2018-2019学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（文科）含详细解答

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1、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ac3，且 a3bsinA，则 ABC 的面积等于（ ） A B C1 D 5 （5 分）某工厂第一年年产量为 A，第二年的年增长率为 a，第三年的年增长率为 b，这 两年的平均增长率为 x，则（ ） Ax B C D 6 （5 分）若不等式 x2+ax+10 对于一切 x（0，恒成立，则 a 的最小值是（ ） A0 B2 C D3 7 （5 分）x，y 满足约束条件，若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 实数 a 的值为（ ） A或1 B2 或 C2 或1 D2 或 1 8 （5 分） 等比数列an前 n 项的积为 Tn， 若 a

2、3a6a18是一个确定的常数， 那么数列 T10， T13， T17，T25中也是常数的项是（ ） AT10 BT13 CT17 DT25 9 （5 分）已知关于 x 的不等式 ax2x+b0 的解集为2，1，则关于 x 的不等式 bx2x+a 0 的解集为（ ） 第 2 页（共 17 页） A1，2 B1， C，1 D1， 10 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭 圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ） A B C D 11 （5 分） 已知数列an满足： an若对于任意 nN*都有 anan+1， 则实数 b

3、 的取值范围（ ） A （，1） B （0，） C （0，） D （） 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2a+b，若ABC 的面积为 Sc，则 ab 的最小值为（ ） A56 B48 C36 D28 二二.填空题：填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知数列 1，的一个通项公式是 an 14 （5 分）一蜘蛛沿正北方向爬行 xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10cm 捕 捉到另一只小虫，这时它向右转 135爬行回它的出发点，那么 x cm 15 （5 分）已知双

4、曲线的焦点为 F1，F2，点 M 在双曲线上，且， 则点 M 到 x 轴的距离为 16 （5 分）设正数 x，y 满足+a恒成立，则 a 的最小值是 三三.解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答时写出分，解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤必要文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 已知命题 P： m1， 1不等式 a25a3， 命题 q： x0R， x02+2ax0+2 a0，使 pq 是真命题，q 是真命题，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知an，是递增的等差数列，a2，a4是方程 x26x+80 的根 （）求an的通项公式； 第 3

5、页（共 17 页） （）求数列的前 n 项和 19 （12 分）郑州一中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价 0.55 元、乙每份售价 0.40 元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物 A、B、C，其中食品甲每份含 A、B、C 分别为 10、3、4 毫克，食品乙每份含 A、B、C 分别为 2、3、9 毫克，而营养师认为学 生每餐至少需此三种营养物 A、B、C 分别为 20、18、36 毫克问一学生进餐应对甲、 乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？ 20 （12 分）已知函数 f（x）lg（a21）x2+（a+1）x+1 （1）若 f（x）的定义域为 R，求实数 a 的取值范

6、围； （2）若 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，abtanA，且 B 为钝角 （）证明：BA； （）求 sinA+sinC 的取值范围 22 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，F 是 椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点 （）求 E 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（文科）学年河南省郑州一中高二

7、（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每一题小题，每一题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分） “x0”是“”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】|x|0x0x0 或 x0，由此给合充要条件的定义，可判断出 “x0”是“”的充分不必要条件 【解答】解：当“x0”时，成立， 故“x0”是“”的充分条件， 当“”时，x0，此时“x0”不一定成立 故“x0”是“”的不必要条件 综上“x0”是“”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查的知识点是充要条件的

8、判断，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是 解答的关键 2 （5 分） 若ABC 的三边长 a， b， c 满足 （a+bc） （a+b+c） ab， 则角 C 的大小是 （ ） A60 B90 C120 D150 【分析】首先将已知的式子进行化简得出 a2+b2c2ab，然后利用余弦定理求出 C 的 大小 【解答】解：（a+bc） （a+b+c）ab （a+b）2c2ab 即 a2+b2c2ab 根据余弦定理可知 cosC C120 故选：C 第 5 页（共 17 页） 【点评】本题考查了余弦定理的运用，解题的关键是利用平方差公式将所给式子进行化 简，属于基础题 3 （5 分）椭圆1（mn0）

9、的焦点坐标是（ ） A （0，） B （，0） C （0，） D （，0） 【分析】判断椭圆的焦点坐标的位置，然后求解即可 【解答】解：椭圆1（mn0）的焦点坐标是（，0） 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ac3，且 a3bsinA，则 ABC 的面积等于（ ） A B C1 D 【分析】根据正弦定理，由 a3bsinA 算出 sinB，再利用三角形的面积公式，可得 S acsinB 【解答】解：在ABC 中，a3bsinA， 根据正弦定理，得 sinA3sinBsinA， 结合 sinA

