2018-2019学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知向量 （x，2，1） ， （2，4，2） ，如果，那么 x 等于（ ） A1 B1 C5 D5 2 （4 分）一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，用分层抽样的方法从全体运动员 中抽出一个容量为 28 的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为（ ） A20，8 B18，10 C16，12 D12，16 3 （4 分）已知命题 p：xR，x210，那么p 是（ ） AxR，x210 BxR，x210 CxR，x210 DxR，x210 4 （4 分）从 1，2，3，4 中任取两个不同的数，则取出的两数之和为 5 的概率是（ ） A B C D 5 （4 分） “两个三角形面积

2、相等”是“两个三角形全等”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分）已知线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P，则点 P 到点 M，N 的距 离都大于 2 的概率为（ ） A B C D 7 （4 分）双曲线1 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 8 （4 分）在 100 件产品中，有 3 件是次品现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的 取法种数为（ ） A B C 第 2 页（共 17 页） D 9 （4 分）若直线的回归方程为 2x+1，当变量 x 增加一个单位时，则下列说法中正确

3、的是（ ） A变量 y 平均增加 2 个单位 B变量 y 平均增加 1 个单位 C变量 y 平均减少 2 个单位 D变量 y 平均减少 1 个单位 10 （4 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DADC1，DD12，分别在对角线 A1D， CD1上取点 M，N，使得直线 MN平面 A1ACC1，则线段 MN 长的最小值为（ ） A B C D2 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）在（2+x）5的展开式中，x2的系数为 （用数字作答） 12 （4 分）某篮球运动员在赛场上罚球命中率为，那么这名运动员在赛场上的 2 次罚

4、球 中，至少有一次命中的概率为 13 （4 分）某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查根据学生 的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中 a ，若这次满意度评分 的中位数为 b，根据频率分布直方图，估计 b 65（填“” ， “”或“” ） 14 （4 分）设 F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且与左、 右顶点不重合，则F1PF2的周长为 15 （4 分）演讲比赛结束后，4 名选手与 1 名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不 能站在两端，那么有 种不同的站法 （用数字作答） 16 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x

5、的焦点为 F 第 3 页（共 17 页） F 的坐标为 ； 若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17 （8 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 0.4 0.3 m （）求 m 的值； （）求 P（1X3） ； （）求 E（X） 18 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PA底面 ABCD， 且 PAAD2，E，F，H 分别是线段 PA，PD，AB 的中点 （）求证：PB平面

6、EFH； （）求证：PD平面 AHF； （）求二面角 HEFA 的大小 19 （9 分）某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 100 分，规定测试成绩在85，100之间为“体质优秀” ，在75，85）之间为“体质良好” ，在 60，75）之间为“体质合格” ，在0，60）之间为“体质不合格” 现从两个年级中各随 机抽取 8 名学生，测试成绩如下： 学生编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 高一年 级 60 85 55 80 65 90 90 75 第 4 页（共 17 页） 高二年 级 75 85 65 90 75 60 a b 其中 a，b 是正整数 （）若该校

7、高一年级有 200 名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （）从高一年级抽取的学生中再随机选取 3 人，求这 3 人中，恰有 1 人“体质良好” 的概率； （）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，写出 a，b 的值 （结论不要求证明） 20 （9 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 M（2，0） ，离心率 e，右焦点 为 F （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P，若m， n，求证：m+n 为定值 第 5 页（共 17 页） 2018-2019 学年北京市丰台区高

8、二（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项. 1 （4 分）已知向量 （x，2，1） ， （2，4，2） ，如果，那么 x 等于（ ） A1 B1 C5 D5 【分析】利用向量与向量平行的性质直接求解 【解答】解：向量 （x，2，1） ， （2，4，2） ， ， 解得 x1 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算

9、求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 2 （4 分）一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，用分层抽样的方法从全体运动员 中抽出一个容量为 28 的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为（ ） A20，8 B18，10 C16，12 D12，16 【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男女运动员的人数乘以此概率，即得所求 【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 ，则样本中女运动员的人数为 42 12，样本中男运动员的人数为 5616， 故选：C 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的 概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题 3 （4 分）

