2019-2020学年北京市平谷区高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、双曲线1 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 3 （5 分）已知抛物线 C：y28x，那么抛物线 C 的准线方程为（ ） Ax4 Bx2 Cx2 Dx4 4 （5 分） “mn”是“曲线方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）在我国建国 70 周年大庆之际，某校高二年级团支部组织 6 名学生去慰问平谷区 老一代革命军人现有 10 名学生报名，那么其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的概 率是（ ） A B C D 6（5 分） 在对某校高中学生身高的调查中， 小明、 小华分别独立进行了简

2、单随机抽样调查 小 明调查的样本平均数为 165.7，样本量为 100；小华调查的样本平均数为 166.5，样本量为 200下列说法正确的是（ ） A小华的调查结果比小明的调查结果更接近总体平均数的估计 B总体平均数一定高于小明调查的样本平均数 C总体平均数一定低于小华调查的样本平均数 D总体平均数是确定的数，样本平均数总是在总体平均数附近波动 7 （5 分）如图，棱锥 VABC 中，VO平面 ABC，OCD，VAVB，D 是 AB 中点，下列 结论错误的是（ ） 第 2 页（共 21 页） A平面 VCD平面 ABC BVDAB CCDAB D二面角 VAABC 的平面角为VBC 8 （5

3、分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y| 4x2围成的平面区域的直径为（ ） A2 B4 C8 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分请把答案填在答题卡中相应题中横分请把答案填在答题卡中相应题中横 线上）线上） 9 （5 分） （x2）8的展开式的第 4 项的系数是 ； 10 （5 分）已知命题 p：x0R，使得 x02+x0+10，那么此命题是 命题（填“真” 或“假” ） ； 11 （5 分）从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不同的社区活动服务者，要求 男、女生各

4、1 人，那么不同的安排有 种（用数字作答） ； 12 （5 分）已知抛物线 y24x 上一点 P 到焦点的距离为 5，那么点 P 的坐标为 13 （5 分）某市准备引进优秀企业进行城市建设城市分别对甲地、乙地 5 个企业（共 10 个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示根据茎叶图，可知甲地、乙地企业评 估得分的平均值分别是 、 ； 试比较甲地、 乙地企业得分方差大小 14 （5 分）某次高二英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三个选 项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得 分： 第 3 页（共 21 页） 1 2 3

5、4 5 得分 甲 C C B B A 4 乙 C A A B C 3 丙 A C C B C 2 则甲同学答错的题目的题号是 ；此题正确的选项是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15 （13 分） （）已知双曲线与椭圆1 有相同焦点，且过点 P（2，） ，求双 曲线标准方程； （）已知椭圆1（m3）的一个焦点为 F，椭圆上一点 P 到焦点 F 的最大距 离是 3，求这个椭圆的离心率 16 （13 分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目

6、，考生还 须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目若 一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否 则，称该学生选考方案待确定 某学校为了了解高一年级 200 名学生选考科目的意向， 随机选取 20 名学生进行了一次调 查，统计选考科目人数如表： 性别 选考方案 确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案 确定的有 5 人 5 5 2 1 2 0 选考方案 待确定的 有 7 人 6 4 3 2 4 2 女生 选考方案 确定的有 3 5 2 3 3 2 第 4 页（共 21 页） 6 人 选考方案 待确定的 有

7、2 人 1 2 1 0 1 1 （）在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？ （）从选考方案确定的男生中任选 2 名，试求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率 17 （14 分）如图，四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE面 ABCD， 且 AE4 （）求四棱锥 EABCD 的体积； （）证明：BD面 ACE； （）求 EC 与面 BDE 的夹角的正弦值 18 （13 分）目前用外卖网点餐的人越来越多现对大众等餐所需时间情况进行随机调查， 并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） 其中等餐所需时间的范围是0，120，样 本数据分组为 t，2

8、0，40） ，x，C，80，100） ，100，120 （）求直方图中 x 的值； （）某同学在某外卖网点了一份披萨，试估计他等餐时间不多于 C 小时的概率； （）现有 3 名学生都分别通过外卖网进行了点餐，这 3 名学生中等餐所需时间少于 C 小时的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望 （以直方图中的频率作为概率） 第 5 页（共 21 页） 19 （14 分）已知等腰梯形 ABCD，ADBC，AD1，BC3，AEBC，AE2现将 ABE 沿着 AE 折起，使得面 ABE面 AECD，点 F 为线段 BC 上一动点 （）证明：ECAB； （）如果 F 为 BC 中点，证明：DF面 ABE

