2018-2019学年河南省郑州一中高二(上)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、已知 a0,1b2,则下列不等式成立的是( ) Aaab2ab Baab2a Caba2a Da2aab 2 (5 分)已知抛物线 x2y,则它的准线方程为( ) A B C D 3 (5 分)已知数列an满足 an+1(nN*) ,且 a11,则 a21( ) A13 B14 C15 D16 4 (5 分)下列有关命题的说法正确的是( ) A命题“若 x21,则 x1”的否命题为: “若 x21,则 x1” B命题“若 xy,则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 C命题“存在 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10” D “x1”是“x25x60”的
2、必要不充分条件 5 (5 分)焦点在 y 轴上,焦距等于 4,离心率等于的椭圆的标准方程是( ) A B C D 6 (5 分)已知数列an满足 an+1(nN*) ,a82,则 a1( ) A B C D 7 (5 分)在ABC 中,A60,b1,则( ) A B C D 8 (5 分)实系数一元二次方程 x2+ax+2b0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2) 上,则的取值范围是( ) A1,3 B (1,3) C D 第 2 页(共 20 页) 9 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 3Sn2an3n,则 a2018( ) A220181 B320186 C ()2
3、018 D ()2018 10 (5 分)若两个正实数 x,y 满足+1,且不等式 x+m23m 有解,则实数 m 的 取值范围( ) A (1,4) B (,1)(4,+) C (4,1) D (,0)(3,+) 11 (5 分)已知 F 是抛物线 C1:y22px(p0)的焦点,曲线 C2是以 F 为圆心,以为 半径的圆,直线 4x3y2p0 与曲线 C1,C2从上到下依次相交于点 A,B,C,D,则 |( ) A16 B4 C D 12 (5 分)设 alog0.20.3,blog20.3,则( ) Aa+bab0 Baba+b0 Ca+b0ab Dab0a+b 二、填空题:本大题共二、
4、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13(5分) 设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z2xy的最小值为 14 (5 分)在钝角三角形 ABC 中,AB3,BC,A30,则ABC 的面积为 15 (5 分) 若an为等比数列, an0, 且 a2018, 则的最小值为 16 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 向双曲线的 一条渐近线引垂线,垂足为 M,交另一条渐近线于点 N,若 73,则双曲线的离 心率为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分
5、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知条件 p:x24ax+3a20(a0) ;条件 q:x2+2x80若p 是q 的 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)已知ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2cosC(acosC+ccosA)+b 0 第 3 页(共 20 页) (1)求角 C 的大小; (2)若 b2,求ABC 的面积 19 (12 分)已知数列an满足 a11,且 2nan+12(n+1)anm(n+1) (nN*) ()求数列an的通项公式; ()若 bn,求数列bn的前 n 项和 Sn 20 (12 分)为了在夏季降
6、温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C (x)(0x10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 ()求 k 的值及 f(x)的表达式 ()隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值 21 (12 分)已知数列an满足(32n1) , (nN*) ()求数列an的通项公式; ()若 bnlog3,求证: 22 (12 分) 已知圆
7、的圆心为 M, 点 P 是圆 M 上的动点, 点, 点 G 在线段 MP 上,且满足 (1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(4,0)作斜率不为 0 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于 A,B 两点,点 A 关 于 x 轴的对称点为 D,连接 BD 交 x 轴于点 Q,求ABQ 面积的最大值 第 4 页(共 20 页) 2018-2019 学年河南省郑州一中高二(上)期中数学试卷(理科)学年河南省郑州一中高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在
8、每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知 a0,1b2,则下列不等式成立的是( ) Aaab2ab Baab2a Caba2a Da2aab 【分析】根据不等式的乘法性质进行判断即可 【解答】解:a0,1b2 aab2a, 故选:B 【点评】本题主要考查不等式的性质及其应用,结合不等式的乘法性质是解决本题的关 键 2 (5 分)已知抛物线 x2y,则它的准线方程为( ) A B C D 【分析】根据抛物线方程求得 p,判断焦点在 y 轴,进而根据抛物线的性质可求得准线方 程 【解答】解:由抛物线方程可知 p,焦
9、点在 y 轴 准线方程为 y 故选:D 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质属基础题 3 (5 分)已知数列an满足 an+1(nN*) ,且 a11,则 a21( ) A13 B14 C15 D16 【分析】由数列递推式可得数列an是公差为的等差数列,再由等差数列的通项公式 求解 【解答】解:由 an+1,得, 则数列an是公差为的等差数列, 第 5 页(共 20 页) 又 a11,a21 故选:D 【点评】本题考查数列递推式,考查等差关系的确定,是基础题 4 (5 分)下列有关命题的说法正确的是( ) A命题“若 x21,则 x1”的否命题为: “若 x21,则 x1” B命题“若 xy