10、已知命题 p：xR，x210，那么p 是（ ） AxR，x210 BxR，x210 CxR，x210 DxR，x210 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定 【解答】解：命题“xR，x210”为特称命题， 第 6 页（共 17 页） 根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：xR，x210 故选：D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命 题，全称命题的否定是特称命题 4 （4 分）从 1，2，3，4 中任取两个不同的数，则取出的两数之和为 5 的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n6，取出的 2 个数之和为 5

11、包含的基本事件有 2 个，由此 能求出取出的 2 个数之和为 5 的概率 【解答】解：从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数， 基本事件总数 n6， 取出的 2 个数之和为 5 包含的基本事件有： （1，4） ， （2，3） ， 取出的 2 个数之和为 5 的概率是 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 5 （4 分） “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成

12、立即可判断出结论 【解答】解：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立 “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判 定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （4 分）已知线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P，则点 P 到点 M，N 的距 离都大于 2 的概率为（ ） A B C D 第 7 页（共 17 页） 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论 【解答】解：如图所示， 线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P， 则点 P 到

13、点 M，N 的距离都大于 2 的概率为 P 故选：D 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 7 （4 分）双曲线1 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】化方程为标准方程，可得 a，b，代入 y可得渐近线方程 【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程， 可知焦点在 y 轴，且 a3，b2， 故渐近线方程为 y 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题 8 （4 分）在 100 件产品中，有 3 件是次品现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的 取法种数为（ ） A B C D 【分析】根据题意， “至少有 2 件次品”

14、可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情 况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案 【解答】解：根据题意， “至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两 种情况， 第 8 页（共 17 页） “有 2 件次品”的抽取方法有 C32C973种， “有 3 件次品”的抽取方法有 C33C972种， 则共有 C32C973+C33C972种不同的抽取方法， 故选：B 【点评】本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少” “至多” “最少” “最少”等 情况的分类讨论 9 （4 分）若直线的回归方程为 2x+1，当变量 x 增加一个单位时，则下列

15、说法中正确 的是（ ） A变量 y 平均增加 2 个单位 B变量 y 平均增加 1 个单位 C变量 y 平均减少 2 个单位 D变量 y 平均减少 1 个单位 【分析】根据题意，由线性回归方程的意义，分析可得答案 【解答】解：根据题意，直线的回归方程为 2x+1，其中斜率估计值为2， 当变量 x 增加一个单位时，变量 y 平均减少 2 个单位； 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程的应用，关键是掌握线性回归方程的意义 10 （4 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DADC1，DD12，分别在对角线 A1D， CD1上取点 M，N，使得直线 MN平面 A1ACC1，则线段 MN 长的最

16、小值为（ ） A B C D2 【分析】作 MM1AD 于点 M1，作 NN1CD 于点 N1，则 M1N1AC设 DM1DN1x， 则 MM1x，NN11x，由此能求出 MN 的最小值 【解答】解：作 MM1AD 于点 M1，作 NN1CD 于点 N1， 线段 MN 平行于对角面 ACC1A1，M1N1AC 设 DM1DN1x，则 MM12x，NN122x， 在直角梯形 MNN1M1中， MN （x）2+（24x）218（x）2+， 当 x时，MN 的最小值为 故选：B 第 9 页（共 17 页） 【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查

17、化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力， 是中档题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）在（2+x）5的展开式中，x2的系数为 80 （用数字作答） 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 r2，求出展开式中 x2的系 数 【解答】解：二项展开式的通项为 Tr+125 rC 5rxr 令 r2 得 x2的系数为 23C5280 故答案为：80 【点评】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 12 （4 分）某篮球运动员在赛场上罚球命中率为，那么这名运动员在赛场上的 2 次