9、； （ ） 若 二 面 角D EF C的 余 弦 值 为， 求的 值 20 （13 分）给定椭圆 C：1（ab0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆” 若椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的 距离为 2 （）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； （）设椭圆短轴的一个端点为 A，长轴的一个端点为 B，点 P 是“准圆”上一动点， 求三角形ABP 面积的最大值 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年北京市平谷区高二（上）期末数学试卷学年北京市平谷区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一

10、、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中，分；在每个小题列出的四个选项中， 只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的.） 1 （5 分）命题“xR，x2x+30”的否定是（ ） Ax0R，x02x0+30 Bx0R，x02x0+30 CxR，x2x+30 DxR，x2x+30 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题为全称命题，则命题“xR，x2x+30”的否定是：x0R，x02 x0+30 故选：A 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 2 （5 分）双曲线1 的渐近线方程为（ ） Ay

11、By Cy Dy 【分析】由双曲线1 的渐近线方程为 yx，求出 a，b 即可得到渐近线方 程 【解答】解：双曲线的 a3，b4， 由于渐近线方程为 yx， 即为 yx 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于 基础题 3 （5 分）已知抛物线 C：y28x，那么抛物线 C 的准线方程为（ ） Ax4 Bx2 Cx2 Dx4 第 7 页（共 21 页） 【分析】真假利用抛物线的标准方程求解准线方程即可 【解答】解：抛物线 C：y28x， 可得其准线方程为 x2 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分） “m

12、n”是“曲线方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先化简命题，再讨论充要性 【解答】解：曲线方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 mn0， 则“mn”是“mn0”的必要而不充分条件， 则“mn”是“曲线方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的必要而不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查命题充要性，以及圆锥曲线的焦点，属于基础题 5 （5 分）在我国建国 70 周年大庆之际，某校高二年级团支部组织 6 名学生去慰问平谷区 老一代革命军人现有 10 名学生报名，那么其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的

13、概 率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n，其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动包含的基本事件 个数 m，由此能求出其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的概率 【解答】解：某校高二年级团支部组织 6 名学生去慰问平谷区老一代革命军人现有 10 名学生报名， 基本事件总数 n， 其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动包含的基本事件个数 m， 那么其中甲、乙两名学生被选参加慰问活动的概率是： 第 8 页（共 21 页） P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 6（5 分） 在对某校高中学生身高的调查中， 小明、 小华分别独立进

14、行了简单随机抽样调查 小 明调查的样本平均数为 165.7，样本量为 100；小华调查的样本平均数为 166.5，样本量为 200下列说法正确的是（ ） A小华的调查结果比小明的调查结果更接近总体平均数的估计 B总体平均数一定高于小明调查的样本平均数 C总体平均数一定低于小华调查的样本平均数 D总体平均数是确定的数，样本平均数总是在总体平均数附近波动 【分析】直接利用频率分布直方图的应用和相关的平均值的应用求出结果 【解答】解：小明调查的样本平均数为 165.7，样本量为 100；小华调查的样本平均数为 166.5，样本量为 200 故对于选项 A：样本容量越大不一定所取的值越接近总体平均值，

15、故选项 A 不正确 对于选项 BC：总体平均值和样本平均值不能比较高低，只能考查是否接近的多少，故选 项 BC 错误 对于选项 D：总体平均数是确定的数，样本平均数总是在总体平均数附近波动，正确 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：频率分布直方图的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）如图，棱锥 VABC 中，VO平面 ABC，OCD，VAVB，D 是 AB 中点，下列 结论错误的是（ ） 第 9 页（共 21 页） A平面 VCD平面 ABC BVDAB CCDAB D二面角 VAABC 的平面角为VBC 【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用

16、和面面垂直的判定和性质的应用求出结 果 【解答】解：棱锥 VABC 中，VO平面 ABC，OCD，VAVB， 所以 VDAB，故选项 B 正确 由于 VOAB， 所以 AB平面 VCD则 ABCD，故选项 C 正确 所以平面 VCD平面 ABC故选项 A 正确 所以二面角 VABC 的平面角为VDC故选项 D 错误 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，二面角的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 8 （5 分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y| 4x2围成的平面区域的直径为（ ） A2 B4 C8

17、D2 【分析】化简曲线的方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可 【解答】解：曲线|y|2x2，等价于 y，作出其图象如图： 由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：8， 那么曲线|y|4x2围成的平面区域的直径为：8 第 10 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分请把答案填在答题卡中相应题中横分请把答案填在答题卡中相应题中横 线上）线上） 9 （5 分） （x2）8的展开式的第 4 项的系数是 448 ； 【

