2018-2019学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是 0.8，乙投中的概率是 0.6，则恰有 一人投中的概率为（ ） A0.44 B0.48 C0.88 D0.98 6 （5 分）已知直线 ykx+2（kR）与椭圆+1 恒有公共点，则实数 t 的取值范围 是（ ） A （0，4 B4，9） C （9，+） D4，9）（9，+） 7 （5 分）已知 MN 是平面 的斜线段，M 为斜足，若动点 P，且MNP 的面积为定值， 则动点 P 的轨迹为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 8 （5 分）已知 F 为抛物线 C：x22py（1p2）的焦点，F 关于原点的对称点为 F，点 M 在抛物线 C 上，给出

2、下列三个结论： 使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 6 个： 使得|+|1 的点 M 有且仅有 2 个： 使得|的点 M 有且仅有 4 个 其中正确结论的个数为（ ） 第 2 页（共 18 页） A0 B1 C2 D3 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） 9 （5 分）椭圆+1 的离心率为 10 （5 分）在（1x）7的展开式中，x3的系数为 11 （5 分）与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程是 12 （5 分）随机变量 ， 的分布列如表所示，则 D（）和 D（）的大小关系是 0 1 P 0 1 P 13 （5 分）

3、5 位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有 种 14 （5 分）如图，AB，AC，ABBD 且 AB1，BD3，AC5，CD |+| ； 线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分） 15 （13 分）已知复数在 z1a+i，z21i，aR （）当 a1 时，求 z1的值： （）若 z1z2是纯虚数，求 a 的值； 第 3 页（共 18 页） （）若在复平面上对应的点在第二象限，求 a 的取值范围 16 （13 分）从分别印有数字 0，3，5，7，9 的 5 张卡片中，任意抽出 3 张组成三位数 求可以组成多少个大于 5

4、00 的三位数； 求可以组成多少个三位数； 若印有 9 的卡片，既可以当 9 用，也可以当 6 用，求可以组成多少个三位数 17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 6 个粽子，其中豆沙粽 1 个， 肉粽 2 个，白粽 3 个，这三种粽子的外观完全相同 （）从中不放回地任取 3 个，记 X 表示取到的肉粽个数，求 X 的分布列和 E（X） （）从中有放回地任取 3 个，记 Y 表示取到的肉粽个数，求 P（Y2） （）比较 E（X）与 E（Y）的大小（只需写出结论） 18 （13 分）已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两 点

5、 （）求线段 AB 的长： （）已知点 M（4，0） ，证明：直线 AM 与直线 BM 不垂直 19 （14 分）如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中 CC1底面 ABCCACB CACBCC1 1D，E 分别是 AA1，A1B1的中点 （）求证：C1EBD； （）求二面角 A1BDC1的大小： （）线段 C1，E 上是否存在点 F，使 A1F平面 C1BD？若存在，求的值；若不 存在，说明理由 第 4 页（共 18 页） 20 （14 分）已知椭圆 C：+y21 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，设 M，N 是椭圆 C 上位 于 x 轴上方的两动点，且直线 MF1与直线 NF2平行，MF2

6、与 NF1交于点 D （）求 F1和 F2的坐标： （）求|MF1|NF2|的最小值： （）求证：|DF1|+|DF2|是定值 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷 参考参考答案与试题解析答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （5 分）双曲线1 的实轴长为（ ） A1 B2 C2 D4 【分析】根据题意，由双曲线的方程求出 a 的值，即可得双曲线与 x 轴的交点，由实轴 的定义计算可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线1，其中

7、a，b2，其焦点在 x 轴上， 则该双曲线与 x 轴的交点为（，0）与（，0） ， 则实轴长 2a2； 故选：C 【点评】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题 2 （5 分）+（ ） A12 B14 C15 D16 【分析】利用组合数公式计算即可得答案 【解答】解：根据公式可得， ， 原题等于 16 故选：D 【点评】本题考查了组合公式的计算，属于基础题 3 （5 分）复数（1+i）ia+i，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a 值 【解答】解：（1+i）i1+ia+i， a1 第 6 页（共 18 页

8、） 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 4 （5 分）设随机变量 XN（，2） ，则 P（X）（ ） A B C D 【分析】直接由正态分布曲线的对称性得答案 【解答】解：随机变量 XN（，2） ， 可得正态分布曲线的对称轴为 x， 由正态分布曲线的对称性可得： 则 P（X） 故选：C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 5 （5 分）甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是 0.8，乙投中的概率是 0.6，则恰有 一人投中的概率为（ ） A0.44 B0.48 C0.8

