2019-2020学年河南省郑州一中高二（上）第二次测试数学试卷（9月份）含详细解答

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1、已知数列an是首项为 2，公差为 4 的等差数列，若 an2022，则 n（ ） A504 B505 C506 D507 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 （ ） A15 B7 C8 D16 6 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a1，B45，SABC2， 则ABC 的外接圆直径为（ ） A4 B5 C5 D6 7 （5 分）已知等比数列an的前 k 项和为 12，前 2k 项和为 48，则前 4k 项和为（ ） A324 B480 C108 D156 8 （5 分）在ABC 中， （s

2、inA+sinB） （sinAsinB）sinC（sinCsinB） ，则 A 的取值范围 是（ ） A （0， B） C （0， D） 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a45，S520，则数列的前 1000 项和为（ ） A B C D 10 （5 分）如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C， 第 2 页（共 18 页） D，E从 D 点测得ADC67.5，从 C 点测得ACD45，BCE75，从 E 点 测得BEC60 若测得，（单位： 百米） ， 则 A， B 两点的距离为 （ ） A百米 B百米 C3 百米 D百米 11 （5

3、 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a13，且 a2，a4，a7成等比数列，数列 bn的前 n 项和 Sn满足 Sn2n（nN*） ，数列cn满足 cnanbn（nN*） ，则数列cn的 前 3 项和为（ ） A31 B34 C62 D59 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a5，C， 若，则 c（ ） A B C3 D5 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且满足B， a+c， 则 14

4、 （5 分）已知数列an的通项公式，则|a1a2|+|a2a3|+|a3a4|+|a9 a10| 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a4，ccosB（2a b）cosC，则ABC 的面积为 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 an+12an10，若（1） nSn+2n 对任意的 nN*恒成立，则实数 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已

5、知 2cosA2sinBsinC+cosB，其 sinB 1 （1）求角 C 第 3 页（共 18 页） （2）若 5sinB3sinA，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 18正项数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）0 （1）求数列an的通项公式 an； （2）令 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 19设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an+1 （）求数列an的通项公式 （）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且（ 为常数） 令 cnb2n， （nN*） ， 求数列cn的前 n 项和 Rn

6、 20设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1a，an+1Sn+3n，nN* （1）设 bnSn3n，求数列bn的通项公式； （2）若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围 21在ABC 中，2sinCcosA+sin（AC）cos（A+C） （1）求角 B 的大小； （2）设BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，AD3，BD2，求 cosC 的值 22 （12 分）已知数列an满足 a11，an+12an+1（nN*） （）求数列an的通项公式； （）若数列bn滿足，证明：数列bn 是等差数列； （）证明： 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年河南省郑州一中高二

7、（上）第二次测试数学试卷学年河南省郑州一中高二（上）第二次测试数学试卷 （9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12560 分每小题分每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，当 Snn2+2n 时，a4+a5（ ） A11 B20 C33 D35 【分析】利用 a4+a5S5S3即可得出 【解答】解：， a4+a5S5S3 52+25（32+23） 20 故选：B 【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的前

8、 n 项和公式的应用，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 2 （5 分）在ABC 中，ax，b2，B，若三角形有两解，则 x 的取值范围为（ ） A （2，+） B （0，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】利用正弦定理和 b 和 sinB 求得 a 和 sinA 的关系，利用 B 求得 A+C；要使三角 形两个这两个值互补先看若 A， 则和 A 互补的角大于进而推断出 A+B 与三 角形内角和矛盾；进而可推断出A，若 A，这样补角也是，一解不 符合题意进而可推断出 sinA 的范围，利用 sinA 和 a 的关系求得 a 的范围 【解答】解：2， a2sinA， A+C， 又

9、A 有两个值，则这两个值互补， 第 5 页（共 18 页） 若 A，则 C，这样 A+B，不成立， A， 又若 A，这样补角也是，一解， sinA1， a2sinA， 2a2 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力，属 于中档题 3 （5 分）在ABC 中，则 sinA（ ） A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，根据正弦定理可求 sinA 的 值 【解答】解：， 由正弦定理可知，解得： 故选：A 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考 查了转化思想，属于基础题 4 （5 分

10、）已知数列an是首项为 2，公差为 4 的等差数列，若 an2022，则 n（ ） A504 B505 C506 D507 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得 ana1+（n1）d4n2，进而可得若 an2022，则有 4n22022，解可得 n 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，数列an是首项为 2，公差为 4 的等差数列， 则 ana1+（n1）d4n2， 若 an2022，则有 4n22022，解可得 n506； 第 6 页（共 18 页） 故选：C 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，关键是掌握等差数列的通项公式，属于 基础题 5 （5 分）等比数列an的前 n 项

