湖北名师联盟2020届高三第一次模拟考试数学试题（理科）含答案

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1、2020 届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学理科数学 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，

2、只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |650Ax xx， |3Bx yx，AB （ ） A. 1, B. 1,3 C. 3,5 D. 3,5 2. 3434 1212 ii ii （ ） A. -4 B. 4 C. 4i D. 4i 3. 如图 1 为某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图，下 列对统计图理解错误的是（ ） A. 2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B. 2019 年 14 月的业务量同比增长率超过50%，在 3 月最高 C. 从两图来看 2019 年 14

3、 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 4. 已知两个单位向量 1 e， 2 e，满足 12 23ee，则 1 e， 2 e的夹角为（ ） A. 2 3 B. 3 4 C. 3 D. 4 5. 函数 1 cos 1 x x e f xx e 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知斐波那契数列的前七项为 1、1、2、3、5、8、13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐 波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花 3 朵，花瓣总数为 99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数 由

4、内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图， 正方体 1111 ABCDABC D中， 点E，F分别是AB， 11 AD的中点，O为正方形 1111 ABC D的中心， 则（ ） A. 直线EF，AO是异面直线 B.直线EF， 1 BB是相交直线 C. 直线EF与 1 BC所成的角为30 D. 直线EF， 1 BB所成角的余弦值为 3 3 8. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. -2 9. 已知定义在R上的奇函数 f x满足 2f xf x，且在区间1,2上是减函数，令ln2a

5、， 1 2 1 4 b ， 1 2 log 2c ，则 f a， f b， f c的大小关系为（ ） A. f bf cf a B. f af cf b C. f cf bf a D. f cf af b 10. 已知点 2 F是双曲线C： 22 1 93 xy 的右焦点， 动点A在双曲线左支上， 点B为圆E： 2 2 21xy 上一点，则 2 ABAF的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 3 D. 6 3 11. 如图， 已知P，Q是函数 sin0,0, 2 f xAxA 的图象与x轴的两个相邻交点， R是函数 f x的图象的最高点， 且3RP RQ， 若函数 g x的图象与 f

6、x的图象关于直线1x 对称， 则函数 g x的解析式是（ ） A. 3sin 24 g xx B. 3sin 24 g xx C. 2sin 24 g xx D. 2sin 24 g xx 12. 已知三棱锥PABC满足PA 底面ABC，在ABC中，6AB ，8AC ，ABAC，D是线 段AC上一点，且3ADDC.球O为三棱锥PABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的 面积的最小值与最大值之和为40，则球O的表面积为（ ） A. 72 B. 86 C. 112 D. 128 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知曲线 1 lnf xaxx在点 1,0处的切线方

7、程为1yx，则实数a的值为 . 14. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，满足 711 SS，且 1 0a ，则 n S最大时n的值是 . 15. 易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦） ，每 一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “”表示一根阴线） ，从八卦中任取两卦，这两卦的六根 线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 . 16. 点A，B是抛物线C： 2 20ypx p上的两点，F是拋物线C的焦点，若120AFB，AB中 点D到抛物线C的准线的距离为d，则 d AB 的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出

8、文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2 2 2 3sinacbabC. （1）求B的大小； （2）若8b，ac，且ABC的面积为3 3，求a. 18. 如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，/EDFB， 1 2 DEBF， ABFB，FB 平面ABCD. （1）设BD与AC的交点为O，求证：OE 平面ACF； （2）求二面角EAFC的正弦值. 19. 设椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，上顶点为B，离心率为 3 3 ，O是 坐标原点，且 1 6OBFB.

