2019-2020学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、“a2”是“直线 2x+ay10 与直线 ax+3y20 垂直” （ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 3 （3 分）若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且 |PF1|3，则|PF2|等于（ ） A11 B9 C5 D3 4 （3 分）直线 l：x+y+30 被圆 C：（ 为参数）截得的弦长为（ ） A B C D8 5 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直 线与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 6（3 分） 设 ， 为两个不同

2、的平面， m， n 为两条不同的直线， 则下列命题中正确的为 （ ） A若 mn，n，则 m B若 m，n，则 mn C若 ，m，则 m D若 m，m，则 7 （3 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且 ，则AFK 的面积为（ ） A4 B8 C16 D32 第 2 页（共 18 页） 8 （3 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A B C3 D2 二、填空题二、填空题 9 （3 分）已知直线的参数方程为（t 为参数） ，则其倾斜角为 10

3、 （3 分）若圆 O：x2+y21 与圆 C：x2+y2+6x+8y+m0 相切，则实数 m 11 （3 分） 若方程表示的是焦点在 x 轴上的椭圆， 则 k 的取值范围是 12 （3 分）直线 l 与双曲线 x24y24 相交于 A、B 两点，若点 P（4，1）为线段 AB 的中 点，则直线 l 的方程是 13 （3 分）已知圆，圆 C2与圆 C1关于直线 yx+1 对称，则圆 C2的标准方程是 14 （3 分）已知椭圆 G：的两个焦点分别为 F1和 F2，短轴的两 个端点分别为 B1和 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|当 b 变化时， 给出下列

4、三个命题： 点 P 的轨迹关于 y 轴对称； 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个； |OP|的最小值为 2， 其中，所有正确命题的序号是 三、解答题三、解答题 15已知动点 P 与平面上点 A（1，0） ，B（1，0）的距离之和等于 2 （1）试求动点 P 的轨迹方程 C （2）设直线 l：ykx+1 与曲线 C 交于 M、N 两点，当|MN|时，求直线 l 的方程 16如图，在四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ADBC，AD AB，且 PBABAD3，BC1 第 3 页（共 18 页） （）若点 F 为 PD 上一点且 PFPD，证明：CF

5、平面 PAB； （）求二面角 BPDA 的大小 17 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆的离心率为， 点 （2， 1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与圆 O：x2+y22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求证：POQ 是定 值 18设 A、B 分别为椭圆的左右顶点，设点 P 为直线 x4 上不同于点（4，0） 的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点 M、N （1）判断 B 与以 MN 为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明 （2）记直线 x4 与轴的交点为 H，在直线 x4 上，求点 P，使得 SAPNSAPH 第 4

6、 页（共 18 页） 2019-2020 学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）抛物线 x24y 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （2，0） D （0，2） 【分析】把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标 【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为：x24y， 抛物线的焦点在 y 轴的正半轴，p2， 抛物线的焦点坐标为（0，1） 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题 2 （3 分） “a2”是“直线 2x+ay

7、10 与直线 ax+3y20 垂直” （ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 先求出直线 2x+ay10 与直线 ax+3y20 垂直时， a 满足的条件， 即可判断 【解答】解：当直线 2x+ay10 与直线 ax+3y20 垂直时，2a+3a0 即 a0， 所以“a2”是“直线 2x+ay10 与直线 ax+3y20 垂直”的既不充分又不必要条 件 故选：D 【点评】本题主要考查充分、必要条件的判断以及直线垂直的等价条件应用，属于基础 题 3 （3 分）若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且

8、|PF1|3，则|PF2|等于（ ） A11 B9 C5 D3 【分析】确定 P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论 【解答】解：由题意，双曲线 E：1 中 a3 第 5 页（共 18 页） |PF1|3，P 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得|PF2|PF1|6， |PF2|9 故选：B 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题 4 （3 分）直线 l：x+y+30 被圆 C：（ 为参数）截得的弦长为（ ） A B C D8 【分析】利用平方关系把圆 C 的参数方程化为标准方程，求出圆心 C 到直线 l 的距离 d， 利用直线 l 被圆 C 截得的弦长2即可得

