2018-2019学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、矩形两边长分别为 a、b，且 a+2b6，则矩形面积的最大值是（ ） A4 B C D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 16 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2（nN*） ，则 a8的值是 17 （4 分）若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为 18 （4 分）已知 an是等差数列，a2+a4+a6+a816，求 S9 19 （4 分）已知 x0，则函数的最大值是 20 （4 分）已知实数 x，y 满足则 z2x+4y 的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 2 道大题，每大题道

2、大题，每大题 10 分，共分，共 20 分，请写出解题步骤分，请写出解题步骤 21 （10 分）已知等差数列an的公差不为 0，a13，且 a2，a4，a7成等比数列， （1）求an的通项公式； （2）求 a2+a4+a6+a2n 22 （10 分）某单位计划建一长方体状的仓库，底面如图，高度为定值仓库的后墙和底部 第 3 页（共 14 页） 不花钱，正面的造价为 40 元/m，两侧的造价为 45 元/m，顶部的造价为 20 元/m2设仓 库正面的长为 x（m） ，两侧的长各为 y（m） （1）用 x，y 表示这个仓库的总造价 t（元） ； （2）若仓库底面面积 S100m2时，仓库的总造价

3、t 最少是多少元，此时正面的长应设 计为多少 m？ 第 4 页（共 14 页） 2018-2019 学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷（学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷（AP） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分分 1 （4 分）在等差数列an中，若 a3+a4+a5+a6+a7450，则 a2+a8的值为（ ） A45 B90 C180 D300 【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即 可求出 a5的值， 然后把所求的式子也利用等差数列的性质

4、化简后，将 a5的值代入即可求 出值 【解答】解：由 a3+a4+a5+a6+a7（a3+a7）+（a4+a6）+a55a5450， 得到 a590， 则 a2+a82a5180 故选：C 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题学生化简已 知条件时注意项数之和等于 10 的两项结合 2 （4 分）等比数列an中，a29，a5243，an的前 4 项和为（ ） A81 B120 C168 D192 【分析】根据等比数列的性质可知等于 q3，列出方程即可求出 q 的值，利用即可 求出 a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前 n 项和的公式即可求 出an的

5、前 4 项和 【解答】解：因为q327，解得 q3 又 a13，则等比数列an的前 4 项和 S4120 故选：B 【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值， 是一道中档题 3 （4 分）如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么（ ） 第 5 页（共 14 页） Ab3，ac9 Bb3，ac9 Cb3，ac9 Db3，ac9 【分析】由等比数列的等比中项来求解 【解答】解：由等比数列的性质可得 ac（1）（9）9， bb9 且 b 与奇数项的符号相同， b3， 故选：B 【点评】本题主要考查等比数列的等比中项的应用 4 （4 分）设等差数列an的前 n

6、 项和为 Sn，若 a111，a4+a66，则当 Sn取最小值时， n 等于（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于 n 的二次函数解得 【解答】解：设该数列的公差为 d，则 a4+a62a1+8d2（11）+8d6，解得 d 2， 所以，所以当 n6 时，Sn取最小值 故选：A 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的 求法及计算能力 5 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Sn2n+12，则 a12+a22+an2（ ） A4（2n1）2 B4（2n 1+1）2 C D 【分析】利用数列的第 n 项

7、与前 n 项和减去前 n1 项和转化求解数列的通项公式，判断 数列是等比数列，然后求解新数列的和即可 【解答】解：当 n2 时，； 当 n1 时，适合上式 ， 是首项为 4，公比为 4 的等比数列， ， 第 6 页（共 14 页） 故选：C 【点评】本题考查数列通项公式的求法，数列的判断，数列求和的方法，考查计算能力 6 （4 分）正项等比数列an中，a2a510，则 lga3+lga4（ ） A1 B1 C2 D0 【分析】等比数列的定义和性质，得到 a3a410，故有 lga3+lga4lga3a4lg101 【解答】解：正项等比数列an中，a2a510，a3a410，lga3+lga4l

8、ga3a4lg10 1， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的定义和性质，得到 a3a410，是解题的关键 7 （4 分）数列 0.3，0.33，0.333，0.3333，的一个通项公式是（ ） A（10n1） B（10n1） C（1） D（10n1） 【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出 9，99，999，9999 的通项公式，由此可得 数列 0.9， 0.99， 0.999， 9999 的通项， 对其每一项都乘以， 即可得数列 0.3， 0.33， 0.333， 0.3333，的一个通项公式，分析可得答案 【解答】解：根据题意，数列 9，99，999，9999，的通项是 10n1， 则