9、8 D0.98 【分析】利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式直接求解 【解答】解：甲和乙两人各投篮一次，甲投中的概率是 0.8，乙投中的概率是 0.6， 设事件 A 表示“甲投中” ，事件 B 表示“乙投中” ， 则 P（A）0.8，P（B）0.6， 则恰有一人投中的概率为： P（A ）+P（ B）P（A）P（ ）+P（ ）P（B） 0.80.4+0.20.6 0.44 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）已知直线 ykx+2（kR）与椭圆+1 恒有公共点，则实数 t 的取值范围 是（ ）

10、 第 7 页（共 18 页） A （0，4 B4，9） C （9，+） D4，9）（9，+） 【分析】根据题意，分析可得直线 ykx+2（kR）恒过定点（0，2） ，分析椭圆与 y 轴 正半轴的交点，结合直线与椭圆的位置关系分析可得，解可得 t 的取值范围， 即可得答案 【解答】解：根据题意，直线 ykx+2（kR）恒过定点（0，2） ， 椭圆+1 与 y 轴正半轴的交点为（0，） ， 若直线 ykx+2（kR）与椭圆+1 恒有公共点，必有， 解可得 t4 且 t9， 则 t 的取值范围为4，9）（9，+） ； 故选：D 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及直线恒过定点的问题，属于基础题

11、 7 （5 分）已知 MN 是平面 的斜线段，M 为斜足，若动点 P，且MNP 的面积为定值， 则动点 P 的轨迹为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 【分析】因为MNP 的面积为定值，且 MN 长为定值，所以点 P 到直线 MN 的距离为定 值，从而，点 P 在以 MN 为轴的圆柱的侧面上，又直线 MN 是平面 的斜线，且点 P 在 平面 内运动，所以，点 P 在平面 与以 MN 为轴的圆柱斜交的交线上，根据平面与圆 柱面交线的性质，得到的轨迹是椭圆 【解答】解：因为MNP 的面积为定值，且 MN 长为定值， 所以点 P 到直线 MN 的距离为定值， 从而，点 P 在以 MN 为轴的

12、圆柱的侧面上， 又直线 MN 是平面 的斜线，且点 P 在平面 内运动， 所以，点 P 在平面 与以 MN 为轴的圆柱斜交的交线上， 根据平面与圆柱面交线的性质，得到的轨迹是椭圆 故选：A 【点评】本题主要考查点线面的位置关系，圆锥曲线的定义性质，从定性的角度考虑即 第 8 页（共 18 页） 可 8 （5 分）已知 F 为抛物线 C：x22py（1p2）的焦点，F 关于原点的对称点为 F，点 M 在抛物线 C 上，给出下列三个结论： 使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 6 个： 使得|+|1 的点 M 有且仅有 2 个： 使得|的点 M 有且仅有 4 个 其中正确结论的个数为（ ） A

13、0 B1 C2 D3 【分析】MFF为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有 4 个点，可判断； 由抛物线的定义和解方程可判断 【解答】解：抛物线的焦点 F（0，） ，准线方程为 y， 由MFF为等腰三角形，若 FFMF，则 M 有两个点； 若 MFMF，则不存在，若 MFFF，则 M 有两个点， 则使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个，即错误； 设 M（m，n） ，可得 m22pn，|MF|MK|n+， |+|1 即为+n+1， 移项平方可得 n0，与 n0 矛盾，即错误； |即|MK|，可得MKF为等腰直角三角形， 由可得 n，mp，可得 M 有且只有两个，即错误 故选：A

14、 第 9 页（共 18 页） 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查联立方程以及分类讨论思想方法，以及运 算能力，属于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） 9 （5 分）椭圆+1 的离心率为 【分析】求出椭圆的长轴与焦距，然后求解离心率即可 【解答】解：椭圆，可得 a2，c1 所以椭圆的离心率为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查 10 （5 分）在（1x）7的展开式中，x3的系数为 35 【分析】根据题意，写出（1x）7的展开式的通项 Tr+1C7r（x）r（1）rC7rxr， 令 r3，计算

