2018-2019学年河南省郑州一中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、用反证法证明命题: “已知 a、bN+,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( ) Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 2 (5 分)若复数 z 满足 iz2+4i,i 为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( ) A (4,2) B (4,2) C (2,4) D (2,4) 3 (5 分)曲线 yxex 1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A2e Be C2 D1 4(5 分) 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, ABC 的面积为 S, 内
2、切圆半径为 r, 则, 类比这个结论可知:四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 SABC 的体积为 V,则 R( ) A B C D 5 (5 分)在的展开式中,含项的系数为( ) A60 B160 C60 D64 6 (5 分)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选 择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 7 (5 分)已知 i 为虚数单位,aR,若为纯虚数,则复数的模等于( ) A B C D2 8 (5 分)停车场划出一排 9 个停车位置,今有
3、 5 辆不同的车需要停放,若要求剩余的 4 个 空车位连在一起,则不同的停车方法有( ) A种 B种 C种 D种 第 2 页(共 19 页) 9 (5 分)已知曲线 y1x2,x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S,曲线 y1 x2,曲线 y3x2与 y 轴所围成的图形面积为 S1,则的值为( ) A B C D 10 (5 分)函数 f(x)+ax22x+1 在 x(1,2)内存在极值点,则( ) A Ba或 a C Da或 a 11 (5 分)在二项式(+)n的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,把展开 式中所有的项重新排成一列,则有理项不相邻的概率为( ) A B C D 1
4、2 (5 分)定义:如果函数 yf(x)在区间a,b上存在 x1,x2(ax1x2b) ,满足 f (x1),f(x2),则称函数 yf(x)在区间a,b上的 一个双中值函数,已知函数 f(x)x3x2是区间0,t上的双中值函数,则实数 t 的 取值范围是( ) A () B () C () D (1,) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)袋中有 3 个白球 2 个黑球共 5 个小球,现从袋中每次取一个小球,每个小球被 抽到的可能性均相同,不放回地抽取两次,则在第一次取到黑球的条件下,第二次仍取 到黑球的概率是
5、 14 (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,2) ,若 P(X0)0.16,则 P(2X 4) 第 3 页(共 19 页) 15 ( 5 分 ) 已 知 函 数, 当 x2 x1时 , 不 等 式 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16 (5 分)已知,则 f(x)的最小值为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知复数 za+bi(a,bR) ,且 a2(i1)a+4b+3i0 ()求复数 z; ()若是实数,求实数 m 的值 18 (12 分
6、)已知数列an的前 n 项和 Sn满足:且 an0,nN* ()计算 a1,a2,a3的值,并猜想an的通项公式; ()用数学归纳法证明an的通项公式 19 (12 分)设 f(x)a(x5)2+6lnx,其中 aR,曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处 的切线与 y 轴相交于点(0,6) (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值 20 (12 分)某射手每次射击击中目标的概率均为,且各次射击的结果互不影响 ()假设这名射手射击 3 次,求至少 1 次击中目标的概率; ()假设这名射手射击 3 次,每次击中目标得 10 分,未击中目标得 0 分在 3 次射击 中,若有
7、 2 次连续击中目标,而另外 1 次未击中目标,则额外加 5 分;若 3 次全部击中, 则额外加 10 分 用随机变量 表示射手射击 3 次后的总得分, 求 的分布列和数学期望 21 (12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总 公司缴纳 a 元(a 为常数,2a5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品 的售价为 x 元时,产品一年的销售量为(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品 的售价为 40 元时,该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元 (1)求分公司经营该产品一年的
8、利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的 最大值 第 4 页(共 19 页) 参考公式: (cax+b)aeax+b(a、b 为常数) 22 (12 分)已知函数 f(x)ln(x1)k(x1)+1(kR) , ()求函数 f(x)的单调区间; ()若 f(x)0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; ()证明:+(nN,n1) 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年河南省郑州一中高二(下)期中数学试卷(理科)学年河南省郑州一中高二(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参
9、考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)用反证法证明命题: “已知 a、bN+,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( ) Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 【分析】反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立, 由此得出此命题是成立的 【解答】解
