东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第二次联合模拟数学试题(理科)含答案解析
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1、2020 年高考(理科)数学二模试卷年高考(理科)数学二模试卷 一、选择题(共 12 小题). 1若 a+2i(1i)(1+bi)(a,bR,i 为虚数单位),则复数 abi 在复平面内对应的 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A、B 均为集合 U1,2,3,4,5,6的子集,且(UA)B3,(UB) A6,AB1,2,则集合 B( ) A1,2,3 B1,2,6 C1,2 D1,2,3,4,5 3若实数 x、y 满足,则 yx 的最大值为( ) A3 B0 C3 D9 4已知 , 是两个不同的平面,直线 m,下列命题中正确的是( ) A若 ,则
2、 m B若 ,则 m C若 m,则 D若 m,则 5课堂上数学老师和同学们做游戏,随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况, 甲说:“丙未完成作业或丁未完成作业”;乙说:“丁未完成作业”;丙说:“我完成 作业了”;丁说:“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话,请问:是谁说了谎 话?( ) A甲 B乙 C丙 D丁 6 已知正项等比数列an, 若向量, 则 log2a1+log2a2+ +log2a9( ) A12 B8+log25 C5 D18 7我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经 验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的
3、形式被收入我国 古代数学名著九章算术中九章算术 商功:“斜解立方,得两堑堵斜解堑 堵,其一为阳马,一为鳖臑阳马居二,鳖臑居一,不易之率也合两鳖臑三而一,验 之以棊,其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、 “鳖臑”的过程已知堑堵的内切球(与各面均相切)半径为 1,则鳖臑的体积最小值为 ( ) A B C D 8设函数 f(x)sinx+cosx+sinxcosx+1,则下列说法中正确的是( ) Af(x)关于(0,1)中心对称 Bf(x)的极小值为 Cf(x)的最小正周期为 Df(x)图象的一条对称轴为 9已知 ,则 sin(60+)的值为( ) A B C D 10
4、已知两个不相等的非零向量,满足,且 与的夹角为 45,则的 取值范围是( ) A B C(0,2 D 11已知双曲线上存在一点 M,过点 M 向圆 x 2+y21 做两条切线 MA、 MB,若,则实数 a 的取值范围是( ) A B C D 12已知函数 ,若存在 an,n+1(nZ) 使得方程 f(x)g(x)有四个实根则 n 的最大值为( ) A2 B1 C0 D1 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13我校高一、高二、高三共有学生 1800 名,为了了解同学们对“智慧课堂”的意见,计 划采用分层抽样的方法,从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本若从
5、高一、高 二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则我校高三年级的学生人数 为 14 习近平总书记在全军军事学院校长集训开班式上强调贯彻新时代军事教育方针, 深化军 事院校改革创新,培养德才兼备的高素质专业化新型军事人才要摆在突出位置为配合 总书记精神,安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职,每个军区至少 1 人,其中李 校长必须去甲军区的概率为 15设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且(a+b+c)(ab+c)3ac, 则B ; 若边AC上的点D满足BDCD2AD2, 则ABC的面积S 16希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现:“平面内到两个
6、定点 A,B 的距离之比为定值 (1)的点的轨迹是圆”后来,人们将这个圆以他的名字 命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中,A(0,1),B(0, 4),则点 P 满足 的阿波罗尼斯圆的方程为 已知点 C(2,4),Q 为抛 物线 E:y28x 上的动点,点 Q 在直线 x2 上的射影为 H,M 为(x+2)2+y24 上动 点,则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(一)必考题:共 60 分 17已知数列an前 n 项和为 Sn,且 a11,Snan+11,数列bn为等差数列,a3b4,且 b2+b5b