9、数列 0.9，0.99，0.999，0.9999，的通项是（10n1）1， 则数列 0.3，0.33，0.333，0.3333，的一个通项公式是（1） ； 故选：C 【点评】本题考查数列的通项的求法，需要掌握常见数列的通项及求法 8 （4 分）已知数列，则是这个数列的（ ） A第六项 B第七项 C第八项 D第九项 【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为 3，即 an2 an123 从而利用等差数列通项公式 an22+（n1）33n120，得解，n7 【解答】解：数列， 各项的平方为：2，5，8，11， 521183， 即 an2an123， 第 7 页（共 14 页

10、） an22+（n1）33n1， 令 3n120，则 n7 故选：B 【点评】本题通过观察并利用构造法，构造了新数列an2为等差数列，从而得解，构造 法在数列中经常出现，我们要熟练掌握 9 （4 分）等比数列an中，a1+a2+a330，a4+a5+a6120，则 a7+a8+a9（ ） A240 B240 C480 D480 【分析】根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，整体代入后即可求出 q3的值， 然后把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，把 a1（1+q+q2）30 和求出 q3 的值代入即可求出值 【解答】解：因为 a1+a2+a3a1（1+q+q2）30，a4+a5+a6

11、a1q3（1+q+q2）120， 所以 q34， 则 a7+a8+a9a1q6（1+q+q2）a1（1+q+q2） （q3）23016480 故选：C 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质， 是一道基础题 10 （4 分）已知 ma+（a2） ，n（b0） ，则 m，n 的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn D不确定 【分析】分别判断出 m，n 的大小，然后比较即可 【解答】解：ma+（a2）+2+24（a2） ， n224（b0） ， 故 mn 故选：A 【点评】本题主要考查基本不等式的性质，主要应用条件，还有指数函数的性质，属于 基础题 11 （

12、4 分）已知 a，b，cR，且 ab，ab0，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa3b3 Bac2bc2 C Da2b2 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知中 ab，逐一分析四个答案中的不等式是否 第 8 页（共 14 页） 一定成立，可得答案 【解答】解：a，b，cR，且 ab，ab0， 故 a3b3成立，故 A 正确； 当 c0 时，则 ac2bc2，故 B 不一定成立； 由于 ab 符号不确定，故与的大小不能确定，故 C 不一定成立， 由于 a，b 符号不确定，故 a2与 b2的大小不能确定，故 D 不一定成立； 故选：A 【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的

13、基本性质，是解答 的关键 12 （4 分）已知0，则下列结论错误的是（ ） Aa2b2 B Cabb2 Dlga2lgab 【分析】根据题目给出的不等式，断定出 a、b 的大小和符号，然后运用不等式的基本性 质分析判断 【解答】解：由，得：ba0， 所以有 a2b2，所以 A 正确； 因为 ba0，所以，且，所以，所以 B 正 确； 因为 ab，b0，所以 abb2，所以 C 不正确； 因为 ab，a0，所以 a2ab，所以 lga2lgab，所以 D 正确 故选：C 【点评】本题考查了不等关系与不等式，解答此题的关键是掌握不等式的基本性质，特 别注意的是只有在 a、b 同号时才有 ab，是易

14、错题 13 （4 分）已知 x、y 满足，则 3xy 的最小值为（ ） A4 B6 C12 D16 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线 y2x 可得 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：作出 x、y 满足所对应的可行域（如图OAB） ， 变形目标函数可得 y3xz，平移直线 y3x 可知， 当直线经过点 A（2，2）时，截距z 取最大值， 目标函数 z 取最小值 3224， 故选：A 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 14 （4 分）不等式组表示的平面区域是（ ） A B C D 【分析】根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论 【解答】解：先在坐标

15、系中画出直线 y2x 和直线 yx 的图象， 由已知，不等式组表示的平面区域应为：在直线 y2x 的左下侧（包括直线 y2x）且在直线 yx 的左上侧部分（包括直线 yx） 故选：C 第 10 页（共 14 页） 【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合的数学思想， 属于基础题 15 （4 分）矩形两边长分别为 a、b，且 a+2b6，则矩形面积的最大值是（ ） A4 B C D2 【分析】根据两个数字的和是一个定值，利用基本不等式写出两个数的积的形式存在最 大值，整理出最大值的形式，得到结果 【解答】解：a+2b6 a+2b2， 2， ， 2ab9， ab 即矩形的面

