2018-2019学年河南省郑州一中高二（上）入学数学试卷（含详细解答）

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1、函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为 ，若其图象向左 平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点（，0）对称 B关于点（，0）对称 C关于直线 x对称 D关于直线 x对称 4 （5 分）满足条件 a4，b5，A45的ABC 的个数是（ ） A1 B2 C无数个 D不存在 5 （5 分）已知向量 （cos，sin） ，向量 （，1） ，则|2 |的最大值与最小值 的和是（ ） A4 B6 C4 D16 6 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a，c2，cosA， 则 b（ ） A B C2 D3 7 （5 分）在ABC

2、 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且其面积 S， 则角 C 的度数为（ ） A B C D 8 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2a2+bc，若 sinBsinC sin2A，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 第 2 页（共 20 页） C等边三角形 D等腰直角三角形 9 （5 分）已知 tan（+），tan（），则 tan（+）的值等于（ ） A B C D 10 （5 分）化简 tan10tan20+tan20tan60+tan60tan10的值等于（ ） A1 B2 Ctan10 Dtan20 11 （5

3、分）设 0，不等式 8x2（8sina）x+cos2a0 对 xR 恒成立，则 a 的取值范 围为（ ） A0， B C0， D 12 （5 分）定义向量一种运算“”如下：对任意的 （m，n） ， （p，q） ，令 mqnp，下面错误的是（ ） A若 与 共线，则 0 B （ ）2+（）2| |2| |2 C对任意的 R，有（） （ ） D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，O 是两对角线 AC，BD 的交点，设点集 SA，B，C， D， O， 向量集合 T|M， NS， 且 M，

4、N 不重合， 则集合 T 中元素的个数为 14 （5 分）利用随机模拟方法计算 yx2与 y4 围成的面积时，先利用计算器产生两组0， 1区间上的均匀随机数 alRAND，b1RAND，然后进行平移与伸缩变换 a4a12，b 4b1试验进行了 100 次，前 98 次中，落在所求面积区域内的样本点数为 65，已知最 后两次试验的随机数为（0.3，0.08） ， （0.4，0.3） ，那么本次模拟得到的面积的近似值为 （保留小数点后两位） 15 （5 分）已知|3，|4，与的夹角为 60，则与的夹角余弦值 为 16 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a2，

5、c3，且满足 第 3 页（共 20 页） （2ac） cosBbcosC，则 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17化简（1）； （2）（2） 18若点（p，q） ，在|p|3，|q|3 中按均匀分布出现 （1）点 M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐 标，则点 M（x，y）落在上述区域的概率？ （2）试求方程 x2+2pxq2+10 有两个实数根的概率 19某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 60 名

6、学生，将其成绩（均为整数）分成六段40，50） ，50，60） ，90，100后画出 如下部分频率分布直方图观察图形给出的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分； （3）从成绩是40，50）和90，100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 20在ABC 中，向量 （2cosB，1） ，向量 （2cos2（） ，1+sin2B） ，且满足 | （1）求角 B 的大小； （2）求 sin2A+sin2C 的取值范围及 sinAsinC 的最大值 21ABC 中，角 A，B，C 所对边分别是 a，b，

7、c 且 cosA （1）求 cos2+cos2A 的值； （2）若 a，求ABC 面积的最大值 第 4 页（共 20 页） 22如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， AC 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米） ，在两条公路 AB，AC 上分别 设立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM2 千米，AN2 千米 （1）求线段 MN 的长度； （2）若MPN60，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年河南省郑州一中高二（上）入学数

8、学试卷学年河南省郑州一中高二（上）入学数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 x1，x2，xn的平均数为 10，标准差为 2，则 2x11，2x21，2xn 1 的平均数和标准差分别为（ ） A19 和 2 B19 和 3 C19 和 4 D19 和 8 【分析】利用平均数及标准差的性质直接求解 【解答】解：x1，x2，xn的平均数为 10，标准差为 2， 2

9、x11，2x21，2xn1 的平均数为：210119， 标准差为：4 故选：C 【点评】本题考查平均数和标准差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、考查整 体思想、转化化归思想，是基础题 2 （5 分）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ） A B C D 【分析】所有的选法共有 C6215 种，这两条棱是一对异面直线的选法有 3 种，即三棱 锥的 3 对对棱，由古典概型公式可得所求事件的概率 【解答】解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有 C6215 种， 其中，这两条棱是一对异面直线的选法有 3 种，即三棱锥的 3 对对棱， 故所求事件的概率等

10、于 ， 故选：C 【点评】本题考查等可能事件的概率的求法，判断这两条棱是一对异面直线的有 3 种， 即三棱锥的 3 对对棱，是解题的关键 3 （5 分）函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为 ，若其图象向左 平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） 第 6 页（共 20 页） A关于点（，0）对称 B关于点（，0）对称 C关于直线 x对称 D关于直线 x对称 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出 结论 【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为， 2 若其图象向左平移个单位后得到的函数为 y