11、和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 （ ） A15 B7 C8 D16 【分析】利用 4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论 【解答】解：4a1，2a2，a3成等差数列a11， 4a1+a322a2， 即 4+q24q0， 即 q24q+40， （q2）20， 解得 q2， a11，a22，a34，a48， S41+2+4+815 故选：A 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键 6 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a1，B45，SABC2， 则ABC 的外接圆直径为（ ）

12、 A4 B5 C5 D6 【分析】由已知及三角形面积公式可求 c 的值，利用余弦定理可求 b 的值，进而利用正 弦定理即可计算得解 【解答】解：a1，B45，SABCacsinB2， 可得：c4， b2a2+c22accosB1+32833825，可得：b5， 2R5 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应 第 7 页（共 18 页） 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7 （5 分）已知等比数列an的前 k 项和为 12，前 2k 项和为 48，则前 4k 项和为（ ） A324 B480 C108 D156 【分析】由等比数列的前 n

13、项和及其性质可得：Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k即可 得出 【解答】解：由等比数列的前 n 项和及其性质可得： （4812） 212（S3k48） ，解得： S3k156 （15648）2（4812）（S4k156） ，解得：S4k480 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 8 （5 分）在ABC 中， （sinA+sinB） （sinAsinB）sinC（sinCsinB） ，则 A 的取值范围 是（ ） A （0， B） C （0， D） 【分析】由已知及正弦定理可得：a2b2+c2bc，利用余弦定理可得 c

14、osA ，从而可求得 A 的取值范围 【解答】解：（sinA+sinB） （sinAsinB）sinC（sinCsinB） ， 由正弦定理可得：a2b2+c2bc， bcb2+c2a2， 由余弦定理可得：cosA， 0 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理等知识的应用，属于 基本知识的考查 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a45，S520，则数列的前 1000 项和为（ ） A B C D 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：设首项为 a1公差为 d 的等差数列an

15、的前 n 项和为 Sn，a45，S520， 所以，解得， 所以 an2+（n1）n+1， 所以 所以， 所以 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C， D，E从 D 点测得ADC67.5，从 C 点测得ACD45，BCE75，从 E 点 测得BEC60 若测得，（单位： 百米） ， 则 A， B 两点的距离为 （ ） A百米 B百米 C3 百米 D百米 【分析】根据题意，在ADC 中，分

16、析角边关系可得 ACDC2，在BCE 中，由 正弦定理可得 BC 的值，据此在ABC 中，利用余弦定理分析可得答案 【解答】解：根据题意，在ADC 中，ACD45，ADC67.5，DC2， 则DAC1804567.567.5，则 ACDC2， 在BCE 中，BCE75，BEC60，CE， 则EBC180756045， 则有，变形可得 BC， 在ABC 中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60， 第 9 页（共 18 页） 则 AB2AC2+BC22ACBCcosACB9， 则 AB3； 故选：C 【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题 11 （5 分）已

17、知公差不为 0 的等差数列an的首项 a13，且 a2，a4，a7成等比数列，数列 bn的前 n 项和 Sn满足 Sn2n（nN*） ，数列cn满足 cnanbn（nN*） ，则数列cn的 前 3 项和为（ ） A31 B34 C62 D59 【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，可得 an；由 数列的递推式可得 b1，b2，b3，计算可得所求和 【解答】解：公差 d 不为 0 的等差数列an的首项 a13，且 a2，a4，a7成等比数列， 可得 a42a2a7，即有（3+3d）2（3+d） （3+6d） ， 解得 d1（负的舍去） ， 则 an3+n1n+2， 数

18、列bn的前 n 项和 Sn满足 Sn2n（nN*） ，可得 b1S12，b2S2S1422，b3 S3S2844， 则数列cn的前 3 项和为 32+42+5434 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，以及数列的递推式的运用， 考查运算能力，属于基础题 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a5，C， 若，则 c（ ） A B C3 D5 【分析】由已知利用正弦定理可得 sinAsinBsinAsin2C，由 sinA0，可求 sinBsin2C， 根据范围2C，可求 B2C，进而可求 ABCC，即可得解 【解答】解：， 由正

19、弦定理可得：， 可得： sinAsinBsinBsin2CsinAsin2C sinBsin2C， 第 10 页（共 18 页） sinAsinBsinAsin2C， sinA0， sinBsin2C， C，2C， B2C，ABCC， a5， c5 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于基础题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且满足B， a+c， 则 2 或 【分析】