10、为正数，化简得 sinB 因此ABC 的面积 SacsinB3 故选：A 【点评】本题给出三角形的边角关系，求三角形的面积着重考查了利用正弦定理解三 角形与三角形的面积计算等知识，属于中档题 5 （5 分）某工厂第一年年产量为 A，第二年的年增长率为 a，第三年的年增长率为 b，这 两年的平均增长率为 x，则（ ） Ax B C D 【分析】先利用条件找到方程（1+a） （1+b）（1+x）2然后利用基本不等式求可得到 答案 【解答】解：由题得 A（1+a） （1+b）A（1+x）2（1+a） （1+b）（1+x）2 第 6 页（共 17 页） 又（1+a） （1+b） 1+x1+x 故选：B

11、 【点评】本题考查数列的综合应用以及基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解 答，避免错误 6 （5 分）若不等式 x2+ax+10 对于一切 x（0，恒成立，则 a 的最小值是（ ） A0 B2 C D3 【分析】由题意可得ax+对于一切 x（0，恒成立运用函数的导数判断右边的 单调性，求得最小值，令m 不大于最小值即可 【解答】解：不等式 x2+ax+10 对于一切 x（0，恒成立， 即有ax+对于一切 x（0，恒成立 由于 yx+的导数为 y1，当 0x1 时，y0，函数 y 递减 则当 x时，y 取得最小值且为， 则有a，解得 a 则 a 的最小值为 故选：C 【点评】本题考查不等式

12、的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属 于中档题和易错题 7 （5 分）x，y 满足约束条件，若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 实数 a 的值为（ ） A或1 B2 或 C2 或1 D2 或 1 【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将 zyax 化为 yax+z，z 相当于直线 y ax+z 的纵截距，由几何意义可得 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域， 将 zyax 化为 yax+z，z 相当于直线 yax+z 的纵截距， 由题意可得，yax+z 与 y2x+2 或与 y2x 平行， 故 a2 或1； 故选：C 【点评】本题考查了

13、简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题 的关键之一，属于中档题 8 （5 分） 等比数列an前 n 项的积为 Tn， 若 a3a6a18是一个确定的常数， 那么数列 T10， T13， T17，T25中也是常数的项是（ ） AT10 BT13 CT17 DT25 【分析】利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简 a3a6a12 a73 是一个确 定的常数，列举出 T13的各项，利用 等比数列的性质得到 T13 a713，即可得到 T13为常数 【解答】解：由 a3a6a18a1q2a1q5a1 q17（a1 q8）3 为常数，所以 a9为常数， 则 T17a1a2a1

14、7 （a1a17） （a2a16） （a3a15） （a4a14） （a5 a13） （a6a12） （ a7a11） （a8a10） a9， 为常数 故选：C 第 8 页（共 17 页） 【点评】此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，要求学生掌握等比 数列的性质，是一道中档题 9 （5 分）已知关于 x 的不等式 ax2x+b0 的解集为2，1，则关于 x 的不等式 bx2x+a 0 的解集为（ ） A1，2 B1， C，1 D1， 【分析】由已知得2，1 是关于 x 的方程 ax2x+b0 的两个根，从而求出 a1，b 2，由此能求出关于 x 的不等式 bx2x+a0 的解集

15、 【解答】解：关于 x 的不等式 ax2x+b0 的解集为2，1， 2，1 是关于 x 的方程 ax2x+b0 的两个根， ，解得 a1，b2， 关于 x 的不等式 bx2x+a0 即 2x2x10， 解方程 2x2x10，得 x1，x21， 关于 x 的不等式 bx2x+a0 的解集为x|，即，1 故选：C 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二 次不等式的性质的合理运用 10 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭 圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ） A B C D 【分

16、析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，利用“点差法”可 第 9 页（共 17 页） 得利用中点坐标公式可得 x1+x22，y1+y22，利用 斜率计算公式可得 于是得到， 化为 a22b2， 再利用 c3，即可解得 a2，b2进而得到椭圆的方程 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 代入椭圆方程得， 相减得， x1+x22，y1+y22， ， 化为 a22b2，又 c3，解得 a218，b29 椭圆 E 的方程为 故选：D 【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键 11 （5 分） 已知数列an满足： an若对于任意 n

