江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研试题数学含附加题（含答案）

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1、扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 联合调研答案第 1 页 共 12 页 2019201920202020 学年第二学期学年第二学期 5 5 月高三联合调研月高三联合调研 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误

2、，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）答题纸的指定位置上） 1.)2 ,(2.-4i3. 3 14 4.255. 10 7 6.87.38. 12 9.xy2 10. 3 3 11.2112. 3 72 13.) 2 71 , 2 71 ( 14. 1 , 0()0 , 1 二二、 解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，计计 90

3、分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分本小题满分 14 分分) 解：（1）在ABC中，由正弦定理 ab sinAsinB ，及) 3 2 sin(sinBaAb ， 得) 3 2 sin(sinsinsinBAAB ，2 分 由), 0(A时，0sinA，可得) 3 2 sin(sinBB ， 展开得BBBsin 3 2 coscos 3 2 sinsin ，即 BBcos3sin 4 分 又由0B，得0sinB,从而0cosB， 从而有 3tanB ,可

4、得 B= 3 6 分 （2）在ABC中，由余弦定理及 2,3, 3 acB， 得 222 27bacaccosB ，故 7b 7 分 联合调研答案第 2 页 共 12 页 由 B b A a sinsin ，得 2 3 7 sin 2 A ，解得 3 7 sinA 因为a c ，故 2 7 cosA 9 分 因此 4 3 22 7 sin AsinAcosA ， 2 1 221 7 cos Acos A 11 分 3 2 2 3 2 AAACA， 所以 3 2 sin2cos 3 2 cos2sin) 3 2 2sin()sin( AAACA 14 35 2 3 7 1 ) 2 1 ( 7 3

5、4 14 分 16(本小题满分本小题满分 14 分分) 证明： （1）因为侧面 11 BCC B是矩形 所以 1 BCCC2 分 又 1111 ACC ABCC B面面， 11111 ACC ABCC BCC面面， 11 BCBCC B面 所以 11 BCACC A 面4 分 又 11 AMACC A 面 所以BCAM6 分 （2） 法一： 取 1 AB中点H，联结,NH HM 因为N是AB的中点 所以在 1 ABB中 1 / /NHBB 1 1 2 NHBB 又因为 在三棱柱 111 ABCABC中 所以 11 / /BBCC，且 11 BBCC 又M棱 1 CC上的一点.所以/ /CMNH

6、 所以,CM NH共面10 分 又CN平面 1 AB MCN 面CNHM 1 CNHMAMBMH面面 所以/ /CNMH 所以四边形CNHM为平行四边形12 分 所以/ /CMNHCMNH 联合调研答案第 3 页 共 12 页 所以 11 11 22 CMBBCC 所以M是棱 1 CC中点.14 分 法二： 因为 在三棱柱 111 ABCABC中 所以 11 / /BBCC，且 11 BBCC 因为 1 / /CMBB 11 CMABB A 面 111 BBABB A 面 所以 11 / /CMABB A面8 分 所以过MCN可作平面交直线 1 AB于点H则CM面 11 ABB ANH面 所以

7、/ /CMNH10 分 又CN平面 1 AB MCN 面 1 AMBMH面 所以/ /CNMH 所以四边形CNHM为平行四边形12 分 所以 1 / / /NHACBB 又 1 ABB中N是AB的中点所以H是 1 AB的中点 所以 1 1 2 NHBBCM所以M是棱 1 CC中点.14 分 17(本小题满分本小题满分 14 分分) 解： （1）扇形EOC的面积为 2 125002500 () 50 2362 2 分 四边形OCBF的面积为 130 30 5030 2tan 4 分 故阴影部分的面积为 25009 ( )150050(25 ) 6tan S 6 分 因为, 5 3 tan, 3

8、, 00 所以3, 5 3 tan 8 分 （2）设 25 tan 9 )(h，则25 sin 9 25 sin cos9sin9 )( 22 22 h 令0)(h得3, 5 3 4 3 tan，10 分 联合调研答案第 4 页 共 12 页 记其解为 1 ，并且)(h在), 10 上单调递减，在 3 ,( 1 单调递增， 所以( )h的最小值为 1 ()h，阴影部分的面积最大值为 2500 1500 6 1 50 ()h，此时 1 3 tan 4 .13 分 答：监控区域面积 S 最大时，角的正切值为 4 3 14 分 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 解：（1）因为椭圆01: 2

9、2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 2 ,所以 ca2 ,设椭圆右焦 点为 2 F,在 21PF F中, 112 2, 4 PFPFF ,由余弦定理得： 4 cos2222222 2 2 2 cca,解得 2c ,则2, 2ba, 所以,椭圆方程为1 24 22 yx 4 分 （2）法一：设直线AM斜率为k,则直线AM方程为:2xky,联立 1 24 2 22 yx xky 整 理得048812 2222 kxkxk, 422 644 21 840kkk 设 12 4-2 , 12 48 2-, 2 2 1 2 2 111 k k x k k xyxM即则,从而 12 4 2

