2019-2020学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、已知不等式 x2+ax+b0 的解集为2，3，则 a+b（ ） A1 B1 C2 D2 2 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a5+a7+a918，则 S13（ ） A39 B78 C117 D156 3 （5 分）若 ba0，给出下列不等式：|a|+b0ab； lna2lnb2其中正确的不等式是（ ） A. B C D 4 （5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 45（即BAC45）的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶 在北偏东 15（即ABC75）的方向上，仰角DBC 为 30，则此山的高度 C

2、D （ ） A200m B400m C600m D800m 5 （5 分）设为非零向量，则“”是“存在正数 ，使得”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F245，则椭圆的离心率为（ ） A1 B+1 C D 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ） A0，1 B，1 C1，2 D，2 8 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的 弦长为 8，双

3、曲线的右焦点为 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 9 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知 F 是椭圆的右焦点，A，B 是椭圆 M 上关于原点 O 对称的 两点，若，则FAB 的内切圆的面积为（ ） A5 B4 C2 D 11（5 分） 已知数列an满足 a11， anan+12n（nN*） ， Sn是数列an的前 n 项和， 则 （ ） Aa202022019 Ba202022020 CS2020210113 DS20203（210101

4、） 12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，平面 A1B1C1D1内的一动点 P，满足到点 A1的距离与到线段 C1D1的距离相等，则线段 PA 长度的最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5分） 若命题 “x0R使得x02+mx0+2m+50” 为假命题， 则实数m的取值范围是 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2ac， 则角 B 的值是 15 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、

5、三茅宫、白外五 第 3 页（共 22 页） 观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在 一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用 不等式组或 x2+（y1）21 来表示，设（x，y）是阴影中任意一点， 则 zx+y 的最大值为 16 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 且倾斜角为 60o的直线交抛物线于 A，B 两点，以 AF， BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，则|MN| 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应

6、写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知全集 UR，非空集合 Ax|（x2）x（3a+1）0，Bx|ax a2+2，记 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 19 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，BC 边上的中线 ADm， 满足 a2+2bc4m2 （1）求BAC； （2）若 a4，求ABC 的周长的取值范围 20 （12 分）已知抛物线 C：y28x

7、的焦点为 F，过点 E（2，0）的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D （1）证明：直线 BD 经过点 F； （2）设，求直线 AB 的方程 21 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 2，底面 ABC侧面 AA1B1B， 第 4 页（共 22 页） AA1B160，P 为 CC1的中点，AB1A1BO （1）证明：AB1A1P （2）若 M 是 AC 棱上一点，满足MOP45，求二面角 MBB1A 的余弦值 22 （12 分）已知 P（2，0）为椭圆 C：1（ab0）的右顶点，点 M 在椭圆 C 的长轴上，过点 M 且不与 x 轴

8、重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当点 M 与坐标原点 O 重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若2，求OAB 面积的最大值 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的.洛阳市洛阳市 1 （5 分）已知不等式

9、 x2+ax+b0 的解集为2，3，则 a+b（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】由题意知 2 和 3 是方程 x2+ax+b0 的实数根， 利用根与系数的关系求出 a、b 的值，再求 a+b 【解答】解：不等式 x2+ax+b0 的解集为2，3， 所以 2 和 3 是方程 x2+ax+b0 的实数根， 由，得 a5，b6； 所以 a+b1 故选：B 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程关系应用问题，是基础题 2 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a5+a7+a918，则 S13（ ） A39 B78 C117 D156 【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求

10、解 【解答】解：由等差数列的性质可得，a5+a7+a93a718， 则 a76， 则 S1361378 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题 3 （5 分）若 ba0，给出下列不等式：|a|+b0ab； lna2lnb2其中正确的不等式是（ ） A. B C D 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：ba0，给出下列不等式： 第 6 页（共 22 页） 0，正确： |a|+b0，因此不正确 由已知可得：，又 ab，ab，正确； 由已知可得：a2b2，可得：lna2lnb2，因此不正确 其中正确的不等式是 故选：C 【点评】本题考查了不等

11、式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 45（即BAC45）的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶 在北偏东 15（即ABC75）的方向上，仰角DBC 为 30，则此山的高度 CD （ ） A200m B400m C600m D800m 【分析】ABC 中由正弦定理求得 BC 的值，RtABC 中求出山高 CD 的值 【解答】解：ABC 中，BAC45，AB600，ABC75， ACB60， 由正弦定理得， BC1200， RtABC 中，DBC30， CDBCta

