广东省江门市2020年4月份高考模拟考试数学试题(理科)含答案解析
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1、2020 年高考(理科)数学(年高考(理科)数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、选择题(共 12 小題). 1已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z(3+4i)1+i,则 z 的共轭复数 在复平面内表示的点 在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若函数 f(x)是幂函数,且满足3,则 f()的值为( ) A3 B C3 D 3已知直线 l1:(m4)x+4y+10 和 l2:(m+4)x+(m+1)y10,若 l1l2,则实数 m 的值为( ) A1 或3 B或 C2 或6 D或 4“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在九章算术注中提出割圆术,并作为 计算圆
2、的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边 形,并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值,这个结果是当时世界上 圆周率计算的最精确数据如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机 模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.8269,那么通过该 实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据2.0946)( ) A3.1419 B3.1417 C3.1415 D3.1413 5已知命题 p:xR,x2+x10;命题 q:xR,sinx+cosx则下列判断正确的是 ( ) Ap 是假命题 Bq 是假命题 Cp
3、q 是假命题 D(p)q 是真命题 6周碑算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、 立春、 春分日影长之和为31.5尺, 前九个节气日影长之和为85.5尺, 则小满日影长为 ( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 7下列四个命题:在回归模型中,预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定;若变 量 x, y 满足关系 y0.1x+1, 且变量 y 与 z 正相关, 则 x 与 z 也正相关; 在残差图中, 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;以
4、模型 ycekx去拟合 一组数据时,为了求出回归方程,设 zlny,将其变换后得到线性方程 z0.3x+4,则 c e4,k0.3 其中真命题的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 已知二项式的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2: 5, 则 x3的系数为( ) A14 B14 C240 D240 9一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当 三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为( ) A B C D 10已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁在某天的某个时段,他们每人各做一 项工作,一人
5、在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印材料若下面 4 个说法都是正确的: 甲不在查资料,也不在写教案; 乙不在打印材料,也不在查资料; 丙不在批改作业,也不在打印材料; 丁不在写教案,也不在查资料 此外还可确定: 如果甲不在打印材料, 那么丙不在查资料 根据以上信息可以判断 ( ) A甲在打印材料 B乙在批改作业 C丙在写教案 D丁在打印材料 11设 F1,F2为双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点,P,Q 分别为双曲 线左、右支上的点,若2,且0,则双曲线的离心率为( ) A B C D 12四棱锥 PABCD,AD面 PAB,BC面 PAB,底面 ABCD 为梯形,AD4
6、,BC8, AB6,APDBPC,满足上述条件的四棱锥顶点 P 的轨迹是( ) A线段 B圆的一部分 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 二、填空题 13若 x,y 满足约束条件则的最大值为 14(sinx+ )dx 15 若圆 C: x2+y2+2x+2y70 关于直线 ax+by+40 对称, 由点 P (a, b) 向圆 C 作切线, 切点为 A,则线段 PA 的长度的最小值为 16已知函数 y|sinx|的图象与直线 ym(x+2)(m0)恰有四个公共点 A(x1,y1),B (x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中 x1x 2x3x4,则 三、解答题:解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17在ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,已知 ac,ABC 的面积为 2, sin(AB)+sinCsinA,b3 (1)求 sinB 的值; (2)求边 a,c 的值 18如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,PAPD,PAPD,ABAD, AB1,AD2,ACCD (1)求证:PD平面 PAB; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 19已知动点 P 到直线 l:x2 的距离比到定点 F(1,
8、0)的距离多 1 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若 A 为(1)中曲线 E 上一点,过点 A 作直线 l 的垂线,垂足为 C,过坐标原点 O 的直线 OC 交曲线 E 于另外一点 B,证明直线 AB 过定点,并求出定点坐标 20已知函数 f(x)ex sinxax (1)若 f(x)在上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 a1 时,求证:对于任意的,均有 f(x)0 212019 年 7 月 1 日到 3 日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车 产业的转型升级和生态环境的持续改善某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新 能源汽车,并在出厂前对 100
9、 辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车 所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程) 的测试 现对测试数据进行分析, 得到如图的频率分布直方图 (1)估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 (同一组中的数据用该组区间的 中点值代表); (2)根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正 态分布 N(,2),经计算第(1)问中样本标准差 s 的近似值为 50用样本平均数 作 为 的近似值,用样本标准差 s 作为的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续 航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率; (3)某汽车销售公司为推广此款
10、新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖” 活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停 在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券已知硬币出现正,反面的概率都是,方格 图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格第 50 格遥控车开始在第 0 格,客户每掷一次硬 币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从 k 到 k+1),若掷出反 面,遥控车向前移动两格(从 k 到 k+2),直到遥控车移到第 49 格(胜利大本营)或第 50 格(失败大本营)时,游戏结束设遥控车移到第 n 格的概率为 Pn,试证明PnPn 1(1n49,nN *)是等比数列,
