2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试卷（含答案）

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1、20202020 年高考数学一诊测试试卷年高考数学一诊测试试卷 一、选择题（共 9 小题） 1若集合 2 |1Ax x， |02Bxx，则AB（ ） A |01xx B | 10xx C |12xx D | 12xx 2设xR，则“|1| 1x ”是“ 2 20xx”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设函数( )sin3cos ()f xxx xR，则下列结论中错误的是（ ） A( )f x的一个周期为2 B( )f x的最大值为 2 C( )f x在区间 2 , 63 上单调递减 D 3 fx 的一个零点为 6 x 4函数 2 1 (

2、 )log9 2 f xx的单调递增区间是（ ） A(0,) B(,0) C(3,) D(, 3) 5已知等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，若 348 ,a a a成等比数列，则（ ） A 1 0a d ， 4 0dS B 1 0a d ， 4 0dS C 1 0a d ， 4 0dS D 1 0a d ， 4 0dS 6已知离心率为 5 3 的双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，若点P是抛物线 2 12yx的准线与C的渐近线的一个交点，且满足 12 PFPF，则双曲线的方程是（ ） A 22 1 169 xy B 22

3、1 34 xy C 22 1 916 xy D 22 1 43 xy 7已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，当0x时， 2 ( )4f xxx，则不等式(2)5f x 的解集为 （ ） A( 3,7) B( 4,5) C( 7,3) D( 2,6) 8 函数 21,(0) ( ) (1),(0) x x f x f xx ， 若方程( )f xxa恰有两个不等的实根， 则a的取值范围为 （ ） A(,0) B0,1) C(,1) D0,) 9 已知函数( )yf x的定义域为(, ) ， 且函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称， 当(0, )x 时，( )lnsin 2 f xxf

4、x （其中( )fx 是( )f x的导函数） ，若log 3af ， 1 log 3 bfg ， 1 3 cf ，则, ,a b c的大小关系是（ ） Abac Babc Ccba Dbca 二、填空题（共 6 小题） 10i是虚数单位，若 2 1 ai i 是纯虚数，则实数a的值为_ 11我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内 夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为_ 12在 6 2 1 x x 的展开式中，含 3 x项的系数为_ （用数字填写答案） 13已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边

5、所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 的体积为_ 14已知0x ，0y ，且 21 1 xy ，若 2 22xy mm恒成立，则实数m的取值范围_ 15已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC ，点,E F分别在边,AD DC上， 1 2 BE ，()BABD， 1 3 DFDC，则BE BF_ 三、解答题（共 5 小题） 16在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，4a ，3c ， 1 cos 4 A （）求b的值； （）求sin 2 6 B 的值 17在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，/ /PDQA， 2 PDA ， 平面A

6、DPQ 平面ABCD，且22ADPDQA （）求证：/ /QB平面PDC； （）求二面角CPBQ的大小； （）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB成角的余弦值为 7 3 15 ，求线段DH的长 18已知椭圆 22 22 :1 (0) xy Eab ab 的离心率为 1 2 e ， 12 ,F F分别为左右焦点， 1 B为短轴的一个端 点， 112 B FF的面积为3 （）求椭圆E的方程 （）若, , ,A B C D是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC于BD相交于点 1 F，且0AC BD，求 | | AC BD 的取值范围 19已知等比数列 n a的各项均为正数， 546 2,4a a

7、a成等差数列，且满足 2 43 4aa，数列 n b的前n项和 (1) 2 nn n Sb ， * nN，且 1 1b （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设 , , n n n b n c a n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前n项和 n P （3）设 25 21 23 n nn nn b da bb ， * nN， n d的前n项和 n T，求证： 1 3 n T 20设函数( )2ln ()f xaxx aR （）求( )f x的单调区间； （）当1a 时，试判断( )f x零点的个数； （）当1a 时，若对(1,)x ，都有(41ln )( )10()kx xf x

8、kZ 成立，求k的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（共 9 个小题） 1解：集合 2 |1 | 11Ax xxx ， |02Bxx， | 12ABxx 故选：D 2解：|1| 1x ，解得：01x 由 2 20xx，解得：12x “|1| 1x ”是“ 2 20xx”的充分不必要条件 故选：A 3解：( )sin3cos2sin 3 f xxxx ( )f x的一个周期为2，故 A 正确；( )f x的最大值为 2，故 B 正确； 由 2 63 x ，得 23 x ，( )f x在区间 2 , 63 上单调递减，故 C 正确； 2 2sin 33 fxx ，取 6 x 时，函数值为 5 2