7、7 ()求数列an和bn的通项公式; ()若,求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图,在四棱锥 PABCD 中,底面四边形 ABCD 为菱形,平面 PBD平面 ABCD ()求证:PAPC; ()若 PBPD,PBPD,二面角 BPCD 为 120,求ABC 的余弦值 19已知函数 ()求函数 f(x)的极小值点; ()设 A(x1,y1),B(x2,y2)(0x1x2)为函数 yf(x)图象上的任意两点, f(x)为函数 f(x)的导函数,求证: 20N95 型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品,它对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率达到 95%以上某防护用品生产厂生产的 N95
8、 型口罩对空气动力学直径 0.3m 的颗粒的过滤效率服从正态分布 N(0.97,9.025105) ()当质检员随机抽检 10 只口罩,测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率为 93.6%,他立即要求停止生产,检查设备和工人工作情况请你依据所学 知识,判断该质检员的要求是否有道理,并说明判断的依据; ()该厂将空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95.1%以上的 N95 型口罩 定义为“优质品” 求该企业生产的一只 N95 型口罩为“优质品”的概率; 该企业生产了 1000 只这种 N95 型口罩,且每只口罩相互独立,记 X 为这 1000 只口罩 中“优质品”的
9、件数,当 X 为多少件时可能性最大(即概率最大)? 参考数据: 9.5290.25, P (X+) 0.6827, P (2X+2) 0.9544, P(3X+3)0.9974 21已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 为椭圆 E 上任 意一点,的最大值为 1,点 A1为椭圆 E 的左顶点,A1PF2的面积最大值为 ()求椭圆 E 的方程; ()动直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),O 为坐标原点,M 为 AB 的中点_ 是否存在实数 , 使得|OM|AB| 恒成立?若存在, 求 的最小值; 若不存在,说明理由 从 AOB的 面 积 为1 , (
10、其 中 向 量 这两个条件中选一个,补充在上面的问题中并作答 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修 4-4:坐标系与 参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y2,曲线 C 的参数方程是( 为参数)以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ()求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程; ()若 A(1,)是曲线 C 上一点,是直线 l 上一点,求 的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知
11、a、b、cR+,且 a+b+c6 ()当 c5 时,求的最小值; ()证明:a2+b22b+c24c2 参考答案参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1若 a+2i(1i)(1+bi)(a,bR,i 为虚数单位),则复数 abi 在复平面内对应的 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求得 a,b 的值,则答 案可求 解:因为 a+2i(1i)(1+bi)(1+b)+(b1)i, a1+b 且 2b1; 所以:a4,b3
12、; 复数 abi 在复平面内对应的点(4,3)所在的象限为第四象限 故选:D 2已知集合 A、B 均为集合 U1,2,3,4,5,6的子集,且(UA)B3,(UB) A6,AB1,2,则集合 B( ) A1,2,3 B1,2,6 C1,2 D1,2,3,4,5 【分析】根据两个集合的交集,看出两个集合中都含有这两个元素,根据 A 的补集与 B 的交集的元素,看出 B 中不含有元素 6,得到结果 解: 因为集合 A、 B 均为集合 U1, 2, 3, 4, 5, 6的子集, 且 (UA) B3, (UB) A6,AB1,2, 所以:3B,6B,1,2B,4,5B,4,5A; 故集合 B1,2,3
13、 故选:A 3若实数 x、y 满足,则 yx 的最大值为( ) A3 B0 C3 D9 【分析】 画出可行域, 将目标函数变形画出相应的直线, 将直线平移至 B 时纵截距最大, z 最大 解:画出的可行域如图: B(6,6) 令 zyx 变形为 yx+z 作直线 yx 将其平移至 B(6,6)时,直线的纵截距最大,最 大为:0 故选:B 4已知 , 是两个不同的平面,直线 m,下列命题中正确的是( ) A若 ,则 m B若 ,则 m C若 m,则 D若 m,则 【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果 解:对于选项 A:若 ,则 m 也可能 m,故错误 对于选项 B:若 ,则
