2018-2019学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知集合 M0，1，2，Nx|0x2，那么集合 MN（ ） A0 B0，1 C1，2 D0，2 2 （4 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程是 x+y80，且 f（x）的导 函数为 f（x） ，那么 f（5）等于（ ） A3 B1 C8 D1 3 （4 分）已知 x，yR，那么“xy0”是“x0 且 y0”的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）已知随机变量 X 满足条件 XB（n，p） ，且，那么 n 与 p 的值分别为（ ） A B C D 5 （4 分）已知 kxmyn（k 是实常数）是二项式（x2y）5

2、的展开式中的一项，其中 mn+1， 那么 k 的值为（ ） A40 B40 C20 D20 6 （4 分）函数在上的最小值和最大值分别是（ ） A B C D 7 （4 分）从 5 位男生和 4 位女生组成的小组中，选派 4 位代表参加一项活动，其中至少有 两位男生，且至少有 1 位女生的选法共有（ ） A80 种 B100 种 C120 种 D240 种 8 （4 分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为 1 至 10 的十个号码球（球的大小、质 地完全相同，但编号不同） ，里面有 n 个号码为中奖号码，若从中任意取出 4 个小球，其 中恰有 1 个中奖号码的概率为， 那么这 10 个小球中

3、， 中奖号码小球的个数 n 为 （ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 第 2 页（共 16 页） 9 （3 分）命题“x0R” ，此命题的否定是 （用符号表示） 10 （3 分）已知集合 Mx|x210，集合 Nx|x23x+20，那么集合 MN 的子集 个数为 个 11 （3 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（3，1）且 P（2x4）0.6826，那么 P（x 4） 12 （3 分）吃零食是中学生中普遍存在的现象长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影 响，影响学生的健康成长下表给出性别与吃零食

4、的列联表 男 女 总计 喜欢吃零食 5 12 17 不喜欢吃零食 40 28 68 合计 45 40 85 根据下面 K2的计算结果，试回答，有 的把握认为“吃零食与性别有关” 参考数据与参考公式： P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 13 （3 分）已知在 R 上不是单调增函数，那么实数 m 的取值 范围是 14 （3 分）已知函数 f（x）x2+8x，g（x）6lnx+m，当 7m8 时，这两个函数图象 的交点个数为 个 （参考数值：ln20.693，ln31.099） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，

5、共 50 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （8 分）已知集合 Ay|y6x1，0x1，Bx|x22xm0 （）当 m3 时，求 A（RB） ； （）当 ABx|2x5时，求实数 m 的值 16 （8 分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球如 果不放回的依次取出 2 个球回答下列问题： （）第一次取出的是黑球的概率； （）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率； 第 3 页（共 16 页） （）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率 17 （9 分）已知函数 f（x）x3

6、+ax2+bx 的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） （）求 a，b 的值； （）求函数 f（x）的单调区间 18 （8 分）把 6 本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种 分法？（用数字作答） （）甲得 2 本； （）每人 2 本； （）有 1 人 4 本，其余两人各 1 本 19 （9 分）甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比 赛结果相互独立 （）比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束求在 一场比赛中甲获得比赛胜利的概率； （）比赛采用三局两胜制，设随机变量 X 为甲在一场比赛中获胜的局数，求 X

7、 的分布 列和均值； （）有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四 胜制问哪个方案对甲更有利 （只要求直接写出结果） 20 （8 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx （）当 x0 时，证明：g（x）xf（x） ； （）f（x）的图象与 g（x）的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的 直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每

8、小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.在每个小题给出的四个备选答案中，在每个小题给出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 M0，1，2，Nx|0x2，那么集合 MN（ ） A0 B0，1 C1，2 D0，2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：M0，1，2，Nx|0x2； MN0，1 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算 2 （4 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程是 x+y80，且 f（x）的导 函数为 f（x） ，那么 f（5）等于（ ） A3 B1 C8 D1 【分析】由

9、导数的几何意义求出该点处切线的导数以及该点处的函数值，代入求值即可 【解答】解：由题意函数 f（x）的图象在点 x5 处的切线方程是 x+y80， 即 y8x，f（5）就是切线的斜率， f（5）1， 故选：D 【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数的几何意义求切点处的导数值，出题方 式新颖 3 （4 分）已知 x，yR，那么“xy0”是“x0 且 y0”的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】我们可先判断 xy0”时，x0 且 y0 是否成立，再判断 x0 且 y0 时，x y0”是否成立，再根据充要条件的定义即可得到结论 【解答】解：

