2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、过点（1，2）且与直线 2x3y+40 垂直的直线方程为（ ） A3x+2y10 B3x+2y+70 C2x3y+50 D2x3y+80 4 （5 分）设 m 是不为零的实数，则“m0”是“方程表示的曲线为双曲线” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知椭圆+1 的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上一点，且|MF1|MF2| 1 则MF1F2是（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 6 （5 分）已知点 F1、F2是椭圆 x2+2y22 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）

2、A0 B1 C2 D 7 （5 分）已知直线 xy+m0 与圆 O：x2+y21 相交于 A，B 两点，且AOB 为正三角形， 则实数 m 的值为（ ） A B C或 D或 8 （5 分）在ABC 中，ABAC1，D 是 AC 的中点，则的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题： （共二、填空题： （共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 第 2 页（共 17 页） 10 （5 分）已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，过点（2，2）且与直线 x+y0 相切，则圆 C 的方程是 11 （5 分）已知 l 为双曲线

3、C：1 的一条渐近线，其倾斜角为，且 C 的右焦 点为（2，0） ，则 C 的右顶点为 ，C 的方程为 12 （5 分）已知圆的方程为 x2+y2+2x8y+80，过点 P（1，0）作该园的一条切线，切点 为 A，那么线段 PA 的长度为 13 （5 分）若O1：x2+y25 与O2： （xm）2+y220（mR）相交于 A、B 两点，且两 圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 14 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若，0，则 C 的离心率为 三、解答题： （共三、解答题： （共

4、6 小题，小题，17、19 题每题题每题 14 分，其余每题分，其余每题 13 分，共分，共 80 分）分） 15 （13 分）已知函数 （1）求函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数 f（x）在区间上的最大值与最小值，以及此时 x 的取值 16 （13 分）在ABC 中，a2+c2b2+ac （1）求 cosB 的值； （2）若，a8，求 b 以及 SABC的值 17 （14 分）已知的短轴长，离心率为，圆 O：x2+y2 b2 （1）求椭圆 C 和圆 O 的方程； （2）过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若直线 l 于圆 O 交于 M，N 两点，求直

5、线 l 的方程及OAB 与OMN 的面积之比 18 （13 分）已知函数 f（x）（ax+a）ex（其中 e2.71828） ，g（x）x2+bx+2，已知 f （x）和 g（x）在 x0 处有相同的切线 第 3 页（共 17 页） （1）求函数 f（x）和 g（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间3，3上的最大值和最小值； （3）判断函数 F（x）2f（x）g（x）+2 的零点个数，并说明理由 19 （14 分）已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心 率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，过点 B 作平行于 x 轴的直线 B

6、N，交 直线 x5 于点 N，求证：直线 AN 恒过定点 20 （13 分）已知an是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数 n，该数列前 n 项的 最大值记为 An，第 n 项之后各项 an+1，an+2，的最小值记为 Bn，记 dnAnBn （1）若数列an的通项公式为 an，求数列dn的通项公式； （2）证明： “数列an单调递增”是“nN*，dn0”的充要条件； （3）若 dnan对任意 nN*恒成立，证明：数列an的通项公式为 an0 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析

7、参考答案与试题解析 一、选择题： （共一、选择题： （共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） A B C D 【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍可知 a2b，进而可求得 c 关于 a 的表达式， 进而根据求得 e 【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，a2b，椭圆的离心率， 故选：D 【点评】本题主要考查了椭圆的基本性质属基础题 2 （5 分）倾斜角为 135，在 y 轴上的截距为1 的直线方程是（ ） Axy+10 Bxy10 Cx+y10 Dx+y+10 【分析】先求出

8、直线的斜率，再利用在 y 轴上的截距是1，用斜截式写出直线方程 【解答】解：直线倾斜角是 135， 直线的斜率等于1， 在 y 轴上的截距是1， 由直线方程的斜截式得：y1x1， 即 yx1， 故选：D 【点评】本题考查倾斜角与斜率的关系，用斜截式求直线的方程方法，解题的关键是正 确把握截距的含义，属于基础题 3 （5 分）过点（1，2）且与直线 2x3y+40 垂直的直线方程为（ ） A3x+2y10 B3x+2y+70 C2x3y+50 D2x3y+80 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线 2x3y+40 垂直的直线方程为 3x2y+c0，再把点（1，2）代入，即可求出 c

9、值，得到所求方程 【解答】解：所求直线方程与直线 2x3y+40 垂直，设方程为3x2y+c0 直线过点（1，2） ，3（1）22+c0 第 5 页（共 17 页） c1 所求直线方程为 3x+2y10 故选：A 【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方 程，属于常规题 4 （5 分）设 m 是不为零的实数，则“m0”是“方程表示的曲线为双曲线” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】方程表示的曲线为双曲线m0即可判断出结论 【解答】解：方程表示的曲线为双曲线m0 “m0”是“方程表示的曲线为双曲线”的

