山西省太原市2020年高三模拟文科数学试题(一)含答案解析
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1、山西省太原市山西省太原市 2020 年高三年级模拟年高三年级模拟文科数学试题(一)文科数学试题(一) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试 时间:时间:120 分值)分值) 1 已知全集 U0, 1, 2, 3, 4, 集合 A1, 2, 3, B2, 4, 则 B (UA) 为 ( ) A0,2,4 B1,3
2、,4 C2,3,4 D0,2,3,4 2已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的 取值范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 3已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C18 D19 4已知平面向量 = (4, 2), = (1, 3),若 + 与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 5七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又有七 巧图,其式五
3、,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足 以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任 取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 6某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 7函数() = 21 | 的图象大致为( ) A B C D 8已知变量 x,y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ,若目标函数 zx+2y 的最大值为( ) A3 B5 C8 D11 9设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x
4、3)sin(ax+b) ,则满足条件的有 序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 10刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马如 图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A3 B3 C 3 2 D4 11过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3,与抛 物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k31,则下列结论正确的是 ( ) A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 12 函数f (x) 的定义域为 (, 2)
5、, f (x) 为其导函数 若 (x2) f (x) +f (x) = 1 且f (0) 0, 则f (x)0 的解集为( ) A (,0) B (0,1) C (1,2) D (0,2) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13双曲线 2x2y28 的实轴长是 14已知函数 f(x)log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数,则 k 的值为 15在如图所示装置中,正方形框架的边长都是 1,且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直, 活动弹子 M,N 分别在正方形对角线 AC,BF 上移动,则 MN 长度的最小值是 16我们
6、知道,裴波那契数列是数学史上一个著名数列,在裴波那契数列an中,a11, a21,an+2an+1+an(nN*) 用 Sn表示它的前 n 项和,若已知 S2020m,那么 a2022 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天走步数(单位:百步) , 绘
7、制出如下频率分布直方图: ()求直方图中 a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数; ()若该校有教职工 175 人,试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数; ()在()的条件下,该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动, 再从 6 人中选取 2 人担任领队, 求着两人均来自区间 (150, 170的概率 18 已知ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边, 2cos2 3 ( 6 + ) + = 1 2 ()求 C; ()若 c3,ABC 的面积为33 2 ,求1 + 1 的值 19如图(1
8、)在等腰直角三角形 ABC 中,ACB90,AB4,点 D 为 AB 中点,将 ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD,如图(2) ,其中A1DB60,点 M,N,G 分 别为 A1C,BC,A1B 的中点 ()求证:MN平面 DCG; ()求三棱锥 GA1DC 的体积 20已知函数 f(x)excosx (1)求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求证:f(x)在( 2,+)上仅有两个零点 21椭圆 E 的焦点为 F1(1,0)和 F2(1,0) ,过 F2的直线 l1交 E 于 A,B 两点,过 A 作与y轴垂直的直线l2, 又知点H (2, 0) , 直线BH记为
9、l3, l2与l3交于点C 设2 = 2 , 已知当 2 时,|AB|BF1| ()求椭圆 E 的方程; ()求证:无论 如何变化,点 C 的横坐标是定值,并求出这个定值 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分10分)分) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为
10、 = 3 = 3 ( 为参数) , 已知点 Q (6, 0) ,点 P 是曲线 C1上任意一点,点 M 满足 = 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 ()求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; ()已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若 =4 ,求 k 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| ()若 f(x)+2g(x)的最小值为 1,求实数 a 的值; ()若关于 x 的不等式 f(x)+g(x)1 的解集包含1 2,1,求实数 a 的取值范围 参考答案参
11、考答案 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试 时间:时间:120 分值)分值) 1 已知全集 U0, 1, 2, 3, 4, 集合 A1, 2, 3, B2, 4, 则 (UA) B 为 ( ) A0,2,4 B1,3,4 C2,3,4 D0,2,3,4 由题意,集合UA0,4,从而求得(UA)B0,2,4 U
12、A0,4, (UA)B0,2,4; 故选:A 本题考查了集合的运算,属于基础题 2已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的 取值范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限, + 10 2 0,解得 m1 实数 m 的取值范围是(,1) 故选:A 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查不等式组的解法,是基础题 3已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C
13、18 D19 根据等差中项求出 a3,然后求出 a1和 d,求出 a9 S525,a23, S5255a3, 则 a35, 则公差 da3a22,a11, 则 a91+8217 故选:B 本题考查等差数列性质,属于基础题 4已知平面向量 = (4, 2), = (1, 3),若 + 与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,求得 的值 平面向量 = (4, 2), = (1, 3),若 + 与 垂直, ( + ) = + 2 =4+6+100,求得 1, 