9、出 【解答】解：圆 C：（ 为参数）化为： （x+1）2+（y2）216， 可得：圆心 C（1，2） ，半径 r4 圆心 C 到直线 l 的距离 d2 直线 l 被圆 C 截得的弦长224 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离结论公式、平方关系，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 5 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直 线与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】设右焦点 F（c，0） ，将代入椭圆方程求得 B，C 的坐标，运用两直线垂直 的条件：斜率之积为1，结合离心率公式，计算

10、即可得到所求值 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：设右焦点 F（c，0） ， 将代入椭圆方程可得 xaa， 可得 B（a，） ，C（a，） ， 由BFC90，可得 kBFkCF1， 即有 1， 化简为 b23a24c2， 由 b2a2c2，即有 3c22a2， 由 e，可得 e2， 可得 e， 故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1， 考查化简整理的运算能力，属于中档题 6（3 分） 设 ， 为两个不同的平面， m， n 为两条不同的直线， 则下列命题中正确的为 （ ） A若 mn，n，则 m B若 m，n，则 mn C若 ，m，则 m D若

11、 m，m，则 【分析】在 A 中，m 与 相交、平行或 m；在 B 中，m 与 n 平行或异面；在 C 中，m 与 相交、平行或 m；由面面垂直的判定定理得 【解答】解：由 ， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，得： 在 A 中，若 mn，n，则 m 与 相交、平行或 m，故 A 错误； 在 B 中，若 m，n，则 m 与 n 平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，若 ，m，则 m 与 相交、平行或 m，故 C 错误； 在 D 中，若 m，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查

12、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 第 7 页（共 18 页） 7 （3 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且 ，则AFK 的面积为（ ） A4 B8 C16 D32 【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设 A（x0， y0） ，过 A 点向准线作垂线 AB，则 B（2，y0） ，根据及 AFABx0 （2）x0+2，进而可求得 A 点坐标，进而求得AFK 的面积 【解答】解：抛物线 C：y28x 的焦点为 F（2，0） ，准线为 x2 K（2，0） 设 A（x0，y0） ，过 A 点向准线作垂

13、线 AB，则 B（2，y0） ，又 AFABx0（2）x0+2 由 BK2AK2AB2得 y02（x0+2）2，即 8x0（x0+2）2，解得 A（2，4） AFK 的面积为 故选：B 【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在ABK 中 集中条件求出 x0是关键； 8 （3 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A B C3 D2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论 【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa1） ，半焦

14、距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2 F1PF2， 第 8 页（共 18 页） 由余弦定理可得 4c2（r1）2+（r2）22r1r2cos， 在椭圆中，化简为即 4c24a23r1r2， 即， 在双曲线中，化简为即 4c24a12+r1r2， 即， 联立得，4， 由柯西不等式得（1+） （）（1+）2， 即（） 即，d 当且仅当时取等号， 法 2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2， （a1a2） ，半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F

15、2|2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2 F1PF2， 由余弦定理可得 4c2（r1）2+（r2）22r1r2cos（r1）2+（r2）2r1r2， 由，得， ， 令 m， 当时， 第 9 页（共 18 页） ， 即的最大值为， 法 3：设|PF1|m，|PF2|n，则， 则 a1+a2m， 则， 由正弦定理得， 即sin（120） 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决 本题的关键难度较大 二、填空题二、填空题 9 （3 分）已知直线的参数方程为（t 为参数） ，则其倾斜角为 【分析】把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角

16、的大小 【解答】解：直线的参数方程为（t 为参数） ， 消去参数 t，化为普通方程是 y1（x1） ， 则该直线的斜率为，倾斜角为 故答案为： 【点评】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题 10 （3 分）若圆 O：x2+y21 与圆 C：x2+y2+6x+8y+m0 相切，则实数 m 11 或 9 【分析】由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两 个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得 m 的值 【解答】解：圆 x2+y2+6x+8y+m0 即（x+3）2+（y+4）225m， 第 10 页（共 18 页） 表示以（3，4）为圆心，半径等于的

17、圆 由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 可得 5|1|， 解得 m11 两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得 5+1， 解得 m9， 故答案为：11 或 9 【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，两点间的距离公式，两圆的位置关系的判 定方法，属于中档题 11 （3 分）若方程表示的是焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 （， 5） 【分析】焦点在 x 轴上的椭圆，满足 x2的分母大于 y2的分母并且大于 0，建立不等式可 求 k 的取值范围 【解答】解：由题意方程表示的是焦点在 x 轴上的椭圆， k25k0， k5 故答案为： （，5） 【点评】本题以椭