10、1 k k y,8 分 由 AMBN kk2,可得直线BN方程为22xky,联立 1 24 22 22 yx xky ,整理得 04323218 2222 kxkxk, 2422 324 81 3240kkk ,设 18 216 , 18 432 2, 2 2 2 2 2 222 k k x k k xyxN即则,从而 18 8 2 2 k k y,12 分 由对称性,不妨设0k,则四边形AMBN的面积 联合调研答案第 5 页 共 12 页 k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk kk k k k k yyS 4 1 2 4 1 24 24 1 4 1 2

11、4 10 1 16 4 1 24 1 2 1 8 4 1 24 1812 4 24 18 8 12 4 24 2 1 2 2 2 22 3 22 21 , 令 时取等当且仅当则 2 1 44 1 2,4 1 kk k tk k t,则 3 16 2 1 4 24 2 24 t t S 故S的最大值为 3 16 .16 分 法二：设 11, y xM,则 2 1 2 1 4 2 1 xy.0 , 2,0 , 2BA ,则 2 1 42 0 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 x y x y x y kk MBMA ,6 分 由 MABN kk2,故1 BMBN kk.7 分 设直线MN方程为

12、 tmyx ,联立 1 24 22 yx tmyx ,整理 得,0422 222 tmtyym,即42 22 mt . 设 22, y xN,则 2 4 , 2 2 2 2 21 2 21 m t yy m mt yy,9 分 由1 BMBN kk,得042 212121 xxxxyy,将 2 4 , 2 2 2 2 21 2 21 m t yy m mt yy代入整理得022221 222 mttmtm, 即 3 2 t,满足 42 22 mt .12 分 则四边形AMBN的面积 联合调研答案第 6 页 共 12 页 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2121 2 169 3 8 2 4

13、 4 2 2 2424 2 1 m m m t m mt yyyyyyS 令2 2 mu ,则2, 29 3 8 2 u uu S,解得S的最大值为 3 16 .16 分 19(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1）因为, 1, 1cba所以 x e xx xh 1 )( 2 ， x e xx xh 2 )( 2 令 e h 2 ) 1 (， 又 e h 1 ) 1 (. 所以) 1( 21 x ee y，即012eyx.2 分 （2）因为, 1a所以 x ecbxxxm)()( 2 ， x ecbxbxxm)2()( 2 ， 因为1x是函数)(xm的一个极值点， 所以0) 1 (m

14、，解得32 bc， 则 xx ebxxebxbxxm)3()1(3)2()( 2 令0)( x m，解得3, 1 21 bxx，4 分 因为1x是一个极值点，所以13b，即4b. 当13b，即4b时， 由0)( x m解得) 1 ,(x或), 3(bx， 由( )0m x解得)3, 1 (bx， 当13b，即4b时， 由( )0m x解得)3,(bx或), 1 ( x， 由( )0m x解得) 1 , 3(bx， 7 分 综上，当4b时，)(xm的单调递增区间为) 1 ,(和), 3(b， 单调递减区间为)3, 1 (b 当4b时，)(xm的单调递增区间为)3,(b和), 1 ( ， 单调递减

15、区间为) 1 , 3(b8 分 (3)因为，所以对任意恒成立， 联合调研答案第 7 页 共 12 页 即对任意恒成立. 令， 由得9 分 当时，对任意，所以函数在上单调递减 故，得符合题意. 10 分 当时，令 则 当时， 所以对任意，得函数在上单调递减 所以 当，即时，对任意， 得函数在上单调递减 所以，对任意恒成立 得符合题意13 分 当，即时， 由， 得， 又函数的图象在上的图象连续不间断，且单调递减， 联合调研答案第 8 页 共 12 页 由零点存在定理可得，存在唯一使得 所以，当时， 所以函数在上单调递增，故当时，与题意不符. 综上可得，实数的取值范围为.16 分 20(本小题满分本

16、小题满分 16 分分) 解： （1）数列 n a是非零数列，所以0 n a。 当1n时， 2 21 11 aa Sa，2 2 a； 当2n， Nn时， 22 11 1 nnnn nnn aaaa SSa ， 所以2 11 nn aa，2 分 所以 1 -2n a是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 2n a是首项为 2，公差也为 2 的等差数列， 12) 1(2 11 -2 nnaa n ， nnaa n 2) 1(2 22 ， 所以nan4 分 （2）设 Nnmk,（nmk） ，因为 nmk aaa,成等比数列，所以knm 2 ； 因为 24 ,16 nmk aaa成等差数列，所以 24

17、162nkm，6 分 消去m可得， 222 162nknk，所以 12 16 2 2 k k n，又因为3n ， 所以8 12 16 2 k k ， 2 31 0 k， Nk，8 分 因此，4, 2, 1nmk，7nmk。9 分 （3）若 n b是单调递增数列，所以当n是偶数，11 1 nqn n 恒成立，两边取自然对 数，化简可得 1 ) 1ln( ln 1 ) 1ln( n n q n n （） ，显然1q。11 分 设函数 x x xf ln )(， 求导ex x x xf , 0 ln1 )( 2 ， 当ex 0时，0)( x f， 所以)(xf 是增函数，当ex 时，0)( x f，