10、,则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 C命题“存在 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10” D “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 【分析】命题的否命题需即否定题设,又否定结论,故排除 A;原命题和其逆否命题互 为等价命题,同真假,故只需判断原命题的真假即可;特称命题的否定是全称命题,排 除 C;解方程 x25x60,即可发现此结论为充分不必要条件,排除 D 【解答】解:命题“若 x21,则 x1”的否命题为“若 x21,则 x1” ,故排除 A; 命题“若 xy,则 sinxsiny”为真命题,故其逆否命题为真命题,B 正确; 命题“存在
11、 xR,使得 x2+x+10”的否定是: “对任意 xR,均有 x2+x+10” ,故排除 C; “x25x60”“x1 或 x6” ,“x1”是“x25x60”的充分不必 要条件,排除 D 故选:B 【点评】本题主要考查了四种命题的转化,等价命题法判断命题的真假,全称命题与特 称命题的关系及其否定,命题的充分必要性的定义及其判断方法 5 (5 分)焦点在 y 轴上,焦距等于 4,离心率等于的椭圆的标准方程是( ) A B C D 【分析】求出椭圆的几何量,a,b 即可求出椭圆的标准方程 【解答】解:焦点在 y 轴上,焦距等于 4,离心率等于,可得 c2,a2,b2, 所求的椭圆方程为: 第
12、6 页(共 20 页) 故选:C 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,考查计算能力 6 (5 分)已知数列an满足 an+1(nN*) ,a82,则 a1( ) A B C D 【分析】由已知分别求解 a7,a6,a5,可得数列的周期性,则答案可求 【解答】解:由 an+1(nN*) ,得, 又 a82, , , , 数列an是以 3 为周期的周期数列,则 故选:D 【点评】本题考查数列的函数特性,考查数列的周期性,是基础题 7 (5 分)在ABC 中,A60,b1,则( ) A B C D 【分析】由三角形的面积公式求出 c 的值,再由余弦定理求出 a 的值,由正弦定理求出 的值 【解答】
13、解:ABC 中,A60,b1, bcsinA1csin60, 解得 c4; a2b2+c22bccosA12+42214cos6013, a; 故选:B 【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦、正弦定理的应用问题,是基础题 第 7 页(共 20 页) 8 (5 分)实系数一元二次方程 x2+ax+2b0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2) 上,则的取值范围是( ) A1,3 B (1,3) C D 【分析】设 f(x)x2+ax+2b,根据二次函数的性质与零点存在性定理可得 f(0)0、 f(1)0 且 f(2)0由此建立关于 a、b 的二元一次不等式组,设点 E(a,b)为区
14、域内的任意一点,根据直线的斜率公式可得 k表示 D(1,3) 、E 连线的斜率,将 点 E 在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化,即可算出 k的取值范围 【解答】解: (1)设 f(x)x2+ax+2b, 方程 x2+ax+2b0 的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内, 可得,即 作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域, 得到ABC 及其内部,即如图所示的阴影部分(不含边界) 其中 A(3,1) ,B(2,0) ,C(1,0) , 设点 E(a,b)为区域内的任意一点, 则 k,表示点 E(a,b)与点 D(1,3)连线的斜率 kAD,kCD,结合图形可知:kA
15、DkCD, 的取值范围是(,) ; 故选:D 【点评】本题给出含有参数 a、b 的一元二次方程满足的条件,求参数 a、b 满足的不等 式组,并依此求关于 a、b 式子的取值范围着重考查了二次函数的性质、零点存在性定 第 8 页(共 20 页) 理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识, 属于中档题 9 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 3Sn2an3n,则 a2018( ) A220181 B320186 C ()2018 D ()2018 【分析】推导出 a1S1(2a13) ,从而 a13,由 Sn(2an3n) ,得当 n2 时,Sn1(
16、2an13n+3) ,从而推导出an+1是以2 为首项,以2 为公比的等比 数列,由此能求出 a2018的值 【解答】解:数列an的前 n 项和为 Sn,3Sn2an3n, a1S1(2a13) , 解得 a13, Sn(2an3n) , 当 n2 时,Sn1(2an13n+3) , ,得 an1, an2an13,2, a1+12, an+1是以2 为首项,以2 为公比的等比数列, , a2018(2)20181220181 故选:A 【点评】本题考查数列的第 2018 项的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题 设中的隐含条件,合理地进行等价转化 10 (5 分)若两个正实数 x,y
17、 满足+1,且不等式 x+m23m 有解,则实数 m 的 取值范围( ) A (1,4) B (,1)(4,+) C (4,1) D (,0)(3,+) 第 9 页(共 20 页) 【分析】将不等式有解,转化为求(x+)minm23m,利用“1”的 代换的思想进行构造,运用基本不等式求解最值,最后解出关于 m 的一元二次不等式的 解集即可得到答案 【解答】解:不等式有解, (x+)minm23m, x0,y0,且, x+(x+) ()+24, 当且仅当,即 x2,y8 时取“” , (x+)min4, 故 m23m4,即(m+1) (m4)0, 解得 m1 或 m4, 实数 m 的取值范围是(
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