17、N*都有 anan+1， 则实数 b 的取值范围（ ） A （，1） B （0，） C （0，） D （） 【分析】对于任意的 nN*都有 anan+1，可知：数列an单调递减，可得 0b1再 分类讨论即可得出 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：对于任意的 nN*都有 anan+1，数列an单调递减，可知 0b1 当b1 时，n8，an（b）n+2 单调递减，而（n8）单调递减， （b）9+2b8 7，解得 b ，因此b1 当 0b时，n8，an（b）n+2 单调递增，应舍去 综上可知：实数 b 的取值范围是b1 故选：A 【点评】本题考查数列递推式，熟练掌握一次函数和指数函数的单调性

18、是解题的关键， 是中档题 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2a+b，若ABC 的面积为 Sc，则 ab 的最小值为（ ） A56 B48 C36 D28 【分析】由正弦定理将 2ccosB2a+b，转化成 2sinCcosB2sin A+sinB，由三角形内角 和定理，将 sin Asin（B+C） ，利用两角和的正弦公式展开，化简求得 sinC 的值，由余 弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得 ab 的最小值 【解答】解：由正弦定理，有2R，又 2ccosB2a+b， 可得：2sinCcosB2sinA+sinB， 由 A+B

19、+C，得 sin Asin（B+C） ， 则 2sinCcosB2sin（B+C）+sinB，即 2sinBcosC+sinB0， 又 0B，sinB0，得 cosC， 因为 0C，得 C， 则ABC 的面积为 SabsinCabc，即 cab， 由余弦定理，得 c2a2+b22ab cosC，化简，得 a2+b2+aba2b2， 由于：a2+b22ab，当仅当 ab 时取等号， 可得：2ab+aba2b2，即 ab48，故 ab 的最小值是 48 故选：B 【点评】本题考查正、余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式在解三角形中的综合 第 11 页（共 17 页） 应用，考查了计算能力和转化思

20、想，属于中档题 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知数列 1，的一个通项公式是 an 【分析】数列 1，的分母是相应项数的平方，分子组成以 1 为首项，2 为公差的等差数列，由此可得结论 【解答】解：数列 1，的分母是相应项序号的平方，分子组成以 1 为 首项，2 为公差的等差数列 数列 1，的一个通项公式是 an 故答案为： 【点评】本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 14 （5 分）一蜘蛛沿正北方向爬行 xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10cm 捕 捉到另一只小虫，

21、这时它向右转 135爬行回它的出发点，那么 x cm 【分析】先画出简图，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案 【解答】解：由题意可得简图如下 可知BAC75，ACB45，B60， 根据正弦定理可得：， x， 故答案为： 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，关键在于能够画出简图属基础题 第 12 页（共 17 页） 15 （5 分）已知双曲线的焦点为 F1，F2，点 M 在双曲线上，且， 则点 M 到 x 轴的距离为 【分析】先根据双曲线的定义和直角三角形勾股定理计算焦半径之积，再利用等面积法 计算点 M 到 x 轴的距离即可 【解答】解：点 M 在双曲线上，|2a2，|2c2 又，MF1F2

22、为直角三角形， 12，4 设点 M 到 x 轴的距离为 d， ，MF1MF2，|MF1|MF2|F1F2|d d 故答案为 【点评】本题考查了双曲线的定义及几何意义，特别是焦点三角形问题，解题时要善于 总结此类问题的常用解法，提高解题速度 16 （5 分）设正数 x，y 满足+a恒成立，则 a 的最小值是 【分析】先用分离参数法将问题等价为：amax，再用基本不等式 ，求该式的最大值 【解答】解：因为 x，y 都为正数，且+a恒成立， 分离参数 a 得，a， 所以，amax， 根据基本不等式：得， +， 所以， 所以，max，因此，a， 第 13 页（共 17 页） 故答案为： 【点评】本题主

23、要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，运用分离参数法，属于中 档题 三三.解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤分，解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 已知命题 P： m1， 1不等式 a25a3， 命题 q： x0R， x02+2ax0+2 a0，使 pq 是真命题，q 是真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 由 m 的范围得到， 由 p 为真命题得到 a25a33， 求得 a 的范围， 再由判别式大于 0 求得 q 为真命题的 a 的范围，结合复合命题的真假判断求解 【解答】解： ：m1，1，