11、sin2（x+）+sin（2x+） ， 再根据 ysin（2x+）为奇函数，+k，kZ，即 k，可取 故 f（x）sin（2x） 当 x时，f（x）0，且 f（x） 不是最值， 故 f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线 x对称，故排除 A、D； 当 x时，f（x）sin（）1，是函数的最小值， 故 f（x）的图象不关于点（，0）对称，但关于直线 x对称， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 4 （5 分）满足条件 a4，b5，A45的ABC 的个数是（ ） A1 B2 C无数个 D不存在 【分析】 由已知， 利

12、用正弦定理可求 sinB1， 从而可得满足此条件的三角形不存在 【解答】解：a4，b5，A45， 由正弦定理可得：sinB1，不成立 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于 基础题 第 7 页（共 20 页） 5 （5 分）已知向量 （cos，sin） ，向量 （，1） ，则|2 |的最大值与最小值 的和是（ ） A4 B6 C4 D16 【分析】 利用向量的坐标运算可求得 2 （2cos， 2sin+1） ， 从而可求得|2 |及其最大值与最小值的和 【解答】解：向量 （cos，sin） ，向量 （，1） ， 2 （2cos，2sin+1） ，

13、 +（2sin+1）2 4cos24cos+3+4sin2+4sin+1 4sin4cos+8 8sin（）+8， 当 sin（）1 时，取得最小值 0，|2 |取得最小值 0； 当 sin（）1 时，取得最大值 16，|2 |取得最大值 4； |2 |的最大值与最小值的和是 4 故选：C 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，着重考查两角和与差的正弦，突出考查正弦函 数的最值，属于中档题 6 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a，c2，cosA， 则 b（ ） A B C2 D3 【分析】由余弦定理可得 cosA，利用已知整理可得 3b28b30，从而 解得

14、b 的值 【解答】解：a，c2，cosA， 由余弦定理可得：cosA，整理可得：3b28b30， 第 8 页（共 20 页） 解得：b3 或（舍去） 故选：D 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题 7 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且其面积 S， 则角 C 的度数为（ ） A B C D 【分析】由条件利用余弦定理、正弦定理求得 tanC，可得角 C 的值 【解答】解：ABC 中，其面积 SabsinC， 求得 tanC， 则角 C 故选：A 【点评】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用

15、，属于基础题 8 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2a2+bc，若 sinBsinC sin2A，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【分析】 b2+c2a2+bc， 利用余弦定理可得 cosA， 可得 由 sin Bsin Csin2A， 利正弦定理可得：bca2，代入 b2+c2a2+bc，可得 bc 【解答】解：在ABC 中，b2+c2a2+bc，cosA， A（0，） ， sin Bsin Csin2A， bca2， 代入 b2+c2a2+bc，（bc）20，解得 bc ABC 的形状是等

16、边三角形 第 9 页（共 20 页） 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 9 （5 分）已知 tan（+），tan（），则 tan（+）的值等于（ ） A B C D 【分析】由于 +（+）（） ，利用两角差的正切即可求得答案 【解答】解：tan（+），tan（）， tan （+） tan （+） （） 故选：B 【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查观察能力与运算求解能力，属于中档题 10 （5 分）化简 tan10tan20+tan20tan60+tan60tan10的值等于（ ） A1 B2 Ctan10 Dta

17、n20 【分析】由角的关系式 10+209060，利用和角的正切公式，即可得出结论 【解答】解：10+20+6090， 10+209060， tan（10+20）tan（ 9060）cot60， tan10+tan20cot60（1tan10tan20） ， tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101 故选：A 【点评】本题主要考查了和角的正切公式的应用，属于基础题 11 （5 分）设 0，不等式 8x2（8sina）x+cos2a0 对 xR 恒成立，则 a 的取值范 围为（ ） A0， B C0， D 【分析】根据题意，利用二次函数的性质，可将不等式恒成立等价于0，

18、列出关于 a 第 10 页（共 20 页） 的不等式，利用三角函数的二倍角公式和三角函数的性质，求解不等式即可得到 a 的取 值范围 【解答】解：不等式 8x2（8sina）x+cos2a0 对于 x 属于一切实数恒成立， （8sina）248cos2a0， 64sin2a32cos2a0，即 2sin2acos2a0， 12cos2a0，即 cos2a， +2k2a+2k， +ka+k， 又0a， 0a或a， a 的取值范围是0， 故选：C 【点评】本题考查了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、 最值法、数形结合法求解对于二次函数问题特别要注意对开口方向和对称轴以及判