10、若 xy0”时，如 x1，y1， 则 xy0，即 x0 且 y0 不成立， 第 5 页（共 16 页） 故命题：xy0”命题乙：x0 且 y0 为假命题； 若 x0 且 y0 成立，则 xy0 一定成立， 即xy0 为真命题 故命题 x0 且 y0 成立命题 xy0 也为真命题 故“xy0”是“x0 且 y0”的必要不充分条件 故选：C 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，我们先判断 pq 与 qp 的真假，再根据 充要条件的定义给出结论是解答本题的关键 4 （4 分）已知随机变量 X 满足条件 XB（n，p） ，且，那么 n 与 p 的值分别为（ ） A B C D 【分析】根据二项分

11、布的均值与方差公式列方程组解出 n 与 p 的值 【解答】解：XB（n，p）且， ， 解得 n15，p 故选：C 【点评】本题考查了二项分布的均值与方差，属于基础题 5 （4 分）已知 kxmyn（k 是实常数）是二项式（x2y）5的展开式中的一项，其中 mn+1， 那么 k 的值为（ ） A40 B40 C20 D20 【分析】根据二项式定理求出展开式的 通项公式，求出 m，n 的值，即可求出 k 的值 【解答】解：展开式的通项公式为 Tt+1C x5 t（2y）t（2）tC x5tyt， kxmyn（k 是实常数）是二项式（x2y）5的展开式中的一项， m+n5， 又 mn+1， 得 m3

12、，n2， 则 tn2， 第 6 页（共 16 页） 则 k（2）tC （2）2C 41040， 故选：A 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出 m，n 的值是解决 本题的关键 6 （4 分）函数在上的最小值和最大值分别是（ ） A B C D 【分析】求出 f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出 函数的最大值和最小值即可 【解答】解：函数，f（x）cosx， 令 f（x）0，解得：x，令 f（x）0，解得：0x， f（x）在0，）递减，在（，递增， f（x）minf（），而 f（0）0，f（）1， 故 f（x）在区间0，上的最小值和最大值分

13、别是： 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题 7 （4 分）从 5 位男生和 4 位女生组成的小组中，选派 4 位代表参加一项活动，其中至少有 两位男生，且至少有 1 位女生的选法共有（ ） A80 种 B100 种 C120 种 D240 种 【分析】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有 1 位女生，它包括：两个男生， 两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当 选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：至少有两位男生，且至少有 1 位女生包括：两个男生，两个女生；三个 男生，

14、一个女生 当选到的是两个男生，两个女生时共有 C52C4260 种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有 C53C4140 种结果， 根据分类计数原理知共有 60+40100 种结果， 故选：B 第 7 页（共 16 页） 【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题 目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题 8 （4 分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为 1 至 10 的十个号码球（球的大小、质 地完全相同，但编号不同） ，里面有 n 个号码为中奖号码，若从中任意取出 4 个小球，其 中恰有 1 个中奖号码的概率为， 那么这 1

15、0 个小球中， 中奖号码小球的个数 n 为 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 依题意， 从 10 个小球中任意取出 4 个小球， 其中恰有 1 个中奖号码的概率为， 所以， （nN*） 解方程即可 【解答】解：依题意，从 10 个小球中任意取出 4 个小球，其中恰有 1 个中奖号码的概率 为， 所以， 所以 n（10n） （9n） （8n）480， （nN*） 解得 n4 故选：C 【点评】本题考查了古典概型的概率，计数原理，组合式公式等，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 9 （3 分）命题“x0R” ，此

16、命题的否定是 xR，x2+x0 （用符号 表示） 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：x0R，x022x0+10 的否定是： xR，x2+x0 故答案为：xR，x2+x0 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 10 （3 分）已知集合 Mx|x210，集合 Nx|x23x+20，那么集合 MN 的子集 个数为 8 个 第 8 页（共 16 页） 【分析】可以求出集合 M，N，从而可进行并集的运算求出 MN1，1，2，从而 得出 MN 的子集个数为 8 个 【解答】解：M1，1，N1，2； MN1

17、，1，2； MN 的子集个数为 238 个 故答案为：8 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个 数的求法 11 （3 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（3，1）且 P（2x4）0.6826，那么 P（x 4） 0.1587 【分析】根据随机变量 X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求 得 P（X4） 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（3，1） ， 正态曲线的对称轴是 x3， P（2X4）0.6826， P（X4）0.5P（2X4）0.50.34130.1587 故答案为：0.1587 【点评】本题主要考查正态分布曲线的