20、将已知等式两边平方，根据余弦定理可得 2（）25（）+20，解方程即 可得解 【解答】解：B，a+c， a2+c2+2ac3b2， 又由余弦定理可得：a2+c2acb2， 联立，可得：2a25ac+2c20，即：2（）25（）+20， 解得：2，或 故答案为：2 或 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想， 属于基础题 14 （5 分）已知数列an的通项公式，则|a1a2|+|a2a3|+|a3a4|+|a9 a10| 101 【分析】本题考查的是数列求和，关键是构造新数列 bn|anan+1|4n11|，求和时先 考虑比较特殊的前两项，剩余 7 项按照等差

21、数列求和即可 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：令 bn|anan+1|4n11|， 则所求式子为bn的前 9 项和 s9 其中 b17，b23， 从第三项起，是一个以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ， 故答案为：101 【点评】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前 n 项和， 另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a4，ccosB（2a b）cosC，则ABC 的面积为 6 【分析】 由正弦定理和三角恒等变换求得 cosC 与 C 的值， 利用三角形的面积公式即可得 解

22、【解答】解：在ABC 中，由正弦定理知 2R， 又（2ab） cosCccosB， 2sinAcosCsinBcosC+cosBsinC， 即 2sinAcosCsinA， 0A， sinA0； cosC， 又 0C， C， SABCabsinC426 故答案为：6 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三 角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 an+12an10，若（1） nSn+2n 对任意的 nN*恒成立，则实数 的取值范围为 3，8 【分析】由已知可知 an+1+12（an

23、+1） ，从而可得数列1+an是等比数列，可求 an，进 第 12 页（共 18 页） 而可求 sn，然后结合已知不等式，对 n 分类讨论分别求解 【解答】解：a11，且 an+12an10， an+1+12（an+1） ，1+a12， 数列1+an是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 1+an2n，即 an2n1， sn2n+1n2， 若（1）nSn+2n2n+1+n2 对任意的 nN*恒成立， 当 n 为偶数时，可得 Sn+2n2n+1+n2，对任意的偶数恒成立， 8， 当 n 为奇数时，Sn+2n 对任意的奇数恒成立， 3， 3， 则实数 的取值范围为3，8 故答案为：3，8 【

24、点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及不等式的 恒成立与最值求解的相互转化思想的应用，属于中档试题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2cosA2sinBsinC+cosB，其 sinB 1 （1）求角 C （2）若 5sinB3sinA，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）由三角函数的诱导公式、两角和的余弦公式和特殊角的余弦函函数值，可 得所求角； （2）运用三

25、角形的正弦定理可得 5b3a，以及三角形的面积公式可得 ab15，进而得 到 a，b 的值，再由余弦定理求得 c，即可得到所求周长 【解答】解： （1）2cosA2sinBsinC+cosB，其 sinB1， 可得2cos（B+C）2cosBcosC+2sinBsinC2sinBsinC+cosB， 即有2cosC1（cosB0） ， 第 13 页（共 18 页） 可得 cosC， 由 0C，可得 C； （2）5sinB3sinA， 由正弦定理可得 5b3a， ABC 的面积为， 可得absinCab， 可得 ab15， 解得 a5，b3， 由余弦定理可得 c2a2+b22abcosC 25+

26、9253（）49， 解得 c7， 则ABC 的周长为 a+b+c5+3+715 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，同时考查三角 函数的诱导公式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题 18正项数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）0 （1）求数列an的通项公式 an； （2）令 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 【分析】 （1）因式分解可得（Sn（n2+n） ） （Sn+1）0，从而求得 Snn2+n，从而判断 出an为等差数列，从而解得； （2）裂项 bn（） ，从而求其前 n 项

27、和前证明不等式 即可 【解答】解： （1）Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）0， （Sn（n2+n） ） （Sn+1）0， Snn2+n，或 Sn1（舍去） ， 故正项数列an为等差数列， 第 14 页（共 18 页） 其中 a11+12，a2S2S14， 故 an2+2（n1）2n； （2）bn（） ， Tn（1+） （1+） （+） ； 故 Tn 【点评】本题考查了方程的解法与裂项求和法的应用，同时考查了学生的化简运算能力 19设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an+1 （）求数列an的通项公式 （）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且（ 为常数） 令 cnb