16、积的最大值是， 故选：B 【点评】本题考查基本不等式的应用，是一个较简单的基本不等式的应用，注意不等式 的使用条件，本题是一个送分题目 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 16 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2（nN*） ，则 a8的值是 15 【分析】利用 a8S8S7，可得结论 【解答】解：数列an的前 n 项和， a8S8S7644915 故答案为：15 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于基础题 17 （4 分）若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为 1

17、【分析】 根据题意， 设三个数中中间项为 a， 由等比数列的性质可得 a38， 解可得 a2； 进而可得+2q4，解可得 q 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，若三数成等比数列，设其中间项为 a， 若三个数的积为 8，则有 a38，解可得 a2； 第 11 页（共 14 页） 又由首末两数之和为 4，则有+2q4， 解可得：q1； 故答案为：1 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项，属于基础题 18 （4 分）已知 an是等差数列，a2+a4+a6+a816，求 S9 36 【分析】根据等差数列的性质，由 a2+a4+a6+a816，即可得到关于第 5 项的方程，求出 方程

18、的解即可得到第 5 项的值，然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出 S9，再利用 等差数列的性质化为关于第 5 项的式子，把第 5 项的值代入即可求出值 【解答】解：由 a2+a4+a6+a84a516，解得 a54， 则 S99a536 故答案为：36 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质及前 n 项和的公式化简求值，是一道基 础题 19 （4 分）已知 x0，则函数的最大值是 【分析】由函数 变形为 ，再由基本不等式求得 t 从而有 得到结果 【解答】解：函数 由基本不等式得 t 故函数 的最大值是 故答案为： 【点评】本题主要考查函数最值的求法，一般有两种方法，一是函数法，二是

19、基本不等 式法，本题应用的是基本不等式法，要注意一正，二定，三相等 20 （4 分）已知实数 x，y 满足则 z2x+4y 的最大值为 14 第 12 页（共 14 页） 【分析】1画可行域 XY+20 并判断区域同理画其他两个边界并判断区域 2 目标函数 z 为该直线纵截距的 4 倍纵截距最大 在就最大 3 平移目标函数找纵截距的最大值 【解答】解：画可行域如图三角形 ABC，令 z0 得直线 l 图中蓝线，平移 l 过点 A（1， 3）时 z 有最大值 14，故答案为 14 【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法 目标函数几何意义 三、解答题：共三、解答题：共 2 道大题，每大题道大题，

20、每大题 10 分，共分，共 20 分，请写出解题步骤分，请写出解题步骤 21 （10 分）已知等差数列an的公差不为 0，a13，且 a2，a4，a7成等比数列， （1）求an的通项公式； （2）求 a2+a4+a6+a2n 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，且不为 0，运用等比数列的中项性质和等差数列的 通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； （2）求得 a2n2n+2，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，且 d0， ，a7成等比数列， 即， 化简得（a13d）d0， 公差 d0，a13d， 第 13 页（共 14 页） a

21、13，d1， ana1+（n1）dn+2； （2）由（1）知 a2n2n+2，故a2n是首项为 4、公差为 2 的等差数列， 所以 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质， 考查方程思想和运算能力，属于基础题 22 （10 分）某单位计划建一长方体状的仓库，底面如图，高度为定值仓库的后墙和底部 不花钱，正面的造价为 40 元/m，两侧的造价为 45 元/m，顶部的造价为 20 元/m2设仓 库正面的长为 x（m） ，两侧的长各为 y（m） （1）用 x，y 表示这个仓库的总造价 t（元） ； （2）若仓库底面面积 S100m2时，仓库的总造价 t 最少是多少

22、元，此时正面的长应设 计为多少 m？ 【分析】 （1）仓库的总造价 t正面造价+两侧造价+顶部造价，代入即可； （2） 把仓库底面面积 Sxy100m2 代入函数 t， 利用基本不等式求其最小值以及 x 的值 即可 【解答】解： （1）如图所示， 由题意，仓库的总造价为：t40x+452y+20xy（元） ； （ 2 ） 仓 库 底 面 面 积 S xy 100m2 时 ， t 40x+45 2y+20xy 40x+90y+2000 1200+20003200，当且仅当 40x90y 时，等号成立， 又xy100，x15（m） 所以，当仓库底面面积 S100m2 时，仓库的总造价最少是 3200 元，此时正面的长应设 计为 15m 【点评】 本题考查了利用基本不等式 a+b2（其中 a0， b0） 求函数最值的问题， 第 14 页（共 14 页） 属于基础题目