18、特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的 对称性解决问题 12 （3 分）吃零食是中学生中普遍存在的现象长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影 响，影响学生的健康成长下表给出性别与吃零食的列联表 男 女 总计 喜欢吃零食 5 12 17 不喜欢吃零食 40 28 68 合计 45 40 85 根据下面 K2的计算结果，试回答，有 95% 的把握认为“吃零食与性别有关” 参考数据与参考公式： 第 9 页（共 16 页） P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论 【解答】解：根据题意知 K2

19、4.7223.841， 所以有 95%的把握认为“吃零食与性别有关” 故答案为：95% 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 13 （3 分）已知在 R 上不是单调增函数，那么实数 m 的取值 范围是 （，1）（2，+） 【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为 f（x）0 不恒成立，即可得到结 论 【解答】解：函数 yx3+mx2+（m+2）x+3， f（x）x2+2mx+m+2， 函数 yx3+mx2+（m+2）x+3 在 R 上不是增函数， f（x）x2+2mx+m+20 不恒成立， 判别式4m24（m+2）0， m2m20， 即 m1 或 m2， 故答案为：

20、（，1）（2，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，将函数单调性转化为 fx）0 不恒成立是解决本题的关键 14 （3 分）已知函数 f（x）x2+8x，g（x）6lnx+m，当 7m8 时，这两个函数图象 的交点个数为 3 个 （参考数值：ln20.693，ln31.099） 【分析】原问题等价于函数 yx2+8x6lnx 与函数 ym，m（7，8）的交点个数， 作出函数图象观察即可得出答案 【解答】解：函数 f（x）与函数 g（x）的交点个数，即为x2+8x6lnx+m 的解的个数， 亦即函数 yx2+8x6lnx 与函数 ym，m（7，8）的交点个数， ，令 y0，解得

21、x1 或 x3， 第 10 页（共 16 页） 故当 x（0，1）时，y0，此时函数 yx2+8x6lnx 单调递减， 当 x（1，3）时，y0，此时函数 yx2+8x6lnx 单调递增， 当 x（3，+）时，y0，此时函数 yx2+8x6lnx 单调递减， 且 y|x17，y|x3156ln38， 作出函数 yx2+8x6lnx 的草图如下， 由图可知，函数 yx2+8x6lnx 与函数 ym，m（7，8）有 3 个交点 故答案为：3 【点评】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，通过数形结合思想，观 察得出答案，属于常规题目 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共

22、小题，共 50 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （8 分）已知集合 Ay|y6x1，0x1，Bx|x22xm0 （）当 m3 时，求 A（RB） ； （）当 ABx|2x5时，求实数 m 的值 【分析】 （）可以求出 Ay|1y5，m3 时，可以求出 Bx|1x3，然 后进行补集、交集的运算即可； （）根据 ABx|2x5即可得出，x2 是方程 x22xm0 的实数根，带 入方程即可求出 m 【解答】解： （）Ay|1y5，m3 时，Bx|1x3； RBx|x1，或 x3； A（RB）x|3x5，或 x1； 第 11 页（共 16 页

23、） （）ABx|2x5； x2 是方程 x22xm0 的一个实根； 4+4m0； m8 【点评】考查不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运 算，以及一元二次不等式的解和对应一元二次方程的实根的关系 16 （8 分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球如 果不放回的依次取出 2 个球回答下列问题： （）第一次取出的是黑球的概率； （）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率； （）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率 【分析】 （）黑球有 3 个，球的总数为 5 个，代入概率公式即可； （）分两步完成，第一

24、步发生的概率乘以第二步发生的概率即可； （）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率可以采用缩小基 本事件空间的方法处理，也可以用条件概率公式处理 【解答】解：依题意，设事件 A 表示“第一次取出的是黑球” ，设事件 B 表示“第二次取 出的是白球” （）黑球有 3 个，球的总数为 5 个， 所以 P（A）； （）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 P（AB）； （） 在第一次取出的是黑球的条件下， 第二次取出的是白球的概率为 P （B|A） 【点评】本题考查了古典概型的概率，事件的相互独立性，条件概率等，属于中档题 17 （9 分）已知函数 f（x）x3+ax2+

25、bx 的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） （）求 a，b 的值； （）求函数 f（x）的单调区间 【分析】 （）求导函数，利用 f（x）的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） ， 第 12 页（共 16 页） 建立方程组，即可求 a，b 的值； （）求导函数，利用导数小于 0，即可求函数 f（x）的单调递减区间 【解答】解： （I）求导函数可得 f（x）3x2+2ax+b， f（x）的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） ， f（2）2，f（2）15， ， a3，b9 （II）由（I）得 f（x）3x2+6x9， 令 f（x）0，可得 3x2+6x90， 3x