18、圆的标准方程为载体，考查椭圆的性质，利用焦点在 y 轴上的椭圆， 满足 x2的分母大于 y2的分母并且大于 0，是解题的关键 12 （3 分）直线 l 与双曲线 x24y24 相交于 A、B 两点，若点 P（4，1）为线段 AB 的中 点，则直线 l 的方程是 xy30 【分析】设出 A，B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知 x1+x2和 y1+y2的值，进而求得直线 AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x28，y1+y22， x124y124，x224y224， 两式相减可得： （x1+x2） （x1x

19、2）4（y1+y2） （y1y2）0， 8（x1x2）8（y1y2）0， 第 11 页（共 18 页） kAB1， 直线的方程为 y11（x4） ，即 xy30 故答案为：xy30 【点评】涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的 中点坐标联系起来，相互转化 13 （3 分）已知圆，圆 C2与圆 C1关于直线 yx+1 对称，则圆 C2的标准方程是 x2+（y+1）21 【分析】求出圆 C2的圆心坐标，又圆 C1和圆 C2的半径相等，即可得到其方程 【解答】解：依题意，设圆 C2的圆心坐标为（a，b） ， 则因为圆，的圆心为（2，1） ， 所以解得， 所以圆 C2的

20、标准方程是：x2+（y+1）21， 故答案为：x2+（y+1）21， 【点评】本题考查了圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题 14 （3 分）已知椭圆 G：的两个焦点分别为 F1和 F2，短轴的两 个端点分别为 B1和 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|当 b 变化时， 给出下列三个命题： 点 P 的轨迹关于 y 轴对称； 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个； |OP|的最小值为 2， 其中，所有正确命题的序号是 【分析】运用椭圆的定义可得 P 也在椭圆+1 上，分别画出两个椭圆的图形， 即可判断正确； 通过 b

21、 的变化， 可得不正确； 由图象可得当 P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时， |OP| 的值取得最小，即可判断 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：椭圆 G：的两个焦点分别为 F1（，0）和 F2（，0） ， 短轴的两个端点分别为 B1（0，b）和 B2（0，b） ， 设 P（x，y） ，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|， 由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|2a22b， 即有 P 在椭圆+1 上 对于，将 x 换为x 方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称， 故正确； 对于，由图象可得轨迹关于 x，y 轴对称，且 0b， 则椭圆 G 上满足

22、条件的点 P 有 4 个， 不存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个，故不正确； 对于，由图象可得，当 P 满足 x2y2，即有 6b2b2，即 b时， |OP|取得最小值，可得 x2y22，即有|OP|的最小值为 2，故正确 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法， 以及运算能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 15已知动点 P 与平面上点 A（1，0） ，B（1，0）的距离之和等于 2 （1）试求动点 P 的轨迹方程 C 第 13 页（共 18 页） （2）设直线 l：ykx+1 与曲线 C 交于 M、N 两点，当|MN|时，

23、求直线 l 的方程 【分析】 （1）由椭圆的第一定义，可得 P 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，求得 a，b，c， 即可你到底所求轨迹方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，解方程可得 M，N 的坐标，再由两点的距离公式解方程 可得斜率 k，进而得到直线方程 【解答】解： （1）由|AB|2|PA|+|PB|2， 根据椭圆的第一定义，可得 P 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆， 且 2a2，即 a，c1， b1，则动点 P 的轨迹方程 C 为+y21； （2）将直线 l：ykx+1 代入椭圆方程 x2+2y22， 可得（1+2k2）x2+4kx0， 解得 x10，x2， 可得 M（0，1） ，

24、N（，） ， 由题意可得|MN|， 解得 k1，即有直线 l 的方程为 yx+1 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的第一定义，考查弦长的求法，注意 运用直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题 16如图，在四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ADBC，AD AB，且 PBABAD3，BC1 （）若点 F 为 PD 上一点且 PFPD，证明：CF平面 PAB； （）求二面角 BPDA 的大小 第 14 页（共 18 页） 【分析】 （）过点 F 作 FHAD，交 PA 于 H，连接 BH，证明 HFBC，CFBH，然 后证明 CF平面 PAD

