2019-2020学年河南省开封市五县联考高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、下列命题是真命题的是（ ） AxR，x20 Bx0R，20 Cx0R，x020 DxR，2x1 2 （5 分）双曲线 C：1 的焦点坐标为（ ） A （2，0） B （0，2） C （2，0） D （0，2） 3 （5 分）在等比数列an中，a3a512，则 a4（ ） A3 B3 C2 D2 4 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的上顶点为 A，左、右两焦点分别为 F1， F2，若AF1F2为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 6 （5 分

2、）若双曲线1（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双 曲线的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 7 （5 分）已知 a0，b0，则（a+b） （）的最小值为（ ） A32 B36 C39 D45 8 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）两焦点间的距离为 2，且过点 A（， ） ，则椭圆 C 的标准方程为（ ） 第 2 页（共 18 页） A1 B1 C1 D1 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若3，则（ ） A B C D 10 （5 分）设命题 p：若函数 f（x）（32a）x是减函数，则 a1，命题 q：若函数 g （x） x2+2ax+4

3、 在2， +） 上是单调递增， 则 a2 那么下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bp C （p）q Dp（q） 11 （5 分）设 A，B 分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右顶点，P，Q 是 双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点， 设直线 AP， BQ 的斜率分别为 m， n， 若 mn1， 则双曲线 C 的离心率 e 是（ ） A B C2 D 12 （5 分）已知椭圆 C：1，点 P 为椭圆 C 上位于第一象限一点，O 为坐标原 点，过椭圆左顶点 A 作直线 lOP，交椭圆于另一点 B，若|AB|OP|，则直线 l 的斜 率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、

4、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题“x0R，sinx010”的否定为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3xy 的最小值为 15 （5 分）在数列an中，a14，an+13an2，若对于任意的 nN*，k（an1）2n5 恒成立，则实数 k 的最小值为 16 （5 分）已知点 A，B 为椭圆 C：1 的左右顶点，点 M 为 x 轴上一点，过 M 作 第 3 页（共 18 页） x 轴的垂线交椭圆 C 于 P， Q 两点， 过 M 作 AP 的垂线交 BQ 于点 N， 则 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题

5、共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设命题 p：x2（2a1）x+a（a1）0，命题 q：02x11，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）在平面直角坐标 xOy 中，F1（3，0） ，F2（3，0） ，点 P 是平面上一点，使 PF1F2的周长为 16 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）求|PF1|PF2|的最大值 19 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，有 S1055，S410 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn记数列bn的

6、前 n 项和为 Tn，证明：Tn1 20 （12 分）双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2点（， ） ， （2，1）在双曲线 C 上 （1）求双曲线 C 的标准方程： （2）直线 l 过点 F2且与双曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的中点的横坐标为2，求 直线 l 的方程 21 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a16，an+13an+3n+1 （1）证明：数列为等差数列； （2）求 Sn； （3）对任意 mN*将数列中落入区间（3m，32m）内的项的个数记为 bn求数列bn 的前 m 项和 Tm 22 （12 分）已知椭圆 C：1（a）的右焦点为

7、F，P 是椭圆 C 上一点，PF x 轴，|PF| （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 4 页（共 18 页） （2）若点线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点，且|OM| ，求AOB 面积的最大值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年河南省开封市五县联考高二（上）期中数学试卷学年河南省开封市五县联考高二（上）期中数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中

8、，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） AxR，x20 Bx0R，20 Cx0R，x020 DxR，2x1 【分析】举例说明命题 A、D 错误； 根据命题与它的否定一真一假，判断命题 B 错误； 根据平方数的定义判断命题 C 正确 【解答】解：对于 A，当 x0 时，x20，所以命题 A 错误； 对于 B，由xR，2x0 是真命题，所以它的否定命题是假命题，即 B 错误； 对于 C，x0R，x020，它是真命题，即 C 正确； 对于 D，x1 时，2 1 1，所以命题 D 错误 故选：C 【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的真假