18、分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第 4 项的系数 【解答】解： （x2）8的展开式的第 4 项为 T4x5 （2）3， 故第四项的系数是 （2）3448， 故答案为：448 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 10 （5 分）已知命题 p：x0R，使得 x02+x0+10，那么此命题是 假 命题（填“真” 或“假” ） ； 【分析】直接命题的判定的应用和利用关系式的变换的应用求出结果 【解答】解：由于 x02+x0+1， 所以，不存在任何数使 x02+x0+10 成立， 故该命题为假命题 故答案为：假 【点评】本题考查的知识要点

19、：真假命题的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不同的社区活动服务者，要求 男、女生各 1 人，那么不同的安排有 24 种（用数字作答） ； 【分析】先选一名男生，有 3 种方法；再选一名女生，有 4 种方法，根据分步计数原理 求得结果 【解答】解：先选一名男生，有 3 种方法；再选一名女生，由 4 种方法， 根据分步计数原理求得选取男、女生各 1 名，不同的选派方案种数为 3412， 因为担任 2 项不同的社区活动， 所以不同的安排有：1224 第 11 页（共 21 页） 故答案为：24

20、 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题 12 （5 分）已知抛物线 y24x 上一点 P 到焦点的距离为 5，那么点 P 的坐标为 （4，4） 或（4，4） 【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距 离相等，进而利用点到直线的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y 值，即可得到所 求点的坐标 【解答】解：抛物线方程为 y24x， 焦点为 F（1，0） ，准线为 l：x1 设所求点坐标为 P（x，y） 作 PQl 于 Q 根据抛物线定义可知 P 到准线的距离等于 P、Q 的距离 即 x+15，解之得 x4， 代入抛物线方程求得 y4 故点 P

21、 坐标为： （4，4） 故答案为： （4，4）或（4，4） 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛 物线的定义来解决 13 （5 分）某市准备引进优秀企业进行城市建设城市分别对甲地、乙地 5 个企业（共 10 个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示根据茎叶图，可知甲地、乙地企业评 估得分的平均值分别是 88 、 88 ；试比较甲地、乙地企业得分方差大小 s甲 2s 乙 2 第 12 页（共 21 页） 【分析】由茎叶图中数据分别计算甲、乙两地企业评估得分的平均值、方差即可 【 解 答 】 解 ： 由 茎 叶 图 知 ， 计 算 甲 地 企 业 评 估 得

22、 分 的 平 均 值 为 （77+86+89+93+95）88， 乙地企业评估得分的平均值为（71+84+88+98+99）88； 甲地企业得分的方差为（11）2+（2）2+12+52+102， 乙地企业得分的方差为（17）2+（4）2+02+102+112， 所以 故答案为：88、88； 【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题 14 （5 分）某次高二英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三个选 项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得 分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C B B A 4 乙 C A A

23、B C 3 丙 A C C B C 2 则甲同学答错的题目的题号是 3 ；此题正确的选项是 A 【分析】根据题意甲得 4 分，甲只有一个错误，依次假设检验，可得出结论 【解答】解：有题意知甲得四分，甲只错一个； 若甲第 1 道错，甲的第 2，3，4，5 题对，乙第 1 道题也错，乙和甲的后四道题只有第 4 道题相同，故乙得 1 分，与题意矛盾，故甲第 1 道题对； 若甲第 2 道错，甲的第 1，3，4，5 题对，丙第 2 道题也错，丙和甲的其他四道题只有第 4 道题相同，故丙得 1 分，与题意矛盾，故甲第 2 道题对； 若甲第 3 道错，甲的第 1，2，4，5 题对，乙除了第 3 题和甲相同的

24、有两个题，但是乙得 第 13 页（共 21 页） 3 分，故乙第 3 题作对了，第三题选 A，则丙第 3 题错了，其他四道题和甲相同有 2 道， 故丙得 2 分，与题意符合， 故答案为：3，A 【点评】本题考查简单的逻辑推理，通过假设排除，属于基础题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，小题，共共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15 （13 分） （）已知双曲线与椭圆1 有相同焦点，且过点 P（2，） ，求双 曲线标准方程； （）已知椭圆1（m3）的一个焦点为 F，椭圆上一点 P 到焦点 F 的最大距 离