18、罚球 中，至少有一次命中的概率为 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解 【解答】解：某篮球运动员在赛场上罚球命中率为， 这名运动员在赛场上的 2 次罚球中， 至少有一次命中的概率为 p1 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 13 （4 分）某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查根据学生 的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中 a 0.005 ，若这次满意度评 第 10 页（共 17 页） 分的中位数为 b，根据频率分布直方图，估计 b 65（填“” ， “”或“” ） 【分析】由频率分布直方

19、图列方程能求出 a；评分在50，70）的频率为 0.45，评分为70， 80）的频率为 0.3，由此能求出中位数 【解答】解：由频率分布直方图得： （a+0.04+0.03+0.02+a）101， 解得 a0.005 评分在50，70）的频率为： （0.005+0.04）100.45， 评分为70，80）的频率为：0.03100.3， 中位数 b70+1065 故答案为：0.005， 【点评】本题考查频率的求法、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 14 （4 分）设 F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且与左、

20、 右顶点不重合，则F1PF2的周长为 10 【分析】由题意可知PF1F2周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|2a+2c，进而计算可得答案 【解答】解：由题意椭圆1 知： a3，b，c2， PF1F2周长2a+2c6+410 故答案为：10 【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想， 第 11 页（共 17 页） 属于基础题 15 （4 分）演讲比赛结束后，4 名选手与 1 名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不 能站在两端，那么有 72 种不同的站法 （用数字作答） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，指导教师不能站在两端，易得指导教师有 3 种站

21、法，其 4 名选手全排列，安排在其他 4 个位置，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，指导教师不能站在两端，则指导教师有 3 个位置可选，有 3 种站法； ，其 4 名选手全排列，安排在其他 4 个位置，有 A4424 种情况， 则有 32472 种不同的站法； 故答案为：72 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 16 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y24x 的焦点为 F F 的坐标为 （1，0） ； 若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为 【分析】由抛物线的焦点坐标公式可得所求； 求得抛物线的准线方程，

22、设 M（m，n） ，即有 n24m，可得|MF|m+1，再令 tm+1， 转化为 t 的函数，配方即可得到所求最大值 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0） ， 若 M 是抛物线上的动点，设 M（m，n） ，即有 n24m， 抛物线的准线方程为 x1，可得|MF|m+1， 即有， 可令 m+1t（t0） ，可得 mt1， ， 当 t3 即 m2 时，上式取得最大值 故答案为： （1，0） ， 第 12 页（共 17 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算 能力，属于中档题 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分

23、分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17 （8 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 0.4 0.3 m （）求 m 的值； （）求 P（1X3） ； （）求 E（X） 【分析】 （）根据题意，由分布列的性质可得 0.1+0.4+0.3+m1，解可得 m 的值； （）根据题意，分析可得 P（1X3）P（X1）+P（X2）+P（X3） ，结合分 布列计算可得答案； （）根据题意，由期望的计算公式计算可得答案 【解答】解： （）根据题意，由随机变量 X 的分布列可得：0.1+0.4+0.3+m1， 解可得 m0.2

24、； （）根据题意，P（1X3）P（X1）+P（X2）+P（X3）0.4+0.3+0.20.9； （）根据题意，E（X）00.1+10.4+20.3+30.21.6 【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望、方差的计算 18 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PA底面 ABCD， 且 PAAD2，E，F，H 分别是线段 PA，PD，AB 的中点 （）求证：PB平面 EFH； （）求证：PD平面 AHF； （）求二面角 HEFA 的大小 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （）要证 PB平面 EFH，须证 PB 平行平面 EFH 内的一条直

25、线即可 （）要证 PD平面 AHF，须证 PD 垂直面内两条相交直线即可 （）求二面角 HEFA 的大小必须找出二面角的平面角，求解即可 【解答】解法一： （）证明：E，H 分别是线段 PA，AB 的中点， EHPB 又EH平面 EFH，PB平面 EFH， PB平面 EFH （）解：F 为 PD 的中点，且 PAAD，PDAF， 又PA底面 ABCD，BA底面 ABCD，ABPA 又四边形 ABCD 为正方形，ABAD 又PAADA，AB平面 PAD 又PD平面 PAD，ABPD 又ABAFA，PD平面 AHF （）PA平面 ABCD，PA平面 PAB，平面 PAB平面 ABCD， AD平面