9、性判断问题，是基础题 2 （5 分）双曲线 C：1 的焦点坐标为（ ） A （2，0） B （0，2） C （2，0） D （0，2） 【分析】利用双曲线的标准方程，求解焦点坐标即可 【解答】解：双曲线 C：1，可得 a2，b2，则 c2， 所以双曲线的焦点坐标为（2，0） 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 3 （5 分）在等比数列an中，a3a512，则 a4（ ） 第 6 页（共 18 页） A3 B3 C2 D2 【分析】由等比数列通项公式得a3a512，由此能求出 a4的值 【解答】解：在等比数列an中，a3a512， a3a512， a4 故选：D

10、【点评】本题考查等比数列的第 4 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分） “0x4”是“log2x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据 log2x1 得到 x 的范围，结合充分条件和要条件的定义即可得到结论 【解答】解：由 log2x1 得 0x2， 故“0x4”是“log2x1”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了对数不等式的解法，充分条件必要条件的定义，考查分析解决问题 的能力和计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的上顶点为 A，左、右两焦点分

11、别为 F1， F2，若AF1F2为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件列出方程，求出 a、c 关系，然后求解离心率即可 【解答】解：椭圆 C：1（ab0）的上顶点为 A，左、右两焦点分别为 F1， F2， 若AF1F2为等边三角形， 由椭圆的对称性知 bc， 即 b23c2， 又 a2b2+c2， 第 7 页（共 18 页） 可得 a2c， 所以 e 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）若双曲线1（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双 曲线的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【

12、分析】利用已知条件列出方程组，求出 a，b 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程 【解答】解：根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得， 得 4a3b，故双曲线的渐近线方程为 y 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等差数列的简单性质的应用，是基本知识 的考查 7 （5 分）已知 a0，b0，则（a+b） （）的最小值为（ ） A32 B36 C39 D45 【分析】根据 a0，b0，可得出，从而根据基本不等 式即可求出的最小值，从而得出的最小值 【解答】解：a0，b0， ，当且仅当，即 b 2a 时取“” ， 的最小值为 36 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，在

13、应用基本不等式时，需说明等号成立 的条件，考查了计算能力，属于基础题 第 8 页（共 18 页） 8 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）两焦点间的距离为 2，且过点 A（， ） ，则椭圆 C 的标准方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】利用椭圆的焦距求出 c，利用椭圆经过的当求解 a，b，然后得到椭圆方程 【解答】解：由题椭圆 C：1（ab0）两焦点间的距离为 2，知 c， ，又 a2b2+c2，解得 a26 或 a21（舍去） ，b24， 椭圆方程为：1 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的应用，考查计算能力，是中档题 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和

14、为 Sn，若3，则（ ） A B C D 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式和通项公式能求出的值 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，3， 3， 故选：C 【点评】本题考查等差数列的第 3 项与第 6 项的比值的求法，考查等差数列的性质等基 第 9 页（共 18 页） 础知识，考查运算求解能力，是基础题 10 （5 分）设命题 p：若函数 f（x）（32a）x是减函数，则 a1，命题 q：若函数 g （x） x2+2ax+4 在2， +） 上是单调递增， 则 a2 那么下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bp C （p）q Dp（q） 【分析】先判断命题 p，q 的真假，根据

15、复合命题真值表判断即可 【解答】解：由题意，函数 f（x）（32a）x是减函数，则 32a1，解得 a1， 故命题 p 为真命题； 若函数 g（x）x2+2ax+4 在2，+）上是单调递增，则2，即 a2，故 q 为 假命题， 所以 pq 为假命题；p 为假命题； （p）q 为假命题；p（q）为真命题， 故选：D 【点评】本题考查了命题的真假的判断，考查了复合命题的真假的判断，函数的性质及 应用，主要考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题 11 （5 分）设 A，B 分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右顶点，P，Q 是 双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点， 设直线 AP， BQ 的