14、m 也可能 m,故错误 对于选项 C:若 m,则 也可能 与 相交,故错误 对于选项 D,直线 m,m,则 是面面垂直的判定,故正确 故选:D 5课堂上数学老师和同学们做游戏,随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况, 甲说:“丙未完成作业或丁未完成作业”;乙说:“丁未完成作业”;丙说:“我完成 作业了”;丁说:“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话,请问:是谁说了谎 话?( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据题意判断其中两人说话矛盾,有人说话,其他人说真话,可推出 解:由乙说:“丁未完成作业,与丁说:“我完成作业了”, 则乙丁有一人说谎, 则甲丙说的真话,可知丙完成作业了,丁
15、未完成作业, 进而可以判断丁说了假话 故选:D 6 已知正项等比数列an, 若向量, 则 log2a1+log2a2+ +log2a9( ) A12 B8+log25 C5 D18 【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得 a2 a816,再根据等比中项的知识,可 计算出 a54,在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项 解:由题意,向量, 则 8 2a2 a80,即 a2 a816, 根据等比中项的知识,可得 a2 a816, a50,a54, log2a1+log2a2+log2a9 log2(a1a2a9) log2(a1a9) (a2a8) (a3a7) (a4a6) a5
16、 log2a59 9log24 18 故选:D 7我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经 验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国 古代数学名著九章算术中九章算术 商功:“斜解立方,得两堑堵斜解堑 堵,其一为阳马,一为鳖臑阳马居二,鳖臑居一,不易之率也合两鳖臑三而一,验 之以棊,其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、 “鳖臑”的过程已知堑堵的内切球(与各面均相切)半径为 1,则鳖臑的体积最小值为 ( ) A B C D 【分析】由已知可得 a2,且截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等,设内切圆
17、半径 为 r,则 r1由三角形面积相等结合基本不等式可得 bc 的最小值,则鳖臑的体积最小 值可求 解:已知可得,堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长 a,则 a2 易知,截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等,设内切圆半径为 r,则 r1 如图可知, 根据三角形面积公式可得: ,则 2b+2cbc+2, b0,c0,2b+2c,当且仅当 bc 时取等号 bc+2,即 解得:0或 又内切圆半径 r1b,rc,1 ,即 bc 鳖臑的体积为 V 故选:C 8设函数 f(x)sinx+cosx+sinxcosx+1,则下列说法中正确的是( ) Af(x)关于(0,1)中心对称 Bf(x)的极小值为 Cf(x
18、)的最小正周期为 Df(x)图象的一条对称轴为 【分析】借助于三角函数的性质逐项进行判断,选出正确选项 解:对于 A 选项,f(x)关于(0,1)中心对称,首先表达错误,应该说 f(x)的图象 关于某个点中心对称, 其次 f(x)+f(x)2cosx+2 不恒等于 2,所以 A 错误; 对于 B 选项,f(x)sinx+cosx+sinxcosx+1f(x)cosxsinx+cos2x,令 f(x) 0 有 sinxcosx 或 sinx+cosx1 当 sinxcosx时,有 f(x)+, 当 sinx+cosx1 时,两边平方可得 1+2sinxcosx1,sinxcosx0,此时 f(x
19、) sinx+cosx+sinxcosx+10, 所以 f(x)的极小值不可能为,所以 B 错误; 对于 C 选项,f(x+)sinxcosx+sinxcosx+1f(x),所以 不是 f(x)的最小正 周期,所以 C 错误; 对于 D 选项,f()sin()+cos()+sin()cos() +1cosx+sinx+sinxcosx+1f(x), f()f(x),所以 f(x)图象的一条对称轴为 x,故 D 正确 故选:D 9已知 ,则 sin(60+)的值为( ) A B C D 【分析】 由三角恒等变换求出 sin (15) 的值, 再利用二倍角求出 cos (30) , 用诱导公式求出
20、 sin(60+)的值 解:由 tan10 tan10 , 所以 cos(30)12sin2(15) 12 , 所以 sin(60+)cos(30) 故选:A 10已知两个不相等的非零向量,满足,且 与的夹角为 45,则的 取值范围是( ) A B C(0,2 D 【分析】如图所示,设 , ,CAB45,由图可知,当 BCAC 时,| | 的取值最小,求出最小值,没有最大值,即可得到结果 解:如图所示,设 , ,CAB45,由图可知,当 BCAC 时,| |的取 值最小,此时,则| |, 而| |没有最大值, 故则 的取值范围为,+), 故选:D 11已知双曲线上存在一点 M,过点 M 向圆
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