19、别 式的研究本题解题过程中考查了三角函数的求解属于中档题 12 （5 分）定义向量一种运算“”如下：对任意的 （m，n） ， （p，q） ，令 mqnp，下面错误的是（ ） A若 与 共线，则 0 B （ ）2+（）2| |2| |2 C对任意的 R，有（） （ ） D 【分析】利用运算“”的定义直接求解 【解答】解：在 A 中， （m，n） ， （p，q）共线， ， mqnp0，故 A 正确； 在 B 中， （ ）2+（）2（mqnp）2+（mp+nq）2m2q2+m2p2+n2q2+n2p2| |2 第 11 页（共 20 页） | |2，故 B 正确； 在 C 中，对任意的 R，有（）

20、（m，n）（p，q）mqnp（ ） ， 故 C 正确； 在 D 中， ，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查平面向量的运算性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，O 是两对角线 AC，BD 的交点，设点集 SA，B，C， D，O，向量集合 T|M，NS，且 M，N 不重合，则集合 T 中元素的个数为 12 【分析】通常用有向线段表示向量，结合排列组合知识运算出有向线段共 20 条，由元素 的互异性，找出相等向量 8 对，

21、除去即可 【解答】解：在 A，B，C，D，O 五个点中任取两个点并确定起始点，则共有54 20（个）有向线段，即共 20 个， 且，共 8 个， 又由集合中元素的互异性， 集合 T 中元素的个数为 20812， 故答案为：12 【点评】本题考查了集合中元素的互异性及排列组合知识 14 （5 分）利用随机模拟方法计算 yx2与 y4 围成的面积时，先利用计算器产生两组0， 1区间上的均匀随机数 alRAND，b1RAND，然后进行平移与伸缩变换 a4a12，b 4b1试验进行了 100 次，前 98 次中，落在所求面积区域内的样本点数为 65，已知最 后两次试验的随机数为（0.3，0.08） ，

22、 （0.4，0.3） ，那么本次模拟得到的面积的近似值为 10.56 （保留小数点后两位） 【分析】由题意知本题是模拟方法估计概率，只须计算出总共 100 次试验，一共有多少 次落在所求面积区域内，结合几何概型的计算公式即可求得计算 yx2与 y4 围成的 面积它的几何意义是函数 f（x） （其中 0f（x）1）的图象与 x 轴、直线 x0 和直线 x 第 12 页（共 20 页） 1 所围成图形的面积，也可由积分得到结果 【解答】解：a4a12，b4b1 由 a10.3，b10.08 得 a0.8，b0.32， （0.8，0.32）没落在 yx2与 y4 围成的 区域内， 由 a10.4，b

23、10.3 得：a0.4，b1.2， （0.4，1.2）落在 yx2与 y4 围成的区域 内 所以本次模拟得出的面积为：1610.56 故答案为：10.56 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事 件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、 面积和体积的比值得到 15 （5 分）已知|3，|4，与的夹角为 60，则与的夹角余弦值为 【分析】先由|3，|4，与的夹角为 60 算出| 然后用向量夹角公式 cos 计算即可 【解答】解：由题意： 已知|3，|4，与的夹角为 60 则|cos6036 |213 | 设 为与的夹角 则

24、 cos 第 13 页（共 20 页） 故答案为 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算及向量夹角公式 16 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a2，c3，且满足 （2ac） cosBbcosC，则 3 【分析】通过正弦定理把 a，c，b 换成 sinA，sinB，sinC 代入（2ac） cosBbcosC， 求得 B，再根据向量积性质，求得结果 【解答】解：（2ac）cosBbcosC 根据正弦定理得： （2sinAsinC）cosBsinBcosC 2sinAcosBsinBcosC+sinCcosB 2sinAcosBsin（B+C） 2sinA

25、cosBsinA cosB B60 cosB（23）3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了正弦定理和向量积的问题再使用向量积时，要留意向量的方 向 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17化简（1）； （2）（2） 【分析】 （1）先化切为弦，再由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐 步化简可得； （2）直接利用二倍角公式化简求值 【解答】解： （1） 第 14 页（共 20 页） ； （2）2， 【点评】本题考查三角函数的化简求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，属中

26、档题 18若点（p，q） ，在|p|3，|q|3 中按均匀分布出现 （1）点 M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐 标，则点 M（x，y）落在上述区域的概率？ （2）试求方程 x2+2pxq2+10 有两个实数根的概率 【分析】 （1）是古典概型，首先分析可得|p|3，|q|3 整点的个数，进而分析可得点 M 的纵横坐标的范围，可得 M 的个数，由古典概型公式，计算可得答案； （2）是几何概型，首先可得|p|3，|q|3 表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程 x2+2pxq2+10 有两个实数根，则有（2p）24（q2+1）0，变形可得 p2+q2 1，

