 (3 分)已知直线 l:xy10,l1:2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称,则 l2的 方程是( ) Ax2y+10 Bx2y10 Cx+y10 Dx+2y10 14(3分)设平面点集 第 3 页(共 2
5、4 页) ,则 AB 所表 示的平面图形的面积为( ) A B C D 15 (3 分) 数列an的通项 ann2(cos2sin2) , 其前 n 项和为 Sn, 则 S30为 ( ) A470 B490 C495 D510 二二.填空题填空题 16 (3 分)已知 a,b,c 为直角三角形的三边长,c 为斜边长,若点 M(m,n)在直线 l: ax+by+2c0 上,则 m2+n2的最小值为 17 (3 分)已知函数 f(x)x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+) ,若关于 x 的不等式 f (x)c 的解集为(m,m+6) ,则实数 c 的值为 18 (3 分)已知三棱柱 ABCA1
6、B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC 上的射影 为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为 19 (3 分) 已知 x0, y0, 且 x+y1, 若 a恒成立, 则实数 a 的最大值为 20 (3 分)已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a2 且(2+b) (sinA sinB)(cb)sinC,则ABC 面积的最大值为 三三.解解答题答题 21 某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位: 度) , 以160, 180) , 180, 200) , 200, 220) , 220,240) ,240,260) ,260,28
7、0) ,280,300)分组的频率分布直方图如图 (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为220,240) ,240,260) ,260,280) ,280,300)的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取 多少户? 第 4 页(共 24 页) 22已知数列an为等差数列,an0,且满足 32a3+32a11a72,数列bn满足 bn+12bn 0,b7a7 ()求数列bn的通项公式; ()若 cnnbn,求数列cn的前 n 项和 Sn 23向量,记 (1)若 f(x)1,求的值; (2
8、) 在锐角ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且满足 (2ac) cosBbcosC, 求 f(2A)的取值范围 24如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1上,且不与点 C 重合 ()当 CF1 时,求证:EFA1C; ()设二面角 CAFE 的大小为 ,求 tan 的最小值 25已知圆 C:x2+y2+x6y+m0 与直线 l:x+2y30 (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OPOQ,求实数 m 的值 第
9、5 页(共 24 页) 2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)开学数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)开学数学试卷 (8 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题选择题 1 (3 分)老师在班级 50 名学生中,依次抽取学号为 5,10,15,20,25,30,35,40,45, 50 的学生进行作业检查,这种抽样方法是( ) A随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D以上都是 【分析】学生人数比较多,把每个班级学生从 1 到最后一号编排,要求每班学号是 5 的 倍数的同学留下进行作业检查,这样选出的样本是具有相同的间隔的样本,是采用系统 抽样的方法
10、【解答】解:学生人数比较多, 把每个班级学生从 1 到最后一号编排, 要求每班编号是 5 的倍数的同学留下进行作业检查, 这样选出的样本是采用系统抽样的方法, 故选:C 【点评】本题考查系统抽样,当总体容量 N 较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的 若干部分即将总体分段,分段的间隔要求相等,系统抽样又称等距抽样 2 (3 分)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的棱长为( ) A B C D2 【分析】根据三视图知该几何体是一个直四棱锥,结合图中数据求出各条棱长即可得出 结论 第 6 页(共 24 页) 【解答】解:根据三视图知,该几何体是一个直四棱锥,且底面为直角梯形, 画出图形
11、如图所示; 则 AC,DC2BE2,AC底面 CDEB, 结合图形中的数据,求得 BC, 在 RtABC 中,由勾股定理得 AB2, 同理求得 AD, AE 故选:A 【点评】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征应用问题,是基础题 3(3 分) 设 Sn为等差数列an的前 n 项和,(n+1) SnnSn+1(nN*) 若1, 则 ( ) ASn的最大值为 S8 BSn的最小值为 S8 CSn的最大值为 S7 DSn的最小值为 S7 【分析】由已知条件推导出(n2n)d2n2d,从而得到 d0,所以 a70,a80,由 此求出数列Sn中最小值是 S7 【解答】解:(n+1)SnnSn+1, S
12、nnSn+1nSnnan+1 即 na1+na1+n2d, 整理得(n2n)d2n2d n2n2n2n2n0 d0 第 7 页(共 24 页) 10 a70,a80 数列的前 7 项为负, 故数列Sn中最小值是 S7 故选:D 【点评】本题考查等差数列中前 n 项和最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意等差数列的性质的灵活运用 4 (3 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A84,4.84 B84,1.6 C85,1.6 D85,4 【分析】根据茎叶图中的数据,结合题意,求出平均数与方
13、差即可 【解答】解:根据茎叶图中的数据,得; 去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 所剩数据的平均数是 (84+84+86+84+87)85 方差是 s2(1)2+(1)2+12+(1)2+221.6 故选:C 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了平均数与方差的计算问题,是基础题 5 (3 分)四面体 PABC 的一组对棱分别相等,且长度依次为 2,5,则该四面 体的外接球的表面积为( ) A B28 C D29 【分析】由题意可知,把四面体 PABC 补为一个三个面上对角线分别为 2,5 的长方体,即可求出四面体的外接球的半径,从而求出四面体的外接球的表面积 【解答】解:四
