2019-2020学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、若，则下列不等式：a+bab；|a|b|；ab；abb2中， 正确的不等式有（ ） A B C D 7 （3 分）已知 x，y0 且 x+4y1，则的最小值为（ ） A8 B9 C10 D11 8 （3 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的 兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学 问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第 第 2 页（共 16 页） 一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推求满足 如下条件的最小整数 N：N100

2、 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激 活码是（ ） A440 B330 C220 D110 二、填空题二、填空题 9 （3 分）在等比数列an中，若 a1+a218，a2+a312，则公比 q 为 10 （3 分）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0） ，焦距为 10，则它的标准方程为 11 （3 分）椭圆+1 的焦距为 2，则 m 的值等于 12 （3 分）若对任意正实数 a，不等式 x21+a 恒成立，则实数 x 的最小值为 13 （3 分）若命题“xR，有 x2mxm0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 14 （3 分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下

3、关系：甲、丙阅读量 之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量 大于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 三、解答题三、解答题 15已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S3 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn前 n 项和 Tn 16求过点，离心率的双曲线的标准方程 17已知 f（x）ax2+xa，aR （1）若 a1，解不等式 f（x）1； （2）若 a0，解不等式 f（x）1 18如图，椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 于 P，Q 两点，且 PQPF1

4、 （）若|PF1|2+|2，求椭圆的标准方程； （）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率 e 第 3 页（共 16 页） 19设函数 f（x）x+，x0，+） （1）当 a2 时，求函数 f（x）的最小值； （2）当 0a1 时，求函数 f（x）的最小值 20有限数列 An：a1，a2，an （n3）同时满足下列两个条件： 对于任意的 i，j（1ijn） ，aiaj； 对于任意的 i，j，k（1ijkn） ，aiaj，ajak，aiak三个数中至少有一个数是数列 An中的项 （）若 n4，且 a11，a22，a3a，a46，求 a 的值； （）证明：2，3，5 不可能是数列 An中的项； （）求

5、 n 的最大值 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）过椭圆+1（ab0）的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右 焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】 把 xc 代入椭圆方程求得 P 的坐标， 进而根据F1PF260推断出 整理得e2+2e0，进而求得椭圆的离心率 e 【解答】解：由题意知点 P 的坐标为（c，）或（c，） ， F1PF260， ， 即 2acb2（a2c2） e

6、2+2e0， e或 e（舍去） 故选：B 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析 推理的能力 2 （3 分）在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6（ ） A1 B0 C1 D6 【分析】直接利用等差中项求解即可 【解答】解：在等差数列an中，若 a24，a42，则 a4 （a2+a6）2， 解得 a60 故选：B 【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力 第 5 页（共 16 页） 3 （3 分）椭圆 2x2+3y212 的两焦点之间的距离为（ ） A2 B C2 D 【分析】把椭圆方程化为标准形式，求出 a，b 然后求出焦

7、距即可 【解答】解：椭圆 2x2+3y212 化为，所以 a26；b24，所以 c22，所以 2c 椭圆 2x2+3y212 的两焦点之间的距离为： 故选：C 【点评】本题是基础题，考查椭圆的基本性质，注意 a，b，c，的换算关系即可 4 （3 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个 焦点坐标为（2，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出 a、b，即可得 到双曲线方程 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是， 可得，它的一个焦点坐标为（2，0） ，可得 c2，即 a2+b24， 解得 a1，b， 所求双曲线方程为：

8、故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 5 （3 分） “ （x1） （x+2）0”是“x1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页（共 16 页） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由（x1） （x+2）0 得 x1 或 x2， 则“ （x1） （x+2）0”是“x1”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 （3 分）若，则下列不等式：a+bab；|a|b|；ab；abb2中， 正

9、确的不等式有（ ） A B C D 【分析】由，可得 ba0再利用不等式的基本性质即可得出 【解答】解：，ba0 则下列不等式：a+b0ab，正确； |a|b|，不正确； ab，不正确； abb2，正确 正确的不等式有 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （3 分）已知 x，y0 且 x+4y1，则的最小值为（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】由（） （x+4y） ，展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最 值 【解答】解：x，y0 且 x+4y1， （） （x+4y）1+4+ 当且仅当 x，y时，等号成立 的最小值为 9 故选：B