10、充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 5 （5 分）已知椭圆+1 的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上一点，且|MF1|MF2| 1 则MF1F2是（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 【分析】由椭圆的定义知，|F1F2|2，|MF1|+|MF2|4，又由|MF1|MF2|1 可知， |MF2|2+|F1F2|2|MF1|2 【解答】解：由题意， |F1F2|2，|MF1|+|MF2|4， |MF1|MF2|1， |MF1|，|MF2|， 第 6 页（共 17 页） |MF2|2+|

11、F1F2|2|MF1|2， 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，属于基础题 6 （5 分）已知点 F1、F2是椭圆 x2+2y22 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ） A0 B1 C2 D 【分析】根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点 P 到原点 距离的 2 倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小 值是 2 【解答】解：O 为 F1F2的中点， 2，可得2| 当点 P 到原点的距离最小时，|达到最小值，同时达到最小值 椭圆 x2+2y22 化成标准形式，得1 a22 且 b21，可得 a，b1 因此点 P 到原点

12、的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|最小值为 b1 2|的最小值为 2 故选：C 【点评】本题给出点 F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点 P 指向两个焦点所成 向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于 基础题 7 （5 分）已知直线 xy+m0 与圆 O：x2+y21 相交于 A，B 两点，且AOB 为正三角形， 第 7 页（共 17 页） 则实数 m 的值为（ ） A B C或 D或 【分析】直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果 【解答】解：直线 xy+m0 与圆 O：x2+y21 相交于 A，B 两点，且AOB 为

13、正三角 形， 则：AOB 的边长为 1， 则：圆心（0，0）到直线 xy+m0 的距离 d， 解得：m 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用 8 （5 分）在ABC 中，ABAC1，D 是 AC 的中点，则的取值范围是（ ） A B C D 【分析】利用已知条件表示的表达式，然后求解范围即可 【解答】解：（） ，设CAB（0，） ， 所以cos（） （） 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力 二、填空题： （共二、填空题： （共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 yx 【

14、分析】由双曲线的方程1 的渐近线方程为 yx，求得 a，b，即可得到 第 8 页（共 17 页） 渐近线方程 【解答】解：双曲线 x21 的 a1，b， 可得渐近线方程为 yx， 即有 yx 故答案为：yx 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力， 属于基础题 10 （5 分）已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，过点（2，2）且与直线 x+y0 相切，则圆 C 的方程是 （x1）2+（y1）22 【分析】根据题意，设圆 C 的圆心为（a，a） ，半径为 r，结合题意可得 r2（a2）2+ （a2）2（）2，解可得 a 的值，即可得圆心的坐标，据此求出 r

15、 的值，由圆的 标准方程即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 C 的圆心在直线 xy0 上，设圆 C 的圆心为（a，a） ，半径 为 r； 又由圆 C 过点（2，2）且与直线 x+y0 相切，则有 r2（a2） 2+（a2）2（ ） 2， 解可得 a1，即圆心的坐标为（1，1） ， 则 r2（a2）2+（a2）22， 则圆 C 的方程为（x1）2+（y1）22； 故答案为： （x1）2+（y1）22 【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心， 属于基础题 11 （5 分）已知 l 为双曲线 C：1 的一条渐近线，其倾斜角为，且 C 的右焦 点为（2，0） ，

16、则 C 的右顶点为 （，0） ，C 的方程为 1 【分析】由题意可得 c2，求出渐近线方程，解方程可得 a，b，即可得到右顶点和双曲 线的方程 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：由题意可得 c2，即 a2+b24， 一条渐近线的斜率为 ktan1， 解得 ab， 则双曲线的右顶点为（，0） ， C 的方程为1 故答案为： （，0） ，1 【点评】本题考查双曲线的顶点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题 12 （5 分）已知圆的方程为 x2+y2+2x8y+80，过点 P（1，0）作该园的一条切线，切点 为 A，那么线段 PA 的长度为 【分析】由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和

17、半径，再利用切线长定理求得切线 长 PA 的值 【解答】解：圆 x2+y2+2x8y+80，即 （x+1）2+（y4）29，表示以 C（1，4） 为圆心、半径 R3 的圆， 再由切线长定理可得切线长 PA， 故答案为： 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，切线长定理，属于基础题 13 （5 分）若O1：x2+y25 与O2： （xm）2+y220（mR）相交于 A、B 两点，且两 圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 4 【分析】画出草图，O1AAO2，有勾股定理可得 m 的值，再用等面积法，求线段 AB 的 长度 【解答】解：由题知 O1（0，0） ，O2（m，0） ，半