9、（1）求椭圆C的方程； （2）已知过点 1 F的直线l与椭圆C的两交点为M，N，若 22 MFNF，求直线l的方程. 20. 已知函数 1 4cos 23 x f xxe ， fx为 f x的导数，证明： （1） fx在区间,0上存在唯一极大值点； （2） f x在区间,0上有且仅有一个零点. 21. 11 月，2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进 行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每 人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得-1 分；两人都命中或都未命中，两人均得

10、0 分. 设甲每次投球命中的概率为 1 2 ，乙每次投球命中的概率为 2 3 ，且各次投球互不影响. （1）经过 1 轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列； （2）若经过n轮投球，用 i p表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. 求 1 p， 2 p， 3 p； 规定 0 0p ，经过计算机计算可估计得 11 1 iiii papbpcpb ，请根据中 1 p， 2 p， 3 p的值分 别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列 n p的通项公式. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知平面

11、直角坐标系xOy中， 以O为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 1 C方程为2sin， 2 C的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt （t为参数）. （1）写出曲线 1 C的直角坐标方程和 2 C的普通方程； （2）设点P为曲线 1 C上的任意一点，求点P到曲线 2 C距离的取值范围. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知0a，0b，23ab. 证明： （1） 22 9 5 ab； （2） 33 81 4 16 a bab. 2020 届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答案理科数学答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题

12、 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：DDDCB 6-10：CCBCA 11-12：CC 1.【答案】D 【解析】由已知可得1,5A，3,B ，则3,5AB . 2.【答案】D 【解析】由复数的运算法则可得： 3434(34 )(1 2 )(34 )(1 2 ) 1 21 2(1 2 )(1 2 ) iiiiii iiii ( 5 10 )( 5 10 ) 4 5 ii i . 3.【答案】D 【解析】对于选项 A：2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值为4397 2411 1986，接近 2000 万件，所以 A 是正确的； 对于选项

13、B：2019 年 14 月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在 3 月最高，所以 B 是正确的； 对于选项 C：2019 年 2、3、4 月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以 C 是正确的. 4.【答案】C 【解析】 12 23ee， 12 1 443e e ， 12 1 2 e e， 12 1 cos, 2 e e， 12 , 3 e e . 5.【答案】B 【解析】 1 cos 1 x x e f xx e 的定义域为 ,00,， 11 coscos 11 xx xx ee fxxxf x ee ， 函数 1 cos 1 x x e f xx

14、e 奇函数，排除 A、D， 又因为当0x 时，cos0x 且 1 0 1 x x e e ，所以 1 cos0 1 x x e f xx e ， 故选 B. 6.【答案】C 【解析】由题设知，斐波那契数列的前 6 项之和为 20，前 7 项之和为 33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有 7 层. 7.【答案】C 【解析】易知四边形AEOF为平行四边形，所以直线EF，AO相交； 直线EF， 1 BB是异面直线； 直线EF， 1 BB所成角的余弦值为 6 3 ，故选项 C 正确. 8.【答案】B 【解析】第一次循环，4S ，1i ； 第二次循环，2S ，2i ； 第三次循环，4S ，1i ； 第四次

15、循环，2S ，2i . 可知S随i变化的周期为 2，当2019i 时，输出的2S . 9.【答案】C 【解析】 f x是R上的奇函数，且满足 2f xf x， 2f xfx，函数 f x的图象关于1x 对称， 函数 f x在区间1,2是减函数，函数 f x在1,1上为增函数，且 200ff， 由题知1c ，2b，01a， f cf bf a. 10.【答案】A 【解析】设双曲线C的左焦点为 1 F， 211 26AFAFaAF， 211 65ABAFABAFABAFBE 1 512459FE . 11.【答案】C 【解析】由已知，得 3 , 2 RA ，则1,RPA ，1,RQA， 于是 2

16、13RP RQA ，得2A ， 又 51 222 T ，4T ， 2 2T ， 由 1 2 2 2 k ，kZ及 2 ，得 4 ，故 2sin 24 fxx ， 因为 g x与 f x的图象关于1x 对称， 则 22sin2 24 g xfxx 2sin2sin 2424 xx . 12.【答案】C 【解析】将三棱锥PABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O， 记三角形ABC的中心为 1 O， 设球的半径为R，2PAx，则球心O到平面ABC的距离为x，即 1 OOx， 连接 1 O A，则 1 5O A， 22 25Rx， 在ABC中，取AC的中点为E，连接 1 O D， 1