12、nDBC1200400， 则山高 CD 为 400m 故选：B 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键， 第 7 页（共 22 页） 属基础题 5 （5 分）设为非零向量，则“”是“存在正数 ，使得”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用向量共线定理、向量夹角、简易逻辑的判定方法即可判断出结论 【解答】解：设为非零向量，存在正数 ，使得，反之不成立， 的夹角可能为锐角 ”是“存在正数 ，使得”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算

13、能力，属于基础题 6 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F245，则椭圆的离心率为（ ） A1 B+1 C D 【分析】由已知条件推导出 PF2x 轴，结合已知条件以及椭圆的定义，列出 a，c 关系， 由此能求出椭圆的离心率 【解答】解：线段 PF1的中点在 y 轴上 设 P 的横坐标为 x，F1（c，0） ， c+x0，xc； P 与 F2的横坐标相等，PF2x 轴， PF1F245， PF2PF1， PF1+PF22a，2+2c2a， e1 故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题

14、，注意椭圆的简 第 8 页（共 22 页） 单性质的灵活运用 7 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ） A0，1 B，1 C1，2 D，2 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可 【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点与 D（0， 1）连接的直线斜率， 所以与 A 连接的直线斜率最大，与 B 连接直线斜率最小，A（1，1） ，B（2，0） ， 故的取值范围为，2； 故选：D 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何 意义求最值是关键，利用了数形结合的思想 8 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）

15、的渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的 弦长为 8，双曲线的右焦点为 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 第 9 页（共 22 页） 【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公 式，以及点到直线的距离公式可得 a，b 的关系式，由题意可得 c6，再由 a，b，c 的关 系可得 a，即可点到所求双曲线的方程 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 bxay0， 圆 C：x2+y212x0 的圆心 C（6，0） ，半径 r6， 渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的弦长为 8，可得 822， 解得 d2， 即有2， 双曲线的右

16、焦点为 C 的圆心，即 c6， 则 b2，a4， 可得双曲线的方程为1 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查直线和圆相交的弦长 公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 9 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】 可画出图形， 可知ABC120， AB2， BCCC1BB11， B1BCB1BA 90，然后根据进行数量积的运算即可求出 ， 并 可 求 出， 然 后 即 可 求 出 的值，进而得出异面直线 AB1与 BC1所成角的正弦值 【解答

17、】解：如图， ABC120，AB2，BCCC1BB11，B1BCB1BA90， 第 10 页（共 22 页） 2， 又， ， 异面直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为 故选：C 【点评】本题考查了直三棱柱的定义，通过向量求异面直线所成角的问题的方法，向量 加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算及计算公式， 向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题 10 （5 分）已知 F 是椭圆的右焦点，A，B 是椭圆 M 上关于原点 O 对称的 两点，若，则FAB 的内切圆的面积为（ ） A5 B4 C2 D 【分析】 由题意画出图形， 利用椭圆定义及对称性求得 AFBF，

18、 再由等面积法求得FAB 的内切圆的半径，则答案可求 【解答】解：如图， 由椭圆，得 a216，b27，c29， a4，c3， 第 11 页（共 22 页） 则 AF+BF2a8， ，OFc3，AB2c6， 则 AF2+BF236，得（AF+BF）22AFBF36，有 AFBF14 设FAB 的内切圆半径为 r，则，即 r1 FAB 的内切圆的面积为 12 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 11（5 分） 已知数列an满足 a11， anan+12n（nN*） ， Sn是数列an的前 n 项和， 则 （ ） Aa202022019 Ba202022

19、020 CS2020210113 DS20203（210101） 【分析】由数列递推式可得数列an的奇数项构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 偶数项构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式及前 n 项和 求解 【解答】解：由 a11，anan+12n，得 a22， 且， 两式作比可得： 数列an的奇数项构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 偶数项构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列 则当 n 为奇数时，； 当 n 为偶数时， 第 12 页（共 22 页） ， 3（210101） 故选：D 【点评】本题考查数列递推式，训练了数列的分组求和

20、，考查等比数列的前 n 项和，是 中档题 12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，平面 A1B1C1D1内的一动点 P，满足到点 A1的距离与到线段 C1D1的距离相等，则线段 PA 长度的最小值为（ ） A B C D 【分析】P 点轨迹为抛物线，得出 A1P 的最小值即可求出 PA 的最小值 【解答】解：点 P 到点 A1的距离与到线段 C1D1的距离相等， P 的轨迹是以 A1为焦点，以直线 C1D1为准线的抛物线， 显然到 P 位于 A1D1的中点时 A1P 取得最小值， AP 故选：C 【点评】本题考查了空间距离的计算，抛物线的性质，属于基础题 二、填空题：二、