28、2n， （nN*） ， 求数列cn的前 n 项和 Rn 【分析】 （）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d由于 S44S2，a2n2an+1利用 等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得 解出即可 （II） ）由（I）可得 Tn当 n2 时，bnTnTn1可得 cnb2n，nN*再利用“错位 相减法”即可得出 Rn 【解答】解： （）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d 由 S44S2，a2n2an+1得 解得 a11，d2 因此 an2n1，nN* （II）由（I）可得 当 n2 时，bnTnTn1 故，nN* 第 15 页（共 18 页） Rn0+， +， 两式相减得， Rn， R

29、n 数列cn的前 n 项和 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式和前 n 项和公式、 利用 “当 n2 时， bnTnTn1”可得 bn、 “错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和 计算能力，属于难题 20设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1a，an+1Sn+3n，nN* （1）设 bnSn3n，求数列bn的通项公式； （2）若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围 【分析】 （1）依题意得 Sn+12Sn+3n，由此可知 Sn+13n+12（Sn3n） 所以 bnSn 3n（a3）2n 1，nN* （2）由题设条件知 Sn3n+（a3）2n 1，nN*

30、，于是，a nSnSn12n 212 （ ）n 2+a3，由此可以求得 a 的取值范围是9，+） 【解答】解： （1）an+1Sn+3n，nN*， 得 Sn+1SnSn+3n， Sn+12Sn+3n 则 Sn+13n+12（Sn3n） bnSn3n， bn+12bn， b1S131a3， 当 a3 时，b1a30 数列bn是以 a3 为首项，以 2 为公比的等比数列， bn（a3） 2n 1， 第 16 页（共 18 页） 验证 a3 时上式成立 bn（a3） 2n 1， （2）由（1）知 Sn3n+（a3）2n 1，nN*， 于是，当 n2 时， anSnSn13n+（a3）2n 13n1（

31、a3）2n223n1+（a3）2n2， an+1an43n 1+（a3）2n22n212 （ ）n 2+a3， 当 n2 时，an+1an12 （）n 2+a3a9 又 a2a1+3a1 综上，所求的 a 的取值范围是9，+） 【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件， 属于中档题 21在ABC 中，2sinCcosA+sin（AC）cos（A+C） （1）求角 B 的大小； （2）设BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，AD3，BD2，求 cosC 的值 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin（B+），结合 范围 B+（，）

32、 ，可求 B 的值 （2）在ABD 中，由正弦定理可得 sinBAD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 cosBAD 的值，利用二倍角公式可求 sinBAC，cosBAC 的值，根据三角形的内角和 定理可求 cosC 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）2sinCcosA+sin（AC）cos（A+C）， 2sinCcosA+sinAcosCsinCcosA+cosB，2 分 可得：sinCcosA+sinAcosC+cosB， 可得：sinB+cosB， 第 17 页（共 18 页） 2sin（B+），可得：sin（B+），4 分 又B+（，） ， B+，可得 B6 分

33、 （2）在ABD 中，由正弦定理可得：， 所以 sinBAD，cosBAD，8 分 sinBAC2，cosBAC21，10 分 所以 cosCcos（BAC）（）12 分 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的内角和定理在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 22 （12 分）已知数列an满足 a11，an+12an+1（nN*） （）求数列an的通项公式； （）若数列bn滿足，证明：数列bn 是等差数列； （）证明： 【分析】 （）整理题设递推式得 an+1+12（an+1） ，推断出an+1是等比数列，进而求 得 an+1，则 an可求 （

34、）根据题设等式可推断出 2（b1+b2+bn）nnbn和 2（b1+b2+bn+bn+1） （n+1）（n+1）bn+1两式相减后整理求得 bn+2bn+1bn+1bn进而推断出bn是等 差数列 （）利用（）中数列an的通项公式，利用不等式的传递性，推断出，进 而推断出； 同时利用不等式的性质推断出， 进而代入证明原式 【解答】解： （）an+12an+1（nN*） ， 第 18 页（共 18 页） an+1+12（an+1） ， an+1是以 a1+12 为首项，2 为公比的等比数列 an+12n 即 an2n1N*） （）证明： 2（b1+b2+bn）nnbn， 2（b1+b2+bn+bn+1）（n+1）（n+1）bn+1 ，得 2（bn+11）（n+1）bn+1nbn， 即（n1）bn+1nbn+20，nbn+2（n+1）bn+1+20 ，得 nbn+22nbn+1+nbn0， 即 bn+22bn+1+bn0， bn+2bn+1bn+1bn（nN*） ， bn是等差数列 （）证明：，k1，2，n， ，k1，2，n， ， 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综 合解题能力