10、:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其 否定成立进行推证 命题“a,bN,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除 ”的否定是“a, b 都不能被 5 整除” 故选:B 【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用,用反证法证明问题大大拓展了解决证明 问题的技巧 2 (5 分)若复数 z 满足 iz2+4i,i 为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( ) A (4,2) B (4,2) C (2,4) D (2,4) 【分析】由题意可得 z,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i,从 而求得 z 对应的点的坐标 【解答】解
11、:复数 z 满足 iz2+4i,则有 z42i, 故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,2) , 故选:B 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与 复平面内对应点之间的关系,属于基础题 3 (5 分)曲线 yxex 1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A2e Be C2 D1 第 6 页(共 19 页) 【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率 【解答】解:函数的导数为 f(x)ex 1+xex1(1+x)ex1, 当 x1 时,f(1)2, 即曲线 yxex 1 在点(1,1)处切线的斜率 kf(1)2, 故选:C 【点
12、评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基 础 4(5 分) 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r, 则, 类比这个结论可知:四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 SABC 的体积为 V,则 R( ) A B C D 【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平 面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积 的方法类比求四面体的体积即可 【解答】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个
13、面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 R 故选:C 【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比 第 7 页(共 19 页) 迁移到另一类数学对象上去一般步骤:找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) 5 (5 分)在的展开式中,含项的系数为( ) A60 B160 C60 D64 【分析】 写出二项展开式的通项, 然后取 x 的指数为1 求得 r 值, 则含项的系数可求 【解答】解:, 由 3r1,可得 r4 含项的
14、系数为60 故选:C 【点评】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题 6 (5 分)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选 择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 【分析】根据题意,用间接法:先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再排除甲工厂 无人去的情况,由分步计数原理可得其方案数目,由事件之间的关系,计算可得答案 【解答】解:根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有 4 种选择,共有 44464 种情况, 其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有
15、 3 种选择, 共有 33327 种方案; 则符合条件的有 642737 种, 故选:C 【点评】本题考查计数原理的运用,本题易错的方法是:甲工厂先派一个班去,有 3 种 选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共有 34448 种方案;显然这种方法 中有重复的计算;解题时特别要注意 7 (5 分)已知 i 为虚数单位,aR,若为纯虚数,则复数的模等于( ) A B C D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a,然后利 用复数模的计算公式求解 第 8 页(共 19 页) 【解答】解:为纯虚数, ,即 a , 则|z| 故选:D 【点评】本题
16、考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的请求法, 是基础题 8 (5 分)停车场划出一排 9 个停车位置,今有 5 辆不同的车需要停放,若要求剩余的 4 个 空车位连在一起,则不同的停车方法有( ) A种 B种 C种 D种 【分析】有 6 辆汽车需要停放,若要使 4 个空位连在一起则可以把 4 个空车位看成是一 个元素,这个元素与另外 5 辆车共有 6 个元素进行全排列,写出排列数,得到结果 【解答】解:由题意知有 5 辆汽车需要停放,若要使 4 个空位连在一起 则可以把 4 个空车位看成是一个元素, 这个元素与另外 5 辆车共有 6 个元素进行全排列,共有 A66种结果, 故
17、选:D 【点评】本题考查排列组合的实际应用,解题的关键是四个相连的车位看做一个元素, 再同其他的车进行全排列,车是有区别的 9 (5 分)已知曲线 y1x2,x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S,曲线 y1 x2,曲线 y3x2与 y 轴所围成的图形面积为 S1,则的值为( ) 第 9 页(共 19 页) A B C D 【分析】计算出两曲线的交点坐标,对 x 积分即可 【解答】 解:由 y1x2 ,及 y3x2 ,联立得交点坐标为(,) 故阴影面积为(x)| 故选:A 【点评】本题考查了定积分的计算,属于基础题 10 (5 分)函数 f(x)+ax22x+1 在 x(1,2)内存
18、在极值点,则( ) A Ba或 a C Da或 a 【分析】求出函数的导数,问题转化为 a+,求出函数 y+在(1,2)的 值域,从而求出 a 的范围即可 【解答】解:由题意得:f(x)x2+2ax2 在(1,2)内存在变号零点, 分离参数 a+, y+在(1,2)内连续且单调递减, 值域是(,) , 故 ya 和 y+有变号交点的范围是(,) , 故选:C 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题 第 10 页(共 19 页) 11 (5 分)在二项式(+)n的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,把展开 式中所有的项重新排成一列,则有理项不相邻的概率为(
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