9、sin1 6 ，故 D 错误 故选：D 4解：函数 2 1 ( )log9 2 f xx的单调递增区间， 即函数 2 9yx在满足0y 的条件下，y的减区间 再利用二次函数的性质可得，函数 2 9yx在满足0y 的条件下，y的减区间为(, 3) ， 故选：D 5解：等差数列 n a的公差0d ，若 348 ,a a a成等比数列， 可得 2 384 a aa，即 2 111 273adadad， 化为 1 530da， 由0d ，可得 1 0a ， 1 0a d ， 41 202 4660 33 Sadddd ，则 4 0dS ， 故选：B 6解：离心率为 5 3 的双曲线 22 22 :1(

10、0,0) xy Cab ab 可得 5 3 c a ，则 4 3 b a ， 双曲线的一条渐近线方程为：430xy，抛物线 2 12yx的准线：3x ，可得( 3, 4)P ， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 满足 12 PFPF，(3,4) (3,4)0cc，解得5c ，则3a ；4b； 舍去的双曲线方程为： 22 1 916 xy 故选：C 7解：当0x 时，0x ，则 22 ()()4()4fxxxxx ， 又( )f x为偶函数，故 2 ( )4 (0)f xxx x， 当2 0x ，即2x时，不等

11、式(2)5f x 等价为 2 (2)4(2)5xx，解得33x ，此时 23x2x3；; 当20x，即2x 时，不等式(2)5f x 等价为 2 (2)4(2)5xx，解得71x ，此 时72x ； 综上，不等式的解集为( 7,3) 故选：C 8解：由函数 21,(0) ( ) (1),(0) x x f x f xx ， 可得( )f x的图象和函数yxa有两个不同的交点， 如图所示：故有1a ， 故选：C 9解：函数( )yf x的定义域为(, ) ，且函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称， 函数( )f x为R上的偶函数 当(0, )x时，( )lnsin 2 f xxfx （其中

12、( )fx 是( )f x的导函数） ， ( )cos 2 fxfx x ， 令 2 x ，则2 2 f ， ( )2cosfxx x ， 当0, 2 x 时，2 x ，2cos2x( )2cos0fxx x 当, 2 x 时，0 x ，2cos0x( )2cos0fxx x (0, )x 时，( )2cos0fxx x 函数( )f x在(0, )x时单调递增 log 3af ， 1 log9( 2)(2) 3 bfff ， 1 3 cf ， 1 0log 312 3 ， acb 即bca 故选：D 二、填空题（共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 10解： 2(2)(1)22 1

13、(1)(1)22 aiaiiaa i iii 是纯虚数， 20 20 a a ，即2a 故答案为：2 11解：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒， 设这批米内夹谷约为x石， 则 18 1536256 x ，解得108x （石） 这批米内夹谷约为 108 石 故答案为：108 石 12解：由于 6 2 1 x x 的展开式的通项公式为 12 3 16 rr r TCx ， 令1233r，解得3r ，故展开式中 3 x的系数是 3 6 20C ， 故答案为：20 13解：等边三角形的边长为 2， 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转

14、一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以3为底面圆半径， 以 1 为高的两个圆锥的组合体， 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： 2 1 2( 41)12 3 V 故答案为：2 14解：由 21 1 xy ，可得 2144 2(2 )4428 4 xyxy xyxy xyyyx ， 而 2 22xy mm恒成立 2 2(2 )minmmxy， 所以 2 28mm恒成立， 即 2 28 0mm 恒成立， 解得42m 剟 故答案为：4,2 15解：由 1 () 2 BEBABD， 1 3 DFDC，可得点E为线段AD的中点，点F为线段DC的三等分 点靠近点D处，

15、 由菱形ABCD的边长为 2，60ABC ，得：|2 3BD ，30ABD ， 则 2211111111 ()124 23263263 BE BFBABDBDBABDBABA BD 322 22 3 23 ， 故答案为： 22 3 三、解答题（共 5 个小题，每小题 15 分，共 75 分） 16解： （）在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosabcbcA， 又4a ，3c ， 1 cos 4 A ， 2 23140bb， 解得2b； （）由 1 cos 4 A ， 所以 15 sin 4 A， 由正弦定理得： sinsin ab AB ， 得 15 sin 8 B ， 又0 2 B ，

16、 所以 7 cos 8 B ， 所以 7 15 sin22sincos 32 BBB， 2 17 cos22cos1 32 BB ， 所以 37 151711721 5 sin 2 623232264 B ， 故答案为： 1721 5 64 17 【解答】证明： （）四边形ABCD是正方形，/ /ABCD， 四边形ADPQ是梯形，/ /PDQA，ABQAA，CDPDD， 平面/ /ABP平面DCP， QB 平面ABQ，/ /QB平面PDC 解： （）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0,2,0)C，(0,0,2)P，(2,2,0)B，(2,0,1)Q，