10、 第 7 页（共 16 页） 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题 8 （3 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的 兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学 问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第 一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推求满足 如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激 活码是（ ） A440 B330 C220 D110 【分析】

11、方法一：由数列的性质，求得数列bn的通项公式及前 n 项和，可知当 N 为 时（nN+） ，数列an的前 N 项和为数列bn的前 n 项和，即为 2n+1n2，容 易得到 N100 时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 Sn2n+12n，及项数，由题意可知： 2n+1为 2 的整数幂只需将2n 消去即可，分别即可求得 N 的值 【解答】解：设该数列为an，设 bn+2n+11， （nN+） ，则 ai， 由题意可设数列an的前 N 项和为 SN， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 则 Tn211+221+ +2n+112n+1n2，

12、可知当 N 为时（nN+） ，数列an的前 N 项和为数列bn的前 n 项和，即为 2n+1 n2， 容易得到 N100 时，n14， A 项，由435，440435+5，可知 S440T29+b5230292+251230，故 A 项符合题意 B 项，仿上可知325，可知 S330T25+b5226252+251226+4，显然不 为 2 的整数幂，故 B 项不符合题意 C 项，仿上可知210，可知 S220T20+b10221202+2101221+21023， 显然不为 2 的整数幂，故 C 项不符合题意 第 8 页（共 16 页） D 项，仿上可知105，可知 S110T14+b521

13、5142+251215+15，显然不 为 2 的整数幂，故 D 项不符合题意 故选 A 方 法 二 ： 由 题 意 可 知 ：， ， 根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1， 每项含有的项数为：1，2，3，n， 总共的项数为 N1+2+3+n， 所有项数的和为 Sn： 211+221+231+2n1 （21+22+23+2n） n n2n+12n， 由题意可知：2n+1为 2 的整数幂只需将2n 消去即可， 则1+2+（2n）0，解得：n1，总共有+23，不满足 N100， 1+2+4+（2n）0，解得：n5，总共有+318，不满足 N100， 1+2+

14、4+8+（2n） 0， 解得： n13， 总共有+495， 不满足 N100， 1+2+4+8+16+（2n）0，解得：n29，总共有+5440，满足 N 100， 该款软件的激活码 440 故选：A 【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前 n 项和，考查计算能力，属于 难题 二、填空题二、填空题 9 （3 分）在等比数列an中，若 a1+a218，a2+a312，则公比 q 为 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解：a1+a218，a2+a312，则公比 q 第 9 页（共 16 页） 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力

15、与计算能力，属于 中档题 10（3 分） 若双曲线的一个顶点坐标为 （3， 0） ， 焦距为 10， 则它的标准方程为 【分析】根据顶点坐标求得 a，根据焦距求得 c，进而根据 b2c2a2求得 b，进而求得 双曲线的标准方程 【解答】解：依题意可知 a3，c5 b4 根据顶点坐标可知焦点在 x 轴， 双曲线的方程为 故答案为： 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利 用 a，b 和 c 的关系，同时注意焦点是在 x 轴还是在 y 轴 11 （3 分）椭圆+1 的焦距为 2，则 m 的值等于 3 或 5 【分析】由题意可得：c1，再分别讨论焦点的位置进而求出

16、 m 的值 【解答】解：由题意可得：c1 当椭圆的焦点在 x 轴上时，m41，解得 m5 当椭圆的焦点在 y 轴上时，4m1，解得 m3 故答案为：3 或 5 【点评】本题只要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质 12 （3 分）若对任意正实数 a，不等式 x21+a 恒成立，则实数 x 的最小值为 1 【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到 x 的取值 范围 【解答】解：对任意正实数 a，不等式 x21+a 恒成立， 等价于 ax21， 第 10 页（共 16 页） a（x21）max 0（x21）max 1x1 实数 x 的最小值为1 【点评】本题考查恒成立