16、斜率分别为 m， n， 若 mn1， 则双曲线 C 的离心率 e 是（ ） A B C2 D 【分析】设出 P、Q 坐标，求出直线的斜率，利用已知条件转化求解双曲线的离心率即 可 【解答】解：设点 P（s，t） 则 Q（s，t） ，mkAP，nkBQ， 即 mn，又，即 t2，mn， 由 mn1 有 ab，e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考 查计算能力 第 10 页（共 18 页） 12 （5 分）已知椭圆 C：1，点 P 为椭圆 C 上位于第一象限一点，O 为坐标原 点，过椭圆左顶点 A 作直线 lOP，交椭圆于另一点 B，若|AB|O

17、P|，则直线 l 的斜 率为（ ） A B C D 【分析】设 B（x1，y1） ，P（x2，y2） 则，可得， ，y1，点 P，B 都在椭圆 C 上，将它们坐标分别代入椭圆方程， 解得，再求斜率 【解答】解：由题知 A（a，0） ，设 B（x1，y1） ，P（x2，y2） 则， 可得，y1，点 P，B 都在椭圆 C 上， ，解得，直线 l 的斜率为 故选：A 【点评】本题考查直线和椭圆相交问题，运算化简能力，属于中档题 二、填空题：本大题二、填空题：本大题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题“x0R，sinx010”的否定为 xR，sinx

18、10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“x0R，sinx010”的否 定为：xR，sinx10 故答案为：xR，sinx10 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3xy 的最小值为 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：作出实数 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： 设 z3xy 得 y3xz 平移直线 y3xz， 由图象可知当直线 y3xz 经过点 A（1，

19、0）时， 直线 y3xz 的纵截距最大，此时 z 最小， 即 zmin3 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 15 （5 分）在数列an中，a14，an+13an2，若对于任意的 nN*，k（an1）2n5 恒成立，则实数 k 的最小值为 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒 成立问题和函数的单调性的应用求出结果 【解答】解：由 an+13an2 整理得 an+113（an1） ，即（常数） 故数列an1是以 3 为首项 3 为公比的等比数列， 可得不等式 k（an1）2n5，可化为，

20、令，当 1n2 时，f（n）0； 当 n3 当时，f（n）0，f（n+1）f（n）0 第 12 页（共 18 页） 故， 所以可得实数 k 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，构造数列的关系式的应用， 恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16 （5 分）已知点 A，B 为椭圆 C：1 的左右顶点，点 M 为 x 轴上一点，过 M 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P， Q 两点， 过 M 作 AP 的垂线交 BQ 于点 N， 则 【分析】设 P（m，n） ，则 M（m，0） ，Q（m，n） ，求出 m2 且 n0，直

21、线 AP 的 斜率 kAP，直线 MN 斜率 kMN 得到直线 MN 的方程，直线 BQ 的方程，解得，然后求解三角形的面积，推出结果即可 【解答】解：设 P（m，n） ，则 M（m，0） ，Q（m，n） ， 由题设知 m2 且 n0，直线 AP 的斜率 kAP，直线 MN 斜率 kMN 直线 MN 的方程为：y，直线 BQ 的方程为 y（x2） 联立，解得 yN 又点 P 在椭圆 C 上，得 4m24n2，yN 又，SBMQ|BM|n|， 故答案为： 第 13 页（共 18 页） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查计 算能力，是中档题 三、解答题：本大

22、题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设命题 p：x2（2a1）x+a（a1）0，命题 q：02x11，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 【分析】设满足命题 p 的 x 为集合 A，满足命题 q 的 x 为集合 B，由题意，BA，列不等 式求解即可 【解答】解：命题 p 成立则：a1xa，命题 q 成立则：， 设 Ax|a1xa，Bx| 由题知 qp， BA， 1， a 的取值范围为（1，） 【点评】本题考查了充分条件，必要条件的定义及其判断，考查了不

23、等式的解法，考查 了分析和解决问题的能力，属于基础题 18 （12 分）在平面直角坐标 xOy 中，F1（3，0） ，F2（3，0） ，点 P 是平面上一点，使 PF1F2的周长为 16 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）求|PF1|PF2|的最大值 【分析】 （1）利用已知条件结合椭圆的定义，转化求解轨迹方程即可 （2）直接利用基本不等式转化求解即可 【解答】解： （1）由题知|PF1|+|PF2|+|F1F2|16，|F1F2|6，|PF1|+|PF2|10， 第 14 页（共 18 页） 由 P 的轨迹为椭圆（去掉左右端点） ，2a10，2c6， a5，c3，b4，点 P 的轨迹方程为