18、径分别为，2，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即m3 又 O1AO2A，所以有 m2+25，m5 再根据AO1AO2O1O2，求得 AB24， 故答案为：4 【点评】本小题主要考查圆的标准方程、两直线的位置关系、直线和圆相交的性质等知 第 10 页（共 17 页） 识，属于基础题 14 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若，0，则 C 的离心率为 2 【分析】由题意画出图形，结合已知可得 F1BOA，写出 F1B 的方程，与 y联立求 得 B 点坐标，再由斜边的中线等于斜

19、边的一半求解 【解答】解：如图， ，且0，OAF1B， 则 F1B：y， 联立，解得 B（，） ， 则， 整理得：b23a2，c2a23a2，即 4a2c2， ，e 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力， 是中档题 三、解答题： （共三、解答题： （共 6 小题，小题，17、19 题每题题每题 14 分，其余每题分，其余每题 13 分，共分，共 80 分）分） 15 （13 分）已知函数 第 11 页（共 17 页） （1）求函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数 f（x）在区间上的最大值与最小值，以及此时 x 的取值 【分

20、析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积 （1）求出函数的半周期得答案； （2）由 x 的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的 x 值 【解答】解： 2sin（2x+）+1 （1）函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为； （2）x，2x+， 当 2x+，即 x时，f（x）取得最大值为 3； 当 2x+，即 x时，f（x）取得最小值为 0 【点评】本题考查 yAsin（x+）型函数的图象与性质，训练了倍角公式与两角和的 正弦的应用，是基础题 16 （13 分）在ABC 中，a2+c2b2+ac （1）求 cosB 的值； （2）若，a8，求 b 以及 SABC的值 【分

21、析】 （1）直接把等式变形即可求解； （2）先利用同角三角函数关系式求出角 A，B 的正弦值，再借助于正弦定理求出 b，带 入已知条件求出 c，进而求出三角形的面积 【解答】解： （1）由余弦定理及已知得：cosB， （2）因为 A，B 为三角形内角， 所以 sinA，sinB， 由正弦定理得：b7， 第 12 页（共 17 页） 又cosA c22c150，解得 c5 （c3 舍） SABCbcsinA10 【点评】本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积 公式和计算能力，属于中档题目 17 （14 分）已知的短轴长，离心率为，圆 O：x2+y2 b2 （1）求椭

22、圆 C 和圆 O 的方程； （2）过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若直线 l 于圆 O 交于 M，N 两点，求直线 l 的方程及OAB 与OMN 的面积之比 【分析】 （1）由条件可知 b，再结合离心率即可求出 a； （2）有条件可知 k 存在且不为 0，联立椭圆与直线 l 方程，用 k 表示出|AB|，求出 k 即可 得 l 方程； 根据 l 方程可求出圆心到 l 距离，|MN|，表示出面积即可求出面积之比 【解答】解： （1）由题得 b，e，所以 c2a2，所以 b2a23，则 a2 4， 所以椭圆 C 的方程为：，圆 O 的方程为：x2+y23； （2）根据题意可

23、知，左焦点 F（1，0） ，且直线 l 的斜率存在且不为 0， 不妨设 yk（x+1） ，联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120， 所以 xA+xB， 所以|AB|xAxB|12， 解得 k，则 l：y（x+1） ； 第 13 页（共 17 页） 所以原点到 l 的距离 d，所以AOB 面积为； MN23，所以MON 面积为，所以OAB 与OMN 的 面积之比为 16：15 【点评】本题考查椭圆方程的求法，涉及直线与圆的交点，直线与椭圆的交点等，属于 中档题 18 （13 分）已知函数 f（x）（ax+a）ex（其中 e2.71828） ，g（x）x2+bx+2，已知 f （x

24、）和 g（x）在 x0 处有相同的切线 （1）求函数 f（x）和 g（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间3，3上的最大值和最小值； （3）判断函数 F（x）2f（x）g（x）+2 的零点个数，并说明理由 【分析】 （1）f（x）（ax+a）ex（其中 e2.71828） ，g（x）x2+bx+2，f（0）a， g（0）2利用导数运算性质可得：f（x） ，g（x） ，根据 f（x）和 g（x）在 x0 处有相同的切线可得 f（0）g（0） f（0）g（0） ，联立解得 a，b （2）f（x）2（x+1）ex，x3，3利用导数运算法则可得：f（x） ，研究其单调 性可得极值，再求出区间端