17、O E， 则 1 1 3 2 O EAB， 1 2 4 DEAC， 1 13OD. 在 1 RtOO D中， 2 13ODx ， 由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r，则 22222 251312rRODxx ， 所以最小截面圆的面积为12，当截面过球心时，截面面积最大为 2 R， 2 1240R， 2 28R ，球的表面积为 2 4112R .（或将三棱锥补成长方体求解）. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 2 14. 9 15. 3 14 16. 3 3 13.【答案】2 【解析】 1 ln ax fxax x ， 11 1fa

18、，2a. 14.【答案】9 【解析】设等差数列 n a的公差为d，由 711 SS，可得 11 7 611 10 711 22 adad ， 即 1 2170ad，得到 1 2 17 da ， 所以 111 (1)(1)2 2217 n n nn n Snadnaa 2 1 1 81 (9) 1717 a na ， 由 1 0a 可知 1 0 17 a ，故当9n时， n S最大. 15.【答案】 3 14 【解析】观察八卦图可知，含 3 根阴线的共有 1 卦，含有 3 根阳线的共有 1 卦，含有 2 根阴线 1 根阳线的 共有 3 卦，含有 1 根阴线 2 根阳线的共有 3 卦， 故从八卦中

19、任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为 12 33 2 8 3 14 CC C . 16.【答案】 3 3 【解析】设AFa，BFb， 则 2 ab d ， 22222 2cosABababAFBabab， 2 22 22 ()1 1 24 dabab ABabababab 13 1 233 ab ab ， 当且仅当ab时取等号. 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】 （1） 3 ； （2）513. 【解析】 （1）由 2 2 2 3sinacbabC，得 222 22 3sinacacbabC ， 所以 222

20、 22 3sinacbacabC ，即2cos12 3sinacBabC， 所以有sincos13sinsinCBBC， 因为0,C，所以sin0C ，所以cos13sinBB ， 即3sincos2sin1 6 BBB ，所以 1 sin 62 B ， 又0B，所以 5 666 B ，所以 66 B ，即 3 B . （2）因为 113 sin3 3 222 acBac，所以12ac ， 又 22222 2cos()3()3664bacacBacacac， 所以10ac ，把10ca代入到12acac中，得 513a . 18.【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 . 【解析】 （1

21、）证明：由题意可知：ED 平面ABCD，从而RtEDARtEDC， EAEC， 又O为AC中点，DEAC， 在EOF中，3OE ，6OF ，3EF ， 222 OEOFEF，OEOF， 又ACOFO，OE 平面ACF. （2）ED 面ABCD，且DADC， 如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系， 从而0,0,1E，2,0,0A，0,2,0C，2,2,2F，1,1,0O， 由（1）可知1,1, 1EO 是面AFC的一个法向量， 设, ,nx y z为面AEF的一个法向量， 由 220 20 AF nyz AE nxz ，令1x ，得1, 2,2n ， 设为二面角EAFC的平面角

22、，则 3 coscos, 3 EO n EO n EOn ， 6 sin 3 ， 二面角EAFC角的正弦值为 6 3 . 19.【答案】 （1） 22 1 32 xy ； （2）210xy . 2 ()3664ac 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为2c，则 3 3 c a ，3ac， 222 abc，2bc， 又 1 6OB FB，OBb， 1 FBa， 6ab ， 2 66c ，1c， 3a ， 2b ， 22 1 32 xy . （2）由（1）知 1 1,0F ， 2 1,0F，设直线l方程为1xty， 由 22 1 1 32 xty xy ，得 22 23440tyty ， 设 11 ,