25、是 3，求这个椭圆的离心率 【分析】 （I）由椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线标准方程1（m0，n0） ， 由双曲线的定义和两点的距离公式，计算可得 m，n，即可得到双曲线的方程； （II）由椭圆方程可得 a，b，c，由题意可得 a+c3，结合 a，b，c 的关系式，解得 a， c 的值，由离心率公式可得所求值 【解答】解： （I）因为椭圆方程中， a2，b2，c2，所以焦点坐标为 F1（2，0） ，F2（2，0） 设双曲线标准方程1（m0，n0） ， 因为曲线过点 P（2，） ， 所以|PF1|PF2|32，可得 2m2，即 m， 又 m2+n24，可得 n， 所以双曲线的标准方程为1； （I

26、I）由椭圆1（m3） ，可知椭圆的焦点 F 在 x 轴上， 即 a2m，b23， 因为椭圆上一点 P 到焦点 F 的最大距离是 3， 第 14 页（共 21 页） 由椭圆性质可得 a+c3， 又因为 a2c2b23 由解得 a2，c1， 所以椭圆的离心率 e 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查待定系数法的运用，方程思 想和运算能力，属于基础题 16 （13 分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还 须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目若 一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确

27、定；否 则，称该学生选考方案待确定 某学校为了了解高一年级 200 名学生选考科目的意向， 随机选取 20 名学生进行了一次调 查，统计选考科目人数如表： 性别 选考方案 确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案 确定的有 5 人 5 5 2 1 2 0 选考方案 待确定的 有 7 人 6 4 3 2 4 2 女生 选考方案 确定的有 6 人 3 5 2 3 3 2 选考方案 待确定的 有 2 人 1 2 1 0 1 1 （）在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？ （）从选考方案确定的男生中任选 2 名，试求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率 【

28、分析】 （）选考方案确定的男生中，同时选择“物理、化学和生物”的人数是 2 人 第 15 页（共 21 页） （）由数据可知，已确定选考科目的男生共 5 人其中有 2 人选择“物理、化学和生 物” ，记为 a1，a2，有 1 人选择“物理、化学和历史” ，记为 b，有 2 人选择“物理、化 学和地理” ，记为 c1，c2从已确定选考科目的男生中任选 2 人，利用列举法能求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率 【解答】解： （）选考方案确定的男生中， 同时选择“物理、化学和生物”的人数是 2 人 （）由数据可知，已确定选考科目的男生共 5 人其中有 2 人选择“物理、化学和生 物” ，记为 a

29、1，a2， 有 1 人选择“物理、化学和历史” ，记为 b， 有 2 人选择“物理、化学和地理” ，记为 c1，c2 从已确定选考科目的男生中任选 2 人，有 10 种选法，分别为： a1a2，a1b，a1c1，a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2， 两位学生选考科目完全相同的选法种数有 2 种选法，分别为： a1a2，c1c2， 设事件 A：从已确定选考科目的男生中任选出 2 人，这两位学生选考科目完全相同 则这 2 名学生选考科目完全相同的概率 P（A） 【点评】本题考查选考方案的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 17 （1

30、4 分）如图，四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE面 ABCD， 且 AE4 （）求四棱锥 EABCD 的体积； （）证明：BD面 ACE； （）求 EC 与面 BDE 的夹角的正弦值 【分析】 （ I）由 AE面 ABCD，得到四棱锥 EABCD 的体积 V， 第 16 页（共 21 页） 由此能求出结果 （II）推导出 BDAC，AEBD，由此能证明 BD面 ACE （III）以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴，以 AE 为 z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能 求出 EC 与面 BDE 的夹角的正弦值 【解答】解： （ I）解：底面 ABCD 是边

31、长为 2 的正方形，AE面 ABCD， 四棱锥 EABCD 的体积 V （II）证明：底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， BDAC， 又 AE面 ABCD，AEBD， AEACA，BD面 ACE （III）解：由题意，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴，以 AE 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 C（2，2，0） ，D（0，2，0） ，B（2，0，0） ，E（0，0，4） ， （2，2，0） ，（2，0，4） ，（2，2，4） ， 设平面 BDE 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，） ， 设 EC 与面 BDE 的夹角为 ， 则 sin， EC 与面 BD

32、E 的夹角的正弦值为 【点评】本题考查四棱锥的体积、线面角的正弦值的求法，考查线面垂直的证明，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 17 页（共 21 页） 18 （13 分）目前用外卖网点餐的人越来越多现对大众等餐所需时间情况进行随机调查， 并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） 其中等餐所需时间的范围是0，120，样 本数据分组为 t，20，40） ，x，C，80，100） ，100，120 （）求直方图中 x 的值； （）某同学在某外卖网点了一份披萨，试估计他等餐时间不多于 C 小时的概率； （）现有 3 名学生都分别通过外卖网进行了点餐，