21、填空题：本题共本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 若命题 “x0R 使得 x02+mx0+2m+50” 为假命题， 则实数 m 的取值范围是 （ 2，10） 【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应 的是二次函数， 结合二次函数的图象与性质建立不等关系， 即可求出实数 m 的取值范围 【解答】解：命题“x0R，使得 x02+mx0+2m+50”的否定为： “x0R，都有 x02+mx0+2m+50” ， 由于命题“x0R，使得 x02+mx0+2m+50”为假命题， 则其否定为： “x0R，都有 x02+

22、mx0+2m+50” ，为真命题， m24（2m+5）0，解得2m10 则实数 m 的取值范围是（2，10） ， 故答案为： （2，10） 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查全程命题以及特称命题与二次不等式恒成立问题，解决此类问题要结 合二次函数的图象与性质处理 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2ac， 则角 B 的值是 【分析】直接利用余弦定理求出 B 的余弦值，推出 B 的值即可 【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2ac， 由余弦定理可知 cosB，因为 B 是三角

23、形内角，所以 B 故答案为： 【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查 15 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五 观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在 一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用 不等式组或 x2+（y1）21 来表示，设（x，y）是阴影中任意一点， 则 zx+y 的最大值为 【分析】平移直线 zx+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值 【解答】解：依题意，zx+y， 所以 yx+z，z 表示直线 yx+z 在 y 轴上的截距， 所以当直线 yx

24、+z 与圆 x2+（y1）21 切于如图的点 A 时，z 最大（z1） ， 因为直线 yx+z 与圆相切，所以点（0，1）到直线 x+yz0 的距离为 1， 第 14 页（共 22 页） 即 1， 因为 z1，所以1，解得 z1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解 决问题的能力 16 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 且倾斜角为 60o的直线交抛物线于 A，B 两点，以 AF， BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，则|MN| 【分析】先求出直线方程，与抛物线联立，解得求出 A，B 两点的坐标，设 M（0，m） ，

25、N（0，n） ，根据以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，可得 MFMA，NF NB，求出 m，n，然后求解即可 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ， 则直线 AB 的方程为 y（x1） ， 由，解得或， A（3，2） ，B（，） ， 设 M（0，m） ，N（0，n） ， 以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N， MFMA，NFNB， 0，0， （1，m） （3，2m）0， 第 15 页（共 22 页） （1，n） （，n）0， 即 m22m+30，3n22n+10， 解得 m，n， |MN|， 故答案为： 【点评】本题考查了直线和抛物线

26、的位置关系，圆的有关性质，向量的运算等知识，考 查了运算求解能力，函数与方程的思想，考查了转化与化归，分类与整合的思想，属于 中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个个小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知全集 UR，非空集合 Ax|（x2）x（3a+1）0，Bx|ax a2+2，记 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 【分析】由 p：xA，q：xB，p 是 q 的充分条件，可得 AB （1）当 3a+12，即时，Ax|2x3a+1利用 AB

27、可得 a 范围 （2）当 3a+12，即时，A，判定是否满足题意 （3）当 3a+12，即时，Ax|3a+1x2由 AB 即可得出 a 的取值范围 【解答】解：p：xA，q：xB，p 是 q 的充分条件，AB （1）当 3a+12，即时，Ax|2x3a+1 第 16 页（共 22 页） 由 AB 得，解得 （2）当 3a+12，即时，A，不符合题意，舍去 （3）当 3a+12，即时，Ax|3a+1x2 由 AB 得，解得 综上，实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 18 （12 分）已知等比数列an的

28、前 n 项和为 Sn已知 S36，S642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 【分析】 （1）设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1，由题意可得关于首项与 公比的方程组，求得首项与公比，则 an，Sn可求； （2）直接利用等差中项的概念证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 【解答】 （1）解：由题意设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1， 则，从而 1+q37，即 q38， q2，a12， ，； （2）证明：由（1）知， ， Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列 【点评】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前 n

29、项和，考查计算能 力，是中档题 第 17 页（共 22 页） 19 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，BC 边上的中线 ADm， 满足 a2+2bc4m2 （1）求BAC； （2）若 a4，求ABC 的周长的取值范围 【分析】 （1）根据余弦定理建立方程关系进行求解即可 （2）利用正弦定理，结合辅助角公式进行化简求出 b+c 的范围即可 【解答】解： （1）在ABD 中， 在ACD 中， ADB+ACB，cosADB+cosACB0， ， a2+2bc4m2，a2+2bc2b2+2c2a2， 即 b2+c2a2bc， 0BAC， （2）由 a4，及正弦定理得