23、M x y， 22 ,N x y，则 12 2 4 23 t yy t ， 12 2 4 23 y y t ， 22 MFNF， 22 0F M F N， 1212 110xxy y， 1212 1 11 10tytyy y ， 2 1212 1240ty yt yy ， 2 2 22 4 1 8 40 2323 t t tt ， 2 2t ，2t . l的方程为210xy . 20.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 （1）由题意知： f x定义域为, ，且 1 2sin 2 3 x xxef . 令 1 2sin 23 x g xxe ，,0x ， 1 cos 2

24、3 x gxxe ，,0x . x ye 在,0上单调递减， 1 cos 23 yx 在,0上单调递减， gx在,0上单调递减. 又 0cos10 3 g ， 31 cos0 232 ge e ， 0 ,0x ，使得 0 0gx， 当 0 ,xx 时， 0gx ；当 0,0 xx时， 0gx ， 即 g x在区间 0 ,x上单调递增；在 0,0 x上单调递减， 则 0 xx为 g x唯一的极大值点，即 fx在区间,0上存在唯一的极大值点 0 x. （2）由（1）知 1 2sin 2 3 x xxef ，且 fx在区间,0存在唯一极大值点， fx在 0 ,x上单调递增，在 0,0 x上单调递减，

25、 而 1 2sin10 23 e e f ， 2sin1310 3 0f ，故 fx在,0上恒有 0fx ， f x在,0上单调递增， 又 1 4cos2 30 23 fe e ， 4co10s10 3 f ， 因此， f x在,0上有且仅有一个零点. 21. 【答案】（1） 见解析；（2） 1 1 6 P ， 2 7 36 P ， 3 43 216 P ； 6 1 7 ab， 1 1 7 cb， 1 1 6 1 5 n n P . 【解析】 （1）X的可能取值为-1，0，1. 121 (1)1 233 P x ， 12121 (0)11 23232 P x ， 121 (1)1 236 P

26、x . X的分布列为 X -1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 （2）由（1）知， 1 1 6 P ， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得 1 分； 二是两轮有一轮甲得 0 分，有一轮甲得 1 分， 1 22 11117 662636 PC ， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得 1 分；二是三轮有两轮各得 1 分，一轮得 0 分；三是 1 轮得 1 分，两轮各得 0 分；四是两轮各得 1 分，1 轮得-1 分， 3222 212 3333 1111111 6626263 PCCC . 由 11iiii PaPbPcP ，知 11 11 iii ac

27、PPP bb ， 将 0 0P ， 1 1 6 P ， 2 7 36 P ， 3 43 216 P 代人，求得 6 17 a b ， 1 17 c b ， 6 (1) 7 ab， 1 (1) 7 cb， 11 61 77 iii PPP ， 11 71 66 iii PPP . 11 1 6 iiii PPPP ， 10 1 6 PP， 1nn PP是等比数列，首项和公比都是 1 6 . 1 1 6 nn n PP， 010211nnn PPPPPPPP 11 1 1166 1 1 56 1 6 n n . 22.【答案】 （1） 1 C： 2 2 11xy， 2 C： 330xy； （2）

28、31 0, 2 . 【解析】 （1） 1 C的直角坐标方程 2 2 11xy， 2 C的普通方程 330xy. （2）由（1）知， 1 C为以0,1为圆心， 1r 为半径的圆， 1 C的圆心0,1到 2 C的距离为 13 31 1 23 1 d ， 则 1 C与 2 C相交，P到曲线 2 C距离最小值为 0，最大值为 31 2 dr ， 则点P到曲线 2 C距离的取值范围为 31 0, 2 . 23.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】证明： （1）0a，0b，23ab，3 20ab ， 3 0 2 b， 2 2222 325129abbbbb 2 699 5 555 b ， 当 6 5 b ， 3 32 5 ab时， 22 ab的最小值为 9 5 ， 22 9 5 ab. （2）0a，0b，23ab， 3 2 2ab ， 9 0 8 ab，当且仅当 3 2 2 ab时，取等号， 33222 44(2 )4a babab abababab 2 2 819 (94)94()4 168 ababababab , 9 8 ab 时， 33 4a bab的最大值为 81 16 ， 33 81 4 16 a bab.