18、所以)(xf是减函数，所以)(xf在ex 处取极大值。 联合调研答案第 9 页 共 12 页 所以，当4n时 1 ) 1ln( n n 是递减数列， 3 3ln 1 1ln ，所以 3 3ln 是 1 ) 1ln( n n 最大值， 3 3ln lnq。13 分 设函数 x x xg )2ln( )( ，求导0 )2ln( 2 )( 2 x x x x xg（1x） ，所以 1 ) 1ln( n n 是递 减数列，当6n时， 3 3ln 5 7ln ；当8n时， 3 3ln 2 7 3ln 7 9ln ，15 分 所以当62 n时，存在 3 1 3q， （）成立，当8n时（）右侧不等式不成立。

19、 所以，至多前 8 项是递增数列，即正整数r的最大值是 8.16 分 2019201920202020 学年第二学期学年第二学期 5 5 月高三联合调研月高三联合调研 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21 【选做题】在【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答题答题 卡指定区域内卡指定区域内 作答作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：解：设yxP,是曲线 C 上的任一点,它是椭圆1 416 :

20、 22 yx C上的点yxP , 1 在矩阵 2 1 0 0 4 1 A对应变换作用下的对应点, 则 2 4 2 1 0 0 4 1 y x y x y x 4 分 联合调研答案第 10 页 共 12 页 即 2 4 y y x x 所以 yy xx 2 4 ,6 分 将 yy xx 2 4 代入1 416 22 yx 得1 22 yx10 分 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系1 分 由直线 2 3 ) 3 sin( 得 133 sincos 222 ， 133 222 yx即33yx 4 分 直线与 x 轴的交

21、点为(1，0) 又点 P 的直角坐标为(1，1)，所以圆 C 的方程为 22 (1)1xy6 分 22 20xyx， 2 2 cos0 0或2cos，又0表示极点也在圆上 圆的极坐标方程为2cos10 分 C选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解：因为) 11)(11)(11()2)(2)(2(cbacba 2727333 3333 abccba6 分 当且仅当1cba时，等号成立. 所以)2)(2)(2(cba的最小值为2710 分 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解： （1）因为直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，BAD=60， E 为 BC 的中点，可得

22、DEBC又 AD/BC 可得 DEAD. 以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 1 分 联合调研答案第 11 页 共 12 页 则)4 , 0 , 2( 1 A)，(1, 3,2)M，)4 , 3, 1( 1 C，)0 , 3, 0(E )2, 3, 1( 1 MA,)4, 0 , 1 ( 1 EC 68 347 178 81 | | ,cos 11 11 11 ECMA ECMA ECMA 所以，异面直线MA1与EC1所成角的余弦值为 68 347 4 分 （ 2 ） (1,0,2)N ， 1 (0,0, 4)A A ， 1 ( 1,3,

23、 2)A M ， 1 ( 1,0, 2)A N ， (0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面 A1MA 的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m6 分 设( , , )p q rn为平面 A1MN 的法向量，则 1 0 0 MN AN ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n8 分 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 10 分 23 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解： （1）因为 n n nnn

24、nn n CCCC ma 2222 3 3 3 2 2 2 1 1 所以43 2 ma所以1m 此时 1 2a =2 分 （2）猜想：2n n a = 3 分 联合调研答案第 12 页 共 12 页 证明：当1n 时，由上知结论成立； 4 分 假设nk时结论成立， 则有 k k k kkkkk k CCCC a2 2222 1 3 3 3 2 2 2 1 1 则1nk时， 1 1 11 3 3 31 2 2 21 1 11 1 2222 1 k k kkkkk k CCCC a 由 11 1 CCC kkk nnn 得 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 0 1 1 1 1 222 1 k

25、kkkkk k CCCCCC a 11 11 1 CCC 22 kk-k+ k+kk+kk+k+ kk+ 01211 12311 231 CCCCC 2 2 2222 kk+ kkkkk kk+k+ kk+ ， 1211 02311 11 121 CCCC 1 2(C) 2 2222 kk+ kkkk kk+k+ kk kk a 1211 0231111 1 121 CCCCC 1 2(C) 2 2222 kkk+ kkkkk-k+kk+k k kk + 7 分 又 11 111 1(2 1)!(22) (21)!(21)!(1) 12 CC !(1)!(1) !(1)!(1)!(1)!2 k+k+ k+kk+k kk kkk = k kkk kkk 1211 02311111 1 1211 CCCCC 1 2(C) 2 22222 kkk+ kkkkk-k+kk+k k kkk ， 于是 11 1 2 2 k kk aa 所以 1 1 2k k a ， 故1nk时结论也成立 由得，2n n a = * nN， 10 分