30、， ， ， 则 b+c（4，8，即 a+b+c（8，12， 故ABC 的周长的取值范围是（8，12 【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，正弦定理以及辅助角公式进行 化简是解决本题的关键考查学生的运算能力，难度中等 20 （12 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过点 E（2，0）的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D （1）证明：直线 BD 经过点 F； 第 18 页（共 22 页） （2）设，求直线 AB 的方程 【分析】 （1）由题意设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，设 A，B， D 的坐标，求出直线 BD

31、 的方程，令 y0 求出横坐标，正好直线 BD 与 x 轴的交点为焦 点 F，证出结果 （2）由（1）得 AB 的两个坐标之和及之积，由数量积求出参数，进而求出直线 AB 的方 程 【解答】解（1）依题意，可设 l 的方程为 xmy2（m0） 由得 y28my+160， 则64m2640，m1 或 m1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 D（x1，y1） ，y1+y28m，y1y216， 直线 BD 的方程为，即， 令， 所以直线 BD 经过点 F （2）由知， ， ， 故 3216m20， 解得， 所以 l 的方程为 【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题 21 （12

32、 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 2，底面 ABC侧面 AA1B1B， AA1B160，P 为 CC1的中点，AB1A1BO （1）证明：AB1A1P （2）若 M 是 AC 棱上一点，满足MOP45，求二面角 MBB1A 的余弦值 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）取 AB 中点 D，设 AB1与 A1B 交于点 O，连接 OP，CD，依题意得 OPCD， 由平面 ABC平面 AA1B1B，可得 CD平面 AA1B1B，即 AB1OP， 又四边形 AA1B1B 为菱形，得 AB1A1B，可得 AB1平面 A1OP，可证得 AB1A1P （2）以 O 为原点，如

33、图所示建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法求解 【解答】证明： （1）取 AB 的中点 D，连接 OP，CD，OD， 易证 OPCD 为平行四边形，从而 OPCD 由底面 ABC侧面 AA1B1B，底面 ABC侧面 AA1B1BAB，CDAB，CD底面 ABC， 所以 CD侧面 AA1B1B，即 OP侧面 AA1B1B 又 AB1侧面 AA1B1B，所以 AB1OP 又侧面 AA1B1B 为菱形，所以 AB1A1B，从而 AB1平面 A1OP 因为 A1P平面 A1OP，所以 AB1A1P 解： （2）由（1）知，OPOA1，OPOA，OA1OA， 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐

34、标系 zxoy 因为侧面 AA1B1B 是边长为 2 的菱形，且AA1B160， 所以 O （0， 0， 0） ， A （0， 1， 0） ， B1（0， 1， 0） ， ，得 设，得， 所以，所以 而 所以，解得 所以， 设平面 B1BM 的法向量， 第 20 页（共 22 页） 由得，取 而侧面 AA1B1B 的一个法向量 设二面角 MBB1A 的大小为 则 【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面、面面角，属于中档题 22 （12 分）已知 P（2，0）为椭圆 C：1（ab0）的右顶点，点 M 在椭圆 C 的长轴上，过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点

35、，当点 M 与坐标原点 O 重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若2，求OAB 面积的最大值 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x1，y1） ，可得 kPAkPB又+ 1，代入上式可得：，a2，解得 b，即可得出椭圆 C 的标准方程 （2）设直线 AB 的方程为：xty+m（t0） ， （2m2） A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 与椭圆方程联立化为： （4+t2）y2+2mty+m240，有2，可得 y12y2，利用根 与系数的关系可得：m2OAB 的面积 S|m（y1y2）|my2|，即可 得出 第 21 页（共 22 页） 【解

36、答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x1，y1） ，则 kPAkPB 又+1，代入上式可得：， 又 a2，解得 b1 椭圆 C 的标准方程为：+y21 （2）设直线 AB 的方程为：xty+m（t0） ， （2m2） A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，化为： （4+t2）y2+2mty+m240， y1+y2，y1y2， 2，y12y2， +，代入可得：m2 OAB 的面积 S|m（y1y2）|my2|， S2m29 S1，当且仅当 t2时取等号 OAB 面积的最大值为 1 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量 运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题