17、(2,2, 2)PB ，(0,2, 2)PC ，(2,0, 1)PQ ， 设平面PBC的法向量( , , )nx y z， 则 2220 220 n PBxyz n PCyz ，取1y ，得(0,1,1)n ， 设平面PBQ的法向量( , , )x y z， 则 2220 20 m PBxyz m PQxz ，取1x ，得(1,1,2)， 设二面角CPBQ的大小为，由图形得为钝角， 则 |33 cos 2| |26 m n mn ， 5 6 ， 二面角CPBQ的大小为 5 6 （）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为 7 3 15 ， 设DHt，则(0,0, )Ht，(2,0,

18、0)A，( 2,0, )AHt ，(2,2, 2)PB ， 2 |427 3 |cos,| 15| | 412 AH PBt AHPB AHPB t ， 解得 3 2 t ，线段DH的长为 3 2 18解： （）由椭圆的离心率 2 2 1 1 2 cb e aa ，则2ac，3bc， 112 B FF的面积的面积 1 23 2 Scb，则3bc ， 解得：2a ，3b ，1c ， 椭圆的标准方程： 22 1 43 xy ； （）由（）可知：( 1,0)F ，由函数的对称性，直线的斜率存在且不为 0， 设直线:(1)AC yk x，且3k ， 11 ,A x y， 22 ,C xy， 22 (1

19、) 1 43 yk x xy ，整理得： 2222 3484120kxk xk， 2 12 2 8k 34k xx ， 2 12 2 412 34 k x x k ， 则 2 2 2 1212 2 12 1 |14 34 k ACkxxx x k ， 将 1 k 代入上式可得 2 2 12 1 | 43 k BD k ， 则 2 22 |34371 |4344 43 ACk BDkk ， 2 3k ， 由 2 0k ，则 2 33714 444 433k ， 2 3k | | AC BD 的取值范围 3 1313 4 , 4 1515 3 19解： （1）等比数列 n a的各项均为正数，设公比

20、为q，0q ， 由 546 2,4a aa成等差数列， 可得 456 224aaa， 即 2 444 2aaqaq， 即 2 21 0qq ， 解得 1 2 q （1 舍去） ， 由 2 43 4aa，可得 2 32 11 4a qa q，即 2 11 11 84 aa， 解得 1 1 2 a ，则 1 111 222 nn an ； 数列 n b的前n项和 (1) 2 nn n Sb ， * nN，且 1 1b ， 可得2n时， 11 2 nn n Sb ，又 (1) 2 nn n Sb ，两式相减可得 1 1 22 nnn nn bbb ， 化为 1 1 n n bn bn ，则 23 1

21、 121 2 3 1 1 21 n n n bbbn bbn bbbn ， 上式对1n 也成立，则 n bn，*nN； （2） , , 1 , 2 , n n n n n n n b n c a n 为奇数 为奇数 数 为偶数 为偶 ， 当n为 偶 数 时 ， 前n项 和 1111 ( 1351 )( 11 ) 41 622 n n Pnn 2 11 1 1142 1 1 2432 1 4 n n nn ； 当n为奇数时， 2 1 1 (1)11 1 432 nn n n PPnn ； （3）证明： 25 1 21 23 2511 2 (21)(23) 22 (21)2(23) n nn nn

22、n nn bn da bbnnnn ， 则前n项和 1 111111 2 234545872(21)2(23) n nn T nn 1 1111 22 62(23)63 n n ， 即有 1 3 n T 20解： （） 1 ( )fxa x ，(0)x 0a时，( )0fx ，函数( )f x在(0,)上单调递增 0a 时， 1 ( ) a x a fx x ，(0)x 则( )f x在 1 0, a 上单调递减，在 1 , a 上单调递增 （）1a 时，( )2ln (0)f xxx x 1 ( ) x fx x ，(0)x 则( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 1x

23、时，函数( )f x取得极小值即最小值，(1)1f 0x 时，( )f x ；x 时，( )f x 函数( )f x存在两个零点 （）当1a 时，对(1,)x ，都有(41ln )( )10()kx xf xkZ 成立， 化为： 13 4ln( ) nx kxg x x ， 22 11(13)12 ( ) nxxnx g x xxx 令( )ln2u xxx，(1,)x， 1 ( )10u x x ， 函数( )u x在(1,)x调递增， (3)1ln3u ，(4)22ln2u， 存在唯一的 0 (3,4)x ，使得 0 0u x，即 00 ln20xx， 函数( )g x在 0 1,x内单调递减，在 0, x 单调递增 00 min0000 000 ln32317 13 ( )ln21, 3 4 xx g xg xxxx xxx ， 0 0 1 41 minkx x ，k k的最大值为 0