24、有， 若 p 为真命题，则 a25a33，即 a6 或 a1； 若 q 为真命题，则（2a）24（2a）0，解得 a2 或 a1 由 pq 是真命题，q 是真命题，得 p 真 q 假 则，2a1 故实数 a 的取值范围是2，1 【点评】本题考查复合命题及其真假，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是 基础题 18 （12 分）已知an，是递增的等差数列，a2，a4是方程 x26x+80 的根 （）求an的通项公式； （）求数列的前 n 项和 【分析】 （）由题意列式求出 a2，a4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差 数列的通项公式得答案； （）把等差数列的通项公式代入数列，然后由

25、错位相减法求其和 【解答】解： （）在递增等差数列an中， a2，a4是方程 x26x+80 的根，则 ，解得 第 14 页（共 17 页） d ana2+（n2）d2+n2n； （）， 的前 n 项和： ， ， 得： 1+ 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题 19 （12 分）郑州一中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价 0.55 元、乙每份售价 0.40 元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物 A、B、C，其中食品甲每份含 A、B、C 分别为 10、3、4 毫克，食品乙每份含 A、B、C 分别为 2、3、9 毫克，而营养师认为学 生每餐至少需此

26、三种营养物 A、B、C 分别为 20、18、36 毫克问一学生进餐应对甲、 乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？ 【分析】利用已知条件列出约束条件的可行域，表示出花费的表达式，利用线性规划的 知识求解即可 【解答】解：设买甲食品 x 份，乙食品 y 份，由题意可得 x，y 满足， 花费 z0.55x+0.4y，z 在 B（1，5）处值最小， 此时花费 z0.55+0.452.55 所以学生进餐应对甲、乙食品各买 1 份 5 份花费 2.55 元，能保证足够的营养要求，又花 钱最少 第 15 页（共 17 页） 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力 20 （

27、12 分）已知函数 f（x）lg（a21）x2+（a+1）x+1 （1）若 f（x）的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）因为 f（x）的定义域为 R，所以对数的真数一定大于 0 恒成立，讨论二次 项系数为 0 不成立，系数不为 0 时，得到系数大于 0 且根的判别式小于 0 求出 a 的范围 即可； （2）因为函数值域为 R，讨论二次项系数为 0 时，不成立，系数不为 0 时，让系数大于 0 且根的判别式大于等于 0 求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）的定义域为 R（a21）x2+（a+1）x+10

28、恒成立 当 a210 时，得 a1，a1 不成立 当 a210 时，解得或 a1 综上得或 a1 （2）当 a210 时，得 a1，a1 不成立 当 a210 时，解得 综上得 【点评】考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力 21 （12 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，abtanA，且 B 为钝角 第 16 页（共 17 页） （）证明：BA； （）求 sinA+sinC 的取值范围 【分析】 （）由题意和正弦定理可得 sinBcosA，由角的范围和诱导公式可得； （）由题意可得 A（0，） ，可得 0sinA，化简可得 sinA+s

29、inC2（sinA ）2+，由二次函数区间的最值可得 【解答】解： （）由 abtanA 和正弦定理可得， sinBcosA，即 sinBsin（+A） 又 B 为钝角，+A（，） ， B+A，BA； （）由（）知 C（A+B）（A+A）2A0， A（0，） ，sinA+sinCsinA+sin（2A） sinA+cos2AsinA+12sin2A 2（sinA）2+， A（0，） ，0sinA， 由二次函数可知2（sinA）2+ sinA+sinC 的取值范围为（， 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础 题 22 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭

30、圆 E：+1（ab0）的离心率为，F 是 椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点 （）求 E 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 【分析】 （）通过离心率得到 a、c 关系，通过 A 求出 a，即可求 E 的方程； 第 17 页（共 17 页） （）设直线 l：ykx2，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）将 ykx2 代入， 利用0，求出 k 的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ 的面积表达式，利 用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程 【解答】解： （） 设 F（c，0） ，由条件知，得， 所以 a2b2a2c21，故 E 的方程 （5 分） （）依题意当 lx 轴不合题意，故设直线 l：ykx2，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 将 ykx2 代入，得（1+4k2）x216kx+120， 当16（4k23）0，即时， 从而 又点 O 到直线 PQ 的距离，所以OPQ 的面积 ， 设，则 t0， 当且仅当 t2，k等号成立，且满足0， 所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为：yx2 或 yx2（12 分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考 查转化思想以及计算能力