15、可得 T4（1）3C73x335x3，即可得答案 【解答】解：根据题意， （1x）7的展开式的通项为 Tr+1C7r（x）r（1）rC7rxr， 令 r3 可得：T4（1）3C73x335x3， 即 x3的系数为35； 故答案为：35 【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题 11 （5 分）与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程是 y21， （答案不 唯一） 第 10 页（共 18 页） 【分析】根据题意，求出双曲线y21 的渐近线方程，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线y21，其渐近线方差为 yx， 则与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程

16、 y21， 故答案为：y21， （答案不唯一） 【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线的计算，属于基础题 12 （5 分）随机变量 ， 的分布列如表所示，则 D（）和 D（）的大小关系是 D（） D（） 0 1 P 0 1 P 【分析】分别求出两个变量的平均数和方差，由此能求出结果 【解答】解：E（）， D（）， E（）， D（）（0）2+（1）2 D（）D（） 故答案为：D（）D（） 【点评】本题考查两个离散型随机变量的方差的大小的判断，考查离散型随机变量、数 学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 13 （5 分）5 位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法

17、有 48 种 【分析】由排列组合中的捆绑问题得：不同的排法有48 种，得解 【解答】解：由相邻问题捆绑法得： 5 位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有48 种， 第 11 页（共 18 页） 故答案为：48 【点评】本题考查了排列组合中的捆绑问题，属中档题 14 （5 分）如图，AB，AC，ABBD 且 AB1，BD3，AC5，CD |+| ； 线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 【分析】|+| 过 D 作 DO 于点 O， 则与所成角的余弦值就是线段 BD 与平面 所成角的正 弦值， 与所成角的余弦值，利用|+|2|2，即可求解 【解答】解：+，|+| 过 D 作 DO 于点

18、O， 则与所成角的余弦值就是线段 BD 与平面 所成角的正 弦值， 与所成角的余弦值， |+|，|+|2|2， （+）2（）2，+2+2+2， 25+1+10+251cos90+253cos+213cos9015， cos，线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 故答案为：， 第 12 页（共 18 页） 【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分） 15 （13 分）已知复数在 z1a+i，z21i，aR （）当 a1 时，求 z1的值： （）若 z1z2是纯虚数，求 a 的值； （）若在复平面上对应的点在第二象限，求 a

19、 的取值范围 【分析】 （）把 a1 代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案； （）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为 0 求解； （）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于 0 且虚部大于 0 求解 【解答】解： （）当 a1 时，z1（1+i） （1+i）1+i+i12i； （）由 z1z2（a+i）（1i）a1+2i 是纯虚数，得 a10，即 a1； （）由在复平面上对应的点在第二象限， 得，即1a1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表 示法及其几何意义，是基础题 16 （13 分）从分别印有数字 0，3，5，7，9 的 5 张

20、卡片中，任意抽出 3 张组成三位数 求可以组成多少个大于 500 的三位数； 求可以组成多少个三位数； 若印有 9 的卡片，既可以当 9 用，也可以当 6 用，求可以组成多少个三位数 【分析】首位是 5、7、9 的三位数都大于 500即可求解 第 13 页（共 18 页） 共有三位数：448 个 求出有数字 9 的三位数个数即可 【解答】解：首位是 5、7、9 的三位数都大于 500 故大于 500 的三位数有：336 个； 共有三位数：448 个 取出的三张卡片中有 0 也有 9：有2212 种情况， 取出的三张卡片中有 9 但没有 0：C32A3318 种情况 印有 9 的卡片，既可以当

21、9 用，也可以当 6 用，可以组成 48+3078 个三位数 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意依据题意进行分情况讨论，一定做到不 重不漏 17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 6 个粽子，其中豆沙粽 1 个， 肉粽 2 个，白粽 3 个，这三种粽子的外观完全相同 （）从中不放回地任取 3 个，记 X 表示取到的肉粽个数，求 X 的分布列和 E（X） （）从中有放回地任取 3 个，记 Y 表示取到的肉粽个数，求 P（Y2） （）比较 E（X）与 E（Y）的大小（只需写出结论） 【分析】 （） 由题意得 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出

22、 的分布列、期望值 （）由题意得 Y 的可能取值为 0，1，2、3，则 YB（3，） ，即可求解 P（Y2 （）求得 E（Y） ，即可比较 【解答】解： （） 由题意得 X 的可能取值为 0，1，2， P （X0） P （X1） P （X2） X 的分布列为： X 0 1 2 P E（X）0+1+21 第 14 页（共 18 页） （）由题意得 Y 的可能取值为 0，1，2、3， 则 YB（3，） ，P（Y2）+ （）E（X）E（Y） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、期望值的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注注意排列组合知识的合理运用 18 （13 分）已知斜率为