17、转化为最值问题，二次函数不等式，数形结合，像得到 x 的取 值范围 13 （3 分）若命题“xR，有 x2mxm0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 （4， 0） 【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出 m 的取值范围即可 【解答】解：命题“xR，有 x2mxm0”是假命题， 它的否定命题是“xR，有 x2mxm0” ，是真命题， 即 m2+4m0； 解得4m0， m 的取值范围是（4，0） 故答案为： （4，0） 【点评】本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是 全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题 14 （3 分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四

18、名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量 之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量 大于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 甲丁乙丙 【分析】根据演绎推理结合已知的语句即可判断 【解答】解：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大 于丙、丁阅读量之和， 所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量， 因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和， 所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙， 故答案为：甲丁乙丙 【点评】本题考查了演绎推理的问题，关键是理解语句之间的关系，属于基础题 三、解答题三、解答题

19、第 11 页（共 16 页） 15已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S3 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn前 n 项和 Tn 【分析】 （I）设等差数列an的公差为 d，由 a32，前 3 项和 S3可得 a1+2d2， 3a1+3d，解得 a1，d即可得出 （II）b1a11，b4a158，可得等比数列bn的公比 q 满足 q38，解得 q利用求 和公式即可得出 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 d，a32，前 3 项和 S3 a1+2d2，3a1+3d，解得 a11，d an1+（n1） （II）b1a11，b4a158，可得

20、等比数列bn的公比 q 满足 q38，解得 q2 bn前 n 项和 Tn2n1 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 16求过点，离心率的双曲线的标准方程 【分析】由已知分焦点在 x 轴或 y 轴上分别列关于 a，b，c 的方程组求解 【解答】解：当双曲线焦点在 x 轴上时，点（3，）在双曲线 C 上，且双曲线 C 的离心率 e， ，解得 a21，b2 双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在 y 轴上时， 点 （3， ） 在双曲线 C 上， 且双曲线 C 的离心率 e， 第 12 页（共 16 页） ，此方程组无解 综上，双曲线 C 的

21、标准方程为 【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础 题 17已知 f（x）ax2+xa，aR （1）若 a1，解不等式 f（x）1； （2）若 a0，解不等式 f（x）1 【分析】 （1）若 a1，不等式 f（x）1 可化为：x2+x11，即 x2+x20，解得答 案； （2）若 a0，不等式 f（x）1 可化为：ax2+xa10，即（x1） （x+）0， 分类讨论可得不同情况下不等式的解集 【解答】解： （1）若 a1，不等式 f（x）1 可化为：x2+x11，即 x2+x20， 解得：x（，21，+） ， （2）若 a0，不等式 f（x）1 可化为：a

22、x2+xa10，即（x1） （x+）0， 当1，即 a时，不等式的解集为（，1） ； 当1，即 a时，不等式的解集为； 当1，即a0 时，不等式的解集为（1，） 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质， 是解答的关键 18如图，椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 于 P，Q 两点，且 PQPF1 （）若|PF1|2+|2，求椭圆的标准方程； （）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率 e 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （）由椭圆的定义，2a|PF1|+|PF2|，求出 a，再根据 2c|F1F2| 2，求出 c，进而

23、求出椭圆的标准方程； （）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|PF1|4a2|PF1|，解得|PF1|2（2） a，从而|PF2|2a|PF1|2（1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率 【解答】解： （）由椭圆的定义，2a|PF1|+|PF2|2+24，故 a2， 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF2PF1，因此 2c|F1F2|2， 即 c，从而 b1， 故所求椭圆的标准方程为 （）连接 F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|2a，|QF1|+|QF2|2a， 从而由|PF1|PQ|PF2|+|QF2|， 有|QF1|4a2|PF1|， 又由 PQPF1，|PF1|PQ|，知|QF1