24、： （2）|PF1|+|PF2|10，所以|PF1|PF2|25 当且仅当|PF1|PF2|5 时等号成立， 故|PF1|PF2|的最大值为 25 【点评】本题考查轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 19 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，有 S1055，S410 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn记数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn1 【分析】 （1）设数列an的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得 首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 bn，运用数列的裂项相消求和，可得 Tn，再由不等式的 性质即可得证 【解

25、答】解： （1）设数列an的公差为 d，有，解得，有 an1+ （n1）n， 故数列an的通项公式为 ann； （2）证明：由（1）知 bn， 有 Tn1+1， 由 nN*，有 0， 故有11， 由上知Tn1 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和和 不等式的性质，考查化简运算能力，属于中档题 20 （12 分）双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2点（， 第 15 页（共 18 页） ） ， （2，1）在双曲线 C 上 （1）求双曲线 C 的标准方程： （2）直线 l 过点 F2且与双曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的中点的横坐

26、标为2，求 直线 l 的方程 【分析】 （1）利用已知条件列出方程，求出 a，b，即可得到双曲线方程 （2）求出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标转化求解即可 【解答】解： （1）由题意有，解得 故双曲线 C 的标准方程为： （2）设直线 l 的方程为 yk（x） ， 联立方程， 消去 y 整理为： （14k2）x2+8k2x（20k2+4）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x24，得 k， 故直线 l 的方程为 y（x） 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力， 设而不求方法的应用，是中档题 21 （12 分）已知

27、数列an的前 n 项和为 Sn，a16，an+13an+3n+1 （1）证明：数列为等差数列； （2）求 Sn； （3）对任意 mN*将数列中落入区间（3m，32m）内的项的个数记为 bn求数列bn 的前 m 项和 Tm 【分析】 （1）将已知等式两边同除以 3n+1，由等差数列的定义，即可得证； 第 16 页（共 18 页） （2）运用等差数列的通项公式可得 an（n+1） 3n，由数列的错位相减法求和，结合等 比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）求得 3mn32m2，故 bm32m23m+132m3m1，运用数列的分组求和和 等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）证

28、明：由 a16，1， 故数列是首项为 2，公差为 1 的等差数列 （2）由（1）知2+n1n+1， 有 an（n+1） 3n， 由 Sn23+332+（n+1） 3n， 3Sn232+333+（n+1） 3n+1， 相减可得2Sn6+32+3n（n+1） 3n+1 6+（n+1） 3n+1， 化简可得 Sn3n+1； （3）对任意 mN*，若 3mn+132m，得 3m1n32m1，得 3mn32m2， 故 bm32m23m+132m3m1， 有 Tm（32+34+32m）（3+32+3m）mm （9m1）（3m1）mm 【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组

29、求和、 错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：1（a）的右焦点为 F，P 是椭圆 C 上一点，PF x 轴，|PF| （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点，且|OM| ，求AOB 面积的最大值 第 17 页（共 18 页） 【分析】 （1）设 P 坐标点，代入椭圆方程，就可求出 a，c 即可写出椭圆标 准方程 （2）分两种情况直线 l 的斜率不存在，斜率存在时，分别写出AOB 面积的表达 式，再分析最值 【解答】解： （1）由题知，点， 则有，又 a2b2+c22+c2， 解得 a28，c26，故椭圆 C 的方程为 （2）当 ABx 轴时，M 位于 x 轴上，且 OMAB， 由可得， 此时 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 ykx+t，与椭圆交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t280 ，从而， 已知，可得 设 O 到直线 AB 的距离为 d，则， 第 18 页（共 18 页） 将 t2代入化简得 令 1+16k2p， 则， 当且仅当 p3 时取等号，此时AOB 的面积最大，最大值为