25、点函数值即可得出 （3）函数 F（x）2f（x）g（x）+24（x+1）exx24x利用导数研究函数的单调 性极值即可得出函数 F（x）的零点个数 【解答】解： （1）f（x）（ax+a）ex（其中 e2.71828） ，g（x）x2+bx+2， f（0）a，g（0）2 f（x）a（x+2）ex，g（x）2x+b， f（0）2a，g（0）b f（x）和 g（x）在 x0 处有相同的切线 2ab，a2 解得 a2，b4 f（x）2（x+1）ex，g（x）x2+4x+2， （2）f（x）2（x+1）ex，x3，3 f（x）2（x+2）ex，可得 f（x）在3，2）上单调递减，在（2，3上单调递增

26、x2 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（2） 第 14 页（共 17 页） 又 f（3），f（3）8e3 x3 时，函数 f（x）取得最大值，f（3）8e3 综上可得：函数 f（x）在区间3，3上的最大值和最小值分别为：8e3， （3）函数 F（x）2f（x）g（x）+24（x+1）exx24x F（x）4（x+2）ex2x42（x+2） （2ex1） 令 F（x）0，解得 x2，xln2 可得：x2 时，函数 F（x）取得极大值，F（2）40； xln2函数 F（x）取得极小值，F（ln2）2+2ln2ln220 又 x时，F（x） 可得：函数 F（x）2f（x）g（x）+2 只有一

27、个零点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、切 线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题 19 （14 分）已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心 率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，过点 B 作平行于 x 轴的直线 BN，交 直线 x5 于点 N，求证：直线 AN 恒过定点 【分析】 （1）由题意可得 a，由离心率公式可得 c，再由 a，b，c 的关系可得 b，即 可得到所求椭圆方程； （2）讨论直线 l 的斜率不存在，设为 x1，求得 A，B，N 的坐标，可得直线 AN 的方程， 直线 A

28、N 恒过定点 Q（3，0） ；当直线 l 的斜率存在，设过点（1，0）的直线 l 的方程为 y k（x1） ，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条 件，即可得到定点 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为， 则 a， 又离心率为，即 e，解得 c2，b2a2c21， 椭圆 C 的方程为+y21； （2） 证明： 当直线 l 的斜率不存在， 即方程设为 x1， 代入椭圆方程可得 y ， 即有 A（1，） ，B（1，） ，N（5，） ， 直线 AN 的方程为 y（x3） ，直线 AN 恒过定点 Q（3，0） ； 当直线 l 的

29、斜率存在，设过点（1，0）的直线 l 的方程为 yk（x1） ， 由，消去 y 整理得（1+5k2）x210k2x+5k250 由100k44（1+5k2） （5k25）80k2+200 恒成立， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，N（5，y2） ， 则 x1+x2，x1x2， kAN， 由 kQN，kANkQNk（） k， 由可得 x1x23（x1+x2）+53+50， 则 kANkQN0，即 kANkQN， 综上可得直线 AN 过定点（3，0） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程 和椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查转化思想

30、和运算能力、推理能 第 16 页（共 17 页） 力，属于难题 20 （13 分）已知an是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数 n，该数列前 n 项的 最大值记为 An，第 n 项之后各项 an+1，an+2，的最小值记为 Bn，记 dnAnBn （1）若数列an的通项公式为 an，求数列dn的通项公式； （2）证明： “数列an单调递增”是“nN*，dn0”的充要条件； （3）若 dnan对任意 nN*恒成立，证明：数列an的通项公式为 an0 【分析】 （1）当 1n4，数列an是递减数列，最大为 a14，又 a4a5an 1，所以 An4，Bn1，n1，2，3，所以 dnAnBn4

31、13， （2）充分性：数列an单调递增，则 a1a2an，则 Ana1，Bnan+1，所以 dnAnBna1an+10；必要性：数列an，nN*，dn0，dnAnBn0，逐步推 出 a1a2a3a4an （3）采用了反证法，假设 dnan对任意 nN*恒成立，数列an的通项公式为 an0，推 出矛盾 【解答】解： （1）当 1n4，数列an是递减数列，最大为 a14，又 a4a5an 1，所以 An4，Bn1，n1，2，3， 所以 dnAnBn413， （2）充分性：数列an单调递增，则 a1a2an，则 Ana1，Bnan+1， 所以 dnAnBna1an+10； 必要性：数列an，nN*，dn0，dnAnBn0， d1A1B10，a1B1mina2，an+1，所以 a1a2， d2A2B20，Anmaxa1，a2a2，B2mina3，an+1，所以 a2a3， 同理 a3a4an即数列an单调递增， 故“数列an单调递增”是“nN*，dn0”的充要条件 （3）反证法：若 dnan对任意 nN*恒成立，数列an的通项 an0 当 n1 时，d1a1A1B1，Ana1，所以 B10，这说明从第二项起，至少有一个项 为 0，这与假设矛盾， 故原命题成立 【点评】本题考查了新定义和应用，考查了充要条件的证明，以及反证法，属于中档题