24、|PF1|4a2|PF1|，解得|PF1|2（2）a， 从而|PF2|2a|PF1|2（1）a， 由 PF2PF1， 知 2c|F1F2|， 因此 e 【点评】本题考查了椭圆的定义 2a|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股 定理，属于中档题 19设函数 f（x）x+，x0，+） （1）当 a2 时，求函数 f（x）的最小值； （2）当 0a1 时，求函数 f（x）的最小值 【分析】 （1）当 a2 时，将函数 f（x）变形，然后利用均值不等式即可求出函数 f（x） 第 14 页（共 16 页） 的最小值； （2）先取值任取 0x1x2然后作差 f（x1）f（x2） ，判定其

25、符号即可判定函数 f（x） 在0，+）上的单调性，从而求出函数的最小值 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）x+x+1+121 当且仅当 x+1，即 x1 时取等号， f（x）min21 （2）当 0a1 时，任取 0x1x2， f（x1）f（x2）（x1x2）1， 0a1， （x1+1） （x2+1）1， 10， x1x2，f（x1）f（x2） ，即 f（x）在0，+）上为增函数， f（x）minf（0）a 【点评】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查 了计算能力，属于中档题 20有限数列 An：a1，a2，an （n3）同时满足下列两个条件： 对于任意

26、的 i，j（1ijn） ，aiaj； 对于任意的 i，j，k（1ijkn） ，aiaj，ajak，aiak三个数中至少有一个数是数列 An中的项 （）若 n4，且 a11，a22，a3a，a46，求 a 的值； （）证明：2，3，5 不可能是数列 An中的项； （）求 n 的最大值 【分析】 （）利用，推出 a 的范围利用，求解 a 的值即可 （）利用反证法：假设 2，3，5 是数列 An中的项，利用已知条件，推出 an2 an3，得到矛盾结果 （）n 的最大值为 9，证明如下：（8 分） （1）令，则 A9符合、（11 分） （2）设 An：a1，a2，an（n3）符合、， （）An中至多有

27、三项，其绝对值大 第 15 页（共 16 页） 于 1 利用反证法证明假设 An中至少有四项，其绝对值大于 1，不正确； （）An中至多有三 项，其绝对值大于 0 且小于 1利用反证法推出矛盾结论、 （）An中至多有两项绝对值 等于 1 （）An中至多有一项等于 0推出 n 的最大值为 9 【解答】 （共 14 分） 解： （）由，得 2a6 由，当 i2，j3，k4 时.2a，6a，12 中至少有一个是数列 1，2，a，6 中的项，但 6a6，126，故 2a6，解得 a3 经检验，当 a3 时，符合题意（3 分） （）假设 2，3，5 是数列 An中的项，由可知：6，10，15 中至少有一

28、个是数列 An 中的项，则有限数列 An的最后一项 an5，且 n4 由，anan1an2an31（4 分） 对于数 an2，an1，an，由可知：an2an1an；对于数 an3，an1，an，由可知： an3an1an（6 分） 所以 an2an3，这与矛盾 所以 2，3，5 不可能是数列 An中的项（7 分） （）n 的最大值为 9，证明如下：（8 分） （1）令，则 A9符合、（11 分） （2）设 An：a1，a2，an（n3）符合、，则： （）An中至多有三项，其绝对值大于 1 假设 An中至少有四项，其绝对值大于 1，不妨设 ai，aj，ak，al是 An中绝对值最大的四 项，其

29、中 1|ai|aj|ak|al| 则对 ai，ak，al有|aial|al|，|akal|al|，故 aial，akal均不是数列 An中的项，即 aiak是数 列 An中的项 同理：ajak也是数列 An中的项 但|aiak|ak|，|ajak|ak| 所以 aiakajakal 所以 aiaj，这与矛盾 第 16 页（共 16 页） （）An中至多有三项，其绝对值大于 0 且小于 1 假设 An中至少有四项，其绝对值大于 0 且小于 1，类似（）得出矛盾 （）An中至多有两项绝对值等于 1 （）An中至多有一项等于 0 综合（） ， （） ， （） ， （）可知 An中至多有 9 项 （14 分） 由（1） ， （2）可得，n 的最大值为 9 【点评】本题考查数列的应用，反证法的证明方法，分类讨论思想的应用，难度比较大， 开学分析问题解决问题的能力