11、并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽 车 参考数据:若随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(+)0.6827, P(2+2)0.9545,P(3+3)0.9973 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲 线 C 的极坐标方程为 sin2acos(a0),过点 P(2,4)的直线 l 的参数方程 为(t 为参数),直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 ()写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方
12、程; ()若|PA| |PB|AB|2,求 a 的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 ()当 a2 时,求不等式 f(x)3 的解集; ()若 mR,且 m0,证明: 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z(3+4i)1+i,则 z 的共轭复数 在复平面内表示的点 在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出 解:复数 z 满足 z(3+4i)1+i,z(3+4i)(34i)(1+i)(
13、34i),5z7i, zi +i 则复平面内表示 z 的共轭复数的点在第一象限 故选:A 2若函数 f(x)是幂函数,且满足3,则 f()的值为( ) A3 B C3 D 【分析】设 f(x)x( 为常数),由满足3,可得 log23. 代 入即可得出 解:设 f(x)x( 为常数), 满足3,3,log23 则 f() 故选:D 3已知直线 l1:(m4)x+4y+10 和 l2:(m+4)x+(m+1)y10,若 l1l2,则实数 m 的值为( ) A1 或3 B或 C2 或6 D或 【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解 解:直线 l1:(m4)x+4y+10 和 l2:(m+4)x+
14、(m+1)y10,l1l2, ()1, 解得 m2 或 m6, 实数 m 的值为 2 或6 故选:C 4“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在九章算术注中提出割圆术,并作为 计算圆的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边 形,并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值,这个结果是当时世界上 圆周率计算的最精确数据如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机 模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.8269,那么通过该 实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据2.0946)( ) A3.1419
15、 B3.1417 C3.1415 D3.1413 【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得:0.8269,所 以0.8269,又2.0946,所以 3.1419,得解 解:由几何概型中的面积型可得: 0.8269, 所以0.8269, 又2.0946, 所以 3.1419, 故选:A 5已知命题 p:xR,x2+x10;命题 q:xR,sinx+cosx则下列判断正确的是 ( ) Ap 是假命题 Bq 是假命题 Cpq 是假命题 D(p)q 是真命题 【分析】利用配方法求得 x2+x1 的范围,说明命题 p 为假命题,利用三角函数的化积 求得 sinx+cosx 的最大值等于 1
16、,说明命题 q 为真命题,然后利用符合命题的真值表加以 判断即可得到答案 解:由 x2+x1 ,所以命题 p:xR,x2+x10 为假命题; 由 sinx+cosx,当时 sinx+cosx 所以命题 q:xR,sinx+cosx是真命题 由以上可知:p 是真命题;q 是真命题;pq 是真命题;(p)q 是真命题 故选:D 6周碑算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、 立春、 春分日影长之和为31.5尺, 前九个节气日影长之和为85.5尺, 则小满日影长为 ( ) A1.5 尺 B2.5
17、 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求 出结果 解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列an, 冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,前九个节气日影长之和为 85.5 尺, , 解得 a113.5,d1, 小满日影长为 a1113.5+10(1)3.5(尺) 故选:C 7下列四个命题:在回归模型中,预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定;若变 量 x, y 满足关系 y0.1x+1, 且变量 y 与 z 正相关, 则 x 与
18、z 也正相关; 在残差图中, 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;以模型 ycekx去拟合 一组数据时,为了求出回归方程,设 zlny,将其变换后得到线性方程 z0.3x+4,则 c e4,k0.3 其中真命题的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】直接利用回归直线的方程的应用,相关的变量关系的应用,残差图的应用求出 结果 解:下列四个命题:在回归模型中,预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定;根 据回归模型中的变量关系,正确 若变量 x,y 满足关系 y0.1x+1,且变量 y 与 z 正相关,则 x 与 z 也正相关;应该是 负相关故错误
19、 在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;即越接 近于回归直线的距离越小,故正确 以模型 ycekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 zlny,将其变换后得到线 性方程 z0.3x+4,则 ce4,k0.3故正确 故选:C 8 已知二项式的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2: 5, 则 x3的系数为( ) A14 B14 C240 D240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值,可得通项公式,在通项公式中, 令 x 的幂指数等于 3,求得 r 的值,可得 x3的系数 解:由二项式的展开式中的通项公式为 Tr+1 (1)r 2n
20、r , 它第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2:5,求得 n6, 故通项公式为 Tr+1 (1)r 26r 令 63,求得 r2,故 x3的系数为 24240, 故选:C 9一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当 三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为( ) A B C D 【分析】恰好取 5 次球时停止取球,分两种情况 3,1,1 及 2,2,1,这两种情况是互斥 的,利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率,再根据互斥事件的概率得到结果 解:分两种情况 3,1,1 及 2,2,1 这两种情况是互斥的,下面计算每一种
21、情况的概率, 当取球的个数是 3,1,1 时, 试验发生包含的事件是 35, 满足条件的事件数是 C31C43C21 这种结果发生的概率是 同理求得第二种结果的概率是 根据互斥事件的概率公式得到 P 故选:B 10已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁在某天的某个时段,他们每人各做一 项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印材料若下面 4 个说法都是正确的: 甲不在查资料,也不在写教案; 乙不在打印材料,也不在查资料; 丙不在批改作业,也不在打印材料; 丁不在写教案,也不在查资料 此外还可确定: 如果甲不在打印材料, 那么丙不在查资料 根据以上信息可以判断 ( )
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