14、面体 PABC 的一组对棱分别相等,且长度依次为 2,5, 可将其补为一个三个面上对角线分别为 2,5 的长方体,如图所示: 第 8 页(共 24 页) 长方体的三边长分别为 2,3,4, 长方体的外接球即是四面体的外接球,四面体的外接球的半径为 , 四面体的外接球的表面积为:429, 故选:D 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球,是中档题 6 (3 分)如果圆(xa)2+(ya)28 上总存在到原点的距离为的点,则实数 a 的 取值范围是( ) A (3,1)(1,3) B (3,3) C1,1 D3,11,3 【分析】由已知得圆上点到原点距离 d,从而 2|a|2+,由此 能求出实数 a
15、的取值范围 【解答】解:圆(xa)2+(ya)28 的圆心(a,a)到原点的距离为|a|,半径 r 2, 由圆(xa)2+(ya)28 上总存在点到原点的距离为, 2|a|2+, 1|a|3 解得 1a3 或3a1 实数 a 的取值范围是3,11,3 故选:D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直 线的距离公式的合理运用 第 9 页(共 24 页) 7 (3 分)在锐角三角形 ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且b2asinB, a4,则ABC 面积的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 【分析】由正弦定理化简已知可得 si
16、nA,由 A 为锐角,可得 A,由正弦定理, 三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式可求 SABCsin(2B)+, 结合范围 B(,) ,可得:2B(,) ,利用正弦函数的图象和性质 可求其最大值 【解答】解:b2asinB,a4, ,可得:sinA,由 A 为锐角,可得 A, 由正弦定理可得:bsinBsinB,csinCsin(B) , SABCbcsinAsinBsin(B) sinB(cosB+sinB)sin(2B)+sin(2B) +, 在锐角三角形 ABC 中,B(,) ,可得:2B(,) , 当 2B,即 B时,sin(2B)取得最大值 1, 可得:ABC 面积的最大值为+
17、4 故选:B 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式,正 弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档 题 8 (3 分)若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 第 10 页(共 24 页) 【分析】选项 A 由反证法得出判断;选项 B 由异面直线的公垂线唯一得出判断;选项 C、 D 可借用图形提供反例 【解答】解:设过点 P
18、 的直线为 n,若 n 与 l、m 都平行,则 l、m 平行,与 l、m 异面矛 盾,故选项 A 错误; 由于 l、m 只有唯一的公垂线,而过点 P 与公垂线平行的直线只有一条,故 B 正确; 对于选项 C、D 可参考下图的正方体,设 AD 为直线 l,AB为直线 m,若点 P 在 P1 点,则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项 C 错误;若 P 在 P2点,则由图中可知 直线 CC及 DP2均与 l、m 异面,故选项 D 错误 故选:B 【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况,同时考查空间想象 能力 9(3 分) 已知正数数列an是公比不等于 1 的等比数列, 且 l
19、ga1+lga20190, 若 f (x) , 则 f(a1)+f(a2)+f(a2019)( ) A2018 B4036 C2019 D4038 【分析】由对数的运算性质和等比数列的性质,可得 a1a2019a2a2018a1009a1011 a101021,计算 f(x)+f()2,即可得到所求和 【解答】解:正数数列an是公比不等于 1 的等比数列,且 lga1+lga20190, 可得 lga1a20190,即 a1a20191, 即有 a1a2019a2a2018a1009a1011a101021, f(x),可得 f(), 即有 f(x)+f()2, 设 Sf(a1)+f(a2)+
20、f(a2019) , 第 11 页(共 24 页) 又 Sf(a2019)+f(a2018)+f(a1) , 相加可得 2Sf(a1)+f(a2019)+f(a2)+f(a2018)+f(a2019)+f(a1) 22019, 解得 S2019 故选:C 【点评】本题考查等比数列的性质和函数的性质,求得 f(x)+f()2,是解题的关 键,属于中档题 10 (3 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且,则 B( ) A B C D 【分析】 已知等式右边利用正弦定理化简, 整理得到关系式, 再利用余弦定理表示出 cosB, 将得出的关系式代入求出 cosB 的值,即可
21、确定出 B 的度数 【解答】解:已知等式利用正弦定理化简得:,即 c2b2aca2, a2+c2b2ac, cosB, B 为三角形的内角, B 故选:C 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本 题的关键 11 (3 分)过点(,0)引直线 l 与曲线 y相交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 当AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( ) A B C D 【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在 x 轴上方的部分(含于 x 轴的交点) ,直线 与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合,从而确定直线斜率1k0,用含 k 的式子 表示出三角形 AOB
22、 的面积,利用二次函数求最值,确定直线斜率 k 的值 【解答】解:由 y,得 第 12 页(共 24 页) x2+y21(y0) 曲线 y表示単位圆在 x 轴上方的部分(含于 x 轴的交点) 由题知,直线斜率存在,设直线 l 的斜率为 k, 若直线与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合 则1k0 直线 l 的方程为:y0k(x) 即 kxyk0 则圆心 O 到直线 l 的距离 d 直线 l 被半圆所截得的弦长为 |AB|222 SAOBd|AB| 2 , 令t 则 SAOB 当 t,即时 SAOB有最大值为 此时, k 又1k0 第 13 页(共 24 页) k 故选:B 【点评】本题考查直
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