26、ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，ADAB，AD平面 PAB， E，F 分别是线段 PA，PD 的中点，EFAD，EF平面 PAB EH平面 PAB，EA平面 PAB，EFEH，EFEA， HEA 就是二面角 HEFA 的平面角 在 RtHAE 中，AEH45， 所以二面角 HEFA 的大小为 45 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） ， P（0，0，2） ，E（0，0，1） ，F（0，1，1） ，H（1，0，0） （）证明：， ， 第 14 页（共 17 页） PB平面 EFH，且 EH平面

27、EFH， PB平面 EFH （）解：， ， PDAF，PDAH， 又AFAHA，PD平面 AHF （）设平面 HEF 的法向量为， 因为， 则取 又因为平面 AEF 的法向量为， 所以， ， 所以二面角 HEFA 的大小为 45 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中 第 15 页（共 17 页） 档题 19 （9 分）某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 100 分，规定测试成绩在85，100之间为“体质优秀” ，在75，85）之间为“体质良好” ，在 60，75）之间为“体质合格” ，在0，60）之间为“体质不合格” 现从两

28、个年级中各随 机抽取 8 名学生，测试成绩如下： 学生编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 高一年 级 60 85 55 80 65 90 90 75 高二年 级 75 85 65 90 75 60 a b 其中 a，b 是正整数 （）若该校高一年级有 200 名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （）从高一年级抽取的学生中再随机选取 3 人，求这 3 人中，恰有 1 人“体质良好” 的概率； （）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，写出 a，b 的值 （结论不要求证明） 【分析】 （）由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人

29、数 （）高一年级被抽取的 8 名学生中， “优质良好”的有 2 人，从高一年级抽取的学生中 再随机选取 3 人，利用古典概型能求出这 3 人中，恰有 1 人“体质良好”的概率 （）a75，b75 【解答】解： （）该校高一年级有 200 名学生， 则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：20075 （）高一年级被抽取的 8 名学生中， “优质良好”的有 2 人， 从高一年级抽取的学生中再随机选取 3 人， 这 3 人中，恰有 1 人“体质良好”的概率 P （）a75，b75 【点评】本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力， 第 16 页（共 17 页） 是基础题 2

30、0 （9 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 M（2，0） ，离心率 e，右焦点 为 F （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P，若m， n，求证：m+n 为定值 【分析】 （）由已知得 a2，结合离心率求得 c，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可 求； （）方法 1、由题意知，F（1，0） ，可知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 yk（x1） ， 则 P（0，k） ，设出 A，B 的坐标，由已知向量等式可得 m，n，联立直线方程与椭圆方 程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明 m+n 为定值； 方法

31、2、由题意知，F（1，0） ，m1，n1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P（0，y0） ， 由向量等式可得， 由此可得，m，n 是关于 x 的一元二次方程的两个实数根，再由 根与系数的关系得 m+n为定值 【解答】 （）解：椭圆 C：+1（ab0）过点 M（2，0） ，a2， 又e，c1，则 椭圆的方程为； （）证明：方法 1、由题意知，F（1，0） ，可知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y k（x1） ， 则 P（0，k） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x11，x21 由m，得（x1，y1+k）m（1x1，y1） ，m， 由n，得（x2，y2+k）n（1x2，y2） ，n， 第 17 页（共 17 页） 联立，得（4k2+3）x28k2x+4k2120 ， 故 m+n； 方法 2、由题意知，F（1，0） ，m1，n1， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P（0，y0） ， 由m，得（x1，y1y0）m（1x1，y1） ， ，故 A（） ， A 点在椭圆 C：+1（ab0）上， 整理得： 同理，由n，得 由此可得，m，n 是关于 x 的一元二次方程的两个实数根 m+n 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 属中档题