23、1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两 点 （）求线段 AB 的长： （）已知点 M（4，0） ，证明：直线 AM 与直线 BM 不垂直 【分析】 （）联立方程，利用弦长公式直接求解 （）由x1x24（x1+x2）+16+y1y2124+16+4 30证明结论 【解答】解： （）设过点 F 且斜率为 1 的直线方程为：yx1， A（x1，y1） ，B（x2，y2） x26x+10 x1+x26，x1x21， |AB|8 （） ，y1y24 x1x24（x1+x2）+16+y1y2124+16+430 直线 AM 与直线 BM 不垂直 【点评】本题考查了直线

24、与抛物线的位置关系，向量数量积运算，属于中档题 19 （14 分）如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中 CC1底面 ABCCACB CACBCC1 1D，E 分别是 AA1，A1B1的中点 （）求证：C1EBD； （）求二面角 A1BDC1的大小： （）线段 C1，E 上是否存在点 F，使 A1F平面 C1BD？若存在，求的值；若不 第 15 页（共 18 页） 存在，说明理由 【分析】 （）易得 C1EAA1，C1E面 A1ABB1，即可证明 C1EBD； （）由（）可知 C1E面 A1BD，过 E 作 EODB 于 O，连接 C1O，可得C1OE 就 是二面角 A1BDC1的平面角解C1

25、OE 即可求解 （）如图 2，令 C1BCB1M取 C1B1的中点 H，连接 MH，HE，设 A1HC1EF， A1H平面 C1BD，可得 A1F平面 C1BD，在利用相似求解 【解答】解： （）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CACBE 是 A1B1的中点， C1EA1B1 CC1底面 ABC，C1EAA1， 又 AA1A1B1A1，C1E面 A1ABB1， 又 BD面 A1ABB1，C1EBD； （）由（）可知 C1E面 A1BD，过 E 作 EODB 于 O，连接 C1O，可得C1OE 就 是二面角 A1BDC1的平面角 CACBCACB1，C1E 在C1DB 中，BD，可得，即

26、C1DDB， 故， 二面角 A1BDC1的大小， （）如图 2，令 C1BCB1M取 C1B1的中点 H，连接 MH，HE，设 A1HC1EF， 易得 HEA1C1，A1HDMA1H平面 C1BD 可得 A1F平面 C1BD，此时， 第 16 页（共 18 页） 故线段 C1E 上存在点 F，使 A1F平面 C1BD，此时的值为 【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的证明，及二面角的求解，属于专题 20 （14 分）已知椭圆 C：+y21 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，设 M，N 是椭圆 C 上位 于 x 轴上方的两动点，且直线 MF1与直线 NF2平行，MF2与 NF1交于点 D （

27、）求 F1和 F2的坐标： （）求|MF1|NF2|的最小值： （）求证：|DF1|+|DF2|是定值 【分析】 （）由题设知 c1，即可求 F1和 F2的坐标 （）设 MF1与 NF2的方程分别为 x+1my，x1my，与椭圆方程联立，求出|MF1|、 |NF2|的表达式，可得|MF1|NF2|即可， （） 利用直线 AF1与直线 BF2平行， 点 B 在椭圆上知， 可得|DF1|， 同理|DF2|即|DF1|+|DF2| 第 17 页（共 18 页） 由得，|MF1|+|NF2|，|MF1|NF2|， 可得|DF1|+|DF2|为定值 【解答】解： （） 可得 c1，椭圆 C：+y21 的

28、左焦点为 F1，右焦点为 F2， F1（1，0） ，F2（1，0） ： （）直线 MF1与直线 NF2平行，设 MF1与 NF2的方程分别为 x+1my，x1 my 设 M（x1，y1） ，M（x2，y2） ，y10，y20， 由，可得（m2+2）y22my10 y1， |MF1|0y1| 同理|NF2| |MF1|NF2|1， 当 m0 时，|MF1|NF2|的取得最小值，最小值为 （）直线 AF1与直线 BF2平行，即 DF1 由点 B 在椭圆上知，NF1+NF22，|DF1|， 同理|DF2| |PF1|+|PF2| 第 18 页（共 18 页） 由得，|MF1|+|NF2|，|MF1|NF2|， |DF1|+|DF2|（定值） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力， 属于难题