26、1， 函数 f（x）的单调递减区间是（3，1） 令 f（x）0，可得 3x2+6x90， 单调增区间为： （，3） ， （1，+） 综上：函数 f（x）的单调递减区间是（3，1） 单调增区间为： （，3） ， （1，+） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学 生的计算能力，属于中档题 18 （8 分）把 6 本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种 分法？（用数字作答） （）甲得 2 本； （）每人 2 本； （）有 1 人 4 本，其余两人各 1 本 【分析】 （）根据题意，分 2 步进行分析：，在 6 本书中任选 2 本，分给

27、甲， 将剩下的 4 本分析乙、丙，由分步计数原理计算可得答案； （）根据题意，分 2 步进行分析：，将 6 本书平均分成 3 组，将分好的 3 组全 排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案； （）根据题意，分 2 步进行分析：，在 6 本书中任选 2 本，分给三人中 1 人， 将剩下的 2 本全排列，安排给剩下的 2 人，由分步计数原理计算可得答案； 【解答】解： （）根据题意，分 2 步进行分析： ，在 6 本书中任选 2 本，分给甲，有 C6215 种选法， 第 13 页（共 16 页） ，将剩下的 4 本分析乙、丙，每本书都有 2 种分法，则有 222216 种分法， 则甲得

28、2 本的分法有 1516240 种； （）根据题意，分 2 步进行分析： ，将 6 本书平均分成 3 组，有15 种分组方法， ，将分好的 3 组全排列，分给甲乙丙三人，有 A336 种情况， 则有 15690 种分法； （）根据题意，分 2 步进行分析： ，在 6 本书中任选 4 本，分给三人中 1 人，有 C64C3145 种分法， ，将剩下的 2 本全排列，安排给剩下的 2 人，有 A222 种情况， 则有 45290 种分法 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题 19 （9 分）甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比 赛

29、结果相互独立 （）比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束求在 一场比赛中甲获得比赛胜利的概率； （）比赛采用三局两胜制，设随机变量 X 为甲在一场比赛中获胜的局数，求 X 的分布 列和均值； （）有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四 胜制问哪个方案对甲更有利 （只要求直接写出结果） 【分析】 （）甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负， 第三局甲胜由此能求出甲获得比赛胜利的概率 （）由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望 （）方案二对甲更有利 【解答】解

30、： （）甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一 负，第三局甲胜 甲获得比赛胜利的概率为： P（）2+（） 第 14 页（共 16 页） （）由已知得 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0）（）2， P（X1）， P（X2）（）2+（） 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望 E（X） （）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制 方案二对甲更有利 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事 件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （8 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx （）当 x

31、0 时，证明：g（x）xf（x） ； （）f（x）的图象与 g（x）的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的 直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论 【分析】 （）当 x0 时，设 h（x）g（x）xlnxx，设 l（x）f（x）xexx， 分别求得导数和单调性、最值，即可得证； （）先确定曲线 yf（x） ，yg（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导 数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得 lnm1分别作出 ylnx1 和 y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结 论 【解答】解： （）证明：当 x0 时，设 h（x）g（x）x

32、lnxx， h（x）1，当 x1 时，h（x）0，h（x）递减；0x1 时，h（x） 0，h（x）递增； 可得 h（x）在 x1 处取得最大值1，可得 h（x）10； 设 l（x）f（x）xexx， 第 15 页（共 16 页） l（x）ex1，当 x0 时，l（x）0，l（x）递增； 可得 l（x）l（0）10， 综上可得当 x0 时，g（x）xf（x） ； （）曲线 yf（x） ，yg（x）公切线的条数是 2，证明如下： 设公切线与 g（x）lnx，f（x）ex的切点分别为（m，lnm） ， （n，en） ，mn， g（x），f（x）ex， 可得，化简得（m1）lnmm+1， 当 m1 时， （m1）lnmm+1 不成立； 当 m1 时， （m1）lnmm+1 化为 lnm， 由 lnx1+，即 lnx1 分别作出 ylnx1 和 y的函数图象， 由图象可知：ylnx1 和 y的函数图象 有两个交点， 可得方程 lnm有两个实根， 则曲线 yf（x） ，yg（x）公切线的条数是 2 条 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想、 构造函数法和转化思想、数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题