27、分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案 【解答】解： （1）根据题意，点（p，q） ，在|p|3，|q|3 中， 即在如图的正方形区域， 其中 p、q 都是整数的点有 6636 个， 第 15 页（共 20 页） 点 M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即 x、y 都是整数， 且 1x3，1y3， 点 M（x，y）落在上述区域有： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ，有 6 个点， 所以点 M（x，y）落在上述区域的概率 P1 （2）|p|3，|q|3 表示如图的正方形区域，易得其面积为 36； 若方程 x2+2p

28、xq2+10 有两个实数根，则有（2p）24（q2+1）0， 解可得 p2+q21，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为 36， 即方程 x2+2pxq2+10 有两个实数根的概率，P2 【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点，考 查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段40，50） ，50，60） ，90，100后画出 如下部分频率分布直方图观察图形给出的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

29、（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分； （3）从成绩是40，50）和90，100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （1） 根据频率直方图的性质求第四小组的频率 （2） 利用样本进行总体估计 （3） 根据古典概型的概率公式求概率 【解答】 解：（1） 第一小组的频率为 0.010100.1， 第二小组的频率为 0.015100.15， 第三小组的频率为 0.015100.15，第五小组的频率为 0.025100.25，第六小组的频 率为 0.005100.05，所以第四小组的频率为 10.10.150.150.250.050.

30、3 频率/组距0.3100.03，故频率分布直方图如图 （2）平均分超过 60 分的频率为 0.15+0.25+0.05+0.30.75，所以估计这次考试的及格率 为 75% 第一组人数 0.10606，第二组人数 0.15609，第三组人数 0.15609，第四组人 数 0.36018，第五组人数 0.256015，第六组人数 0.05603， 所以平均分为71 （3）成绩在40，50）的有 6 人，在90，100的有 3 人，从中选两人有，他们在 同一分数段的有， 所以他们在同一分数段的概率是 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查学生分析问题的能力，比较综合 20在ABC 中，

31、向量 （2cosB，1） ，向量 （2cos2（） ，1+sin2B） ，且满足 | （1）求角 B 的大小； （2）求 sin2A+sin2C 的取值范围及 sinAsinC 的最大值 【分析】 （1）结合已知先求出，然后结合|及向量数量积的性质可求 cosB，进而可求 B； 第 17 页（共 20 页） （2）由（1）可得 C，代入到 sin2A+sin2C，及 sinAsinC，结合二倍角公式及和 差角公式进行化简，然后结合正弦及余弦函数的性质可求 【解答】解： （1）2cos2（）cos（B+）+11sinB， （2cosB，1） ， （1sinB，1+sin2B） ， 2cosB（1

32、sinB）+sin2B12cosB1 | ， 0 cosB， 0B， B， （2）由（1）可得 C， sin2A+sin2C 1， 1cos2A（cos2A） 1 1+sin（2A） ， ， ， ， ， sinAsinCsinAsin（） 第 18 页（共 20 页） sinA（） A ， ， ， 当 2A即 A时，有最大值 【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的性质及二倍角公式，和差角公式及正弦函 数余弦函数的性质的综合应用 21ABC 中，角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c 且 cosA （1）求 cos2+cos2A 的值； （2）若 a，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）

33、直接利用三角函数的关系式变换求出结果 （2）利用 cosA 的值，求出 sinA 的值，进一步利用余弦定理的基本不等式求出 bc 的最大 值，最后求出三角形面积的最大值 【解答】解： （1）ABC 中，角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c 且 cosA 则：cos2+cos2A， sin2+cos2A， ， （2）利用余弦定理：a2b2+c22bccosA， 整理得：， 解得：bc， 第 19 页（共 20 页） 由 cosA 解得：sinA 则： 所以最大值为 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，基本不 等式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型 2

34、2如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， AC 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米） ，在两条公路 AB，AC 上分别 设立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM2 千米，AN2 千米 （1）求线段 MN 的长度； （2）若MPN60，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值 【分析】 （1）在AMN 中，利用余弦定理得到 MN； （2）设PMN，得到PNM120，利用正弦定理将 PM+PN 用 表示，结合 三角函数的有界性求最值 【解答】解： （1）在AMN 中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120 （2 分） ， 所以千米 （4 分） （2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120 在PMN 中，由正弦定理得，（6 分） 因为， 所以 PM4sin（1200） ，PN4sin（8 分） 第 20 页（共 20 页） 因此 PM+PN4sin（1200）+4sin（10 分） （13 分） 因为 0120，所以 30+30150 所以当 +300900，即 600时，PM+PN 取到最大值（15 分） 答：两条观光线路距离之和的最大值为千米（16 分） 【点评】本题考查了解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦 定理解三角形