33、这 3 名学生中等餐所需时间少于 C 小时的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望 （以直方图中的频率作为概率） 【分析】 （）由频率分布直方图的性质能求出 x （）由直方图能求出等餐时间不多于 C 小时的概率 （）这 3 名学生中等餐所需时间少于 C 小时的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，每个 人等餐时间不超过 1 小时的概率为，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （）由频率分布直方图得： （0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002）201， 解得 x0.014 （）由直方图可得等餐时间不多于 C 小时的概率： P（0.002+0.004+0.01

34、4）200.4， 他等餐时间不多于 C 小时的概率为 （）这 3 名学生中等餐所需时间少于 C 小时的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3， 由（）可知每个人等餐时间不超过 1 小时的概率为， P（X0）（）3， 第 18 页（共 21 页） P（X1）， P（X2）， P（X3）（）3， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 这 3 名学生中等餐所需时间少于 C 小时的人数的数学期望： E（X） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （14 分）已知等腰梯形 ABCD，ADBC，AD1，

35、BC3，AEBC，AE2现将 ABE 沿着 AE 折起，使得面 ABE面 AECD，点 F 为线段 BC 上一动点 （）证明：ECAB； （）如果 F 为 BC 中点，证明：DF面 ABE； （ ） 若 二 面 角D EF C的 余 弦 值 为， 求的 值 【分析】 （ I）只需证明 EC面 ABE，进而利用线面垂直的性质得证； （）取 BE 中点 M，容易证明四边形 AMFD 为平行四边形，由此即可得证； （）依题意，建立空间直角坐标系，设，利 用空间向量结合已知条件即可得解 【解答】解： （ I）证明：在等腰梯形中，AEBC，所以 ECAE， 因为面 ABE面 AECD，面 ABE面 AE

36、CDAE，EC面 AECD， 所以 EC面 ABE， 第 19 页（共 21 页） 所以 ECAB； （ II）取 BE 中点 M，连接 AM，MF， 在三角形 BEC 中，而，所以 即四边形 AMFD 为平行四边形，DFAM 因为 AM面 ABE，DF面 ABE，所以 DF面 ABE； （ III）由 EC面 ABE，AEBE，则以 EC 为 x 轴，以 EA 为 y 轴，EB 为 z 轴建立空间 直角坐标系 则 B（0，0，1） ，C（2，0，0） ，D（1，2，0） ， 设，则 F（2，0，1） ， 设面 DEF 的法向量， 则，故，即， 因为 EA平面 EFC，所以是平面 EFC 的法

37、向量， 若二面角 DEFC 的余弦值为， 第 20 页（共 21 页） 则，解得 1 或， 由题意，即 【点评】本题考查线线，线面，面面的平行与垂直的判定及性质，考查利用空间向量解 决立体几何问题，考查逻辑推理能力及空间想象能力，属于中档题 20 （13 分）给定椭圆 C：1（ab0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆” 若椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的 距离为 2 （）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； （）设椭圆短轴的一个端点为 A，长轴的一个端点为 B，点 P 是“准圆”上一动点， 求三角形ABP 面积的最大值 【分析】 （）根据

38、条件可知 a2，c，即可求出椭圆 C 的方程及其准圆方程； （）由条件可知直线 AB 的方程，且当过点 P 的直线与直线 AB 平行且与圆相切时三角 形面积醉倒，进而可求出直线 L 的方程，及最大面积 【解答】解： （）由题可知 c，a2，所以 b1，则椭圆方程为，其准 圆方程为 x2+y25 （）设椭圆短轴的一个端点为 A（0，1） ，长轴的一个端点为 B（2，0） ， 那么直线 AB 方程为 yx+1，即 x+2y20， 要使得三角形 ABP 面积最大，则过点 P 的直线与直线 AB 平行且于圆相切 设过点 P 的直线 L：x+2y+m0， 因为直线 L 与圆相切，所以 dr 所以 m5， 由图分析可得：当 m5 时，三角形 ABP 面积最大， 即直线 L：x+2y+50， 此时直线 L 与直线 AB 的距离为 d， 所以三角形 ABP 面积最大值 SABP 【点评】本题是新定义问题，考查椭圆方程的求法等，判断好直线与圆的位置关系是关 第 21 页（共 21 页） 键，属于中档题