25、（）说明 BCABPBAB，PBBC，以 B 为原点，BC，BA，BP 所在直线为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 BPD 的一个法向量，平面 APD 的一个法向量，通过 向量的数量积求解二面角 BPDA 的大小 【解答】证明： （）过点 F 作 FHAD，交 PA 于 H，连接 BH， 因为 PFPD，所以 HFADBC （1 分） 又 FHAD，ADBC，所以 HFBC （2 分） 所以 BCFH 为平行四边形，所以 CFBH （3 分） 又 BH平面 PAB，CF平面 PAB， （4 分） （一个都没写的，则这（1 分）不给） 所以 CF平面 PAB （5 分） 解： （）

26、因为梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，所以 BCAB 因为 PB平面 ABCD，所以 PBAB，PBBC， 如图，以 B 为原点，BC，BA，BP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， （6 分） 所以 C（1，0，0） ，D（3，3，0） ，A（0，3，0） ，P（0，0，3） 设平面 BPD 的一个法向量为 （x，y，z） ，平面 APD 的一个法向量为 （a，b，c） ， 因为（3，3，3） ，（0，0，3） 所以， （7 分） 取 x1 得到 （1，1，0） ， （8 分） 同理可得 （0，1，1） ， （9 分） 所以 cos， （10 分） 因为二面角 BPDA 为

27、锐角， 所以二面角 BPDA 为 （12 分） 第 15 页（共 18 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的 数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力 17 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆的离心率为， 点 （2， 1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与圆 O：x2+y22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求证：POQ 是定 值 【分析】 （1）由题得 e得到 a，b，c 的关系，再将点（2，1）代入可解得 a26， 进而得到方程； （2）考虑 PQ 斜率不存在和存在两种情况，分别计算出0，可得POQ

28、90 为定值 【解答】解： （1）由题得 e，所以 c2，则 b2， 再将点（2，1）带入方程得，解得 a26，所以 b23，则椭圆 C 的方程为： ； （2）当直线 PQ 斜率不存在时，则直线 PQ 的方程为 x或 x， 当 x时，P（，） ，Q（，） ，此时，所以 OPOQ，即 POQ90， 当 x时，同理可得 OPOQ，POQ90； 当直线 PQ 斜率存在时，不妨设直线 PQ 的方程为 ykx+m，即 kxy+m0， 第 16 页（共 18 页） 因为直线与圆相切，所以，即 m22k2+2， 联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m260， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，

29、则有， 此时x1x2+y1y2x1x2+ （kx1+m） （kx2+m） ， 将 m22k2+2 代入上式可得，所以 OPOQ，则POQ90； 综上：POQ 是定值为 90 【点评】 本题是直线与椭圆的综合， 计算出0 时判断POQ 是否为定值的关键， 属于中档题 18设 A、B 分别为椭圆的左右顶点，设点 P 为直线 x4 上不同于点（4，0） 的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点 M、N （1）判断 B 与以 MN 为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明 （2）记直线 x4 与轴的交点为 H，在直线 x4 上，求点 P，使得 SAPNSAPH 【分析】 （1

30、）由已知得 A（2，0） ，B（2，0） 设 M（x0，y0） 又点 M 异于顶点 A、B， 可得2x02由 P、A、M 三点共线可以得 P可得0，即可证明 （2）设 N（x1，y1） P（4，t）由 P、B、N 三点共线可得 t由 SAPNSAPH等 价于 SABNSBPH解得 x01即可 【解答】解： （1）点 B 在以 MN 为直径的圆内证明如下： 由已知可得 A（2，0） ，B（2，0） 设 M（x0，y0） M 点在椭圆上，y02（4x02） 又点 M 异于顶点 A、B，2x02 第 17 页（共 18 页） 由 P、A、M 三点共线可得， 即 P（4，） 从而（x02，y0） ，（2，） 2x04+（x024+3y02） 将代入，化简得（2x0） 2x00，0，于是MBP 为锐角，从而MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 （2）可得 A（2，0） ，B（2，0） 设 N（x0，y0） P（4，t） ， 由 P、B、N 三点共线可以得，即 t 又 SAPNSAPH等价于 SABNSBPH 即|y0|t|x01 +1，y0， t3 故点 P（4，3） 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想，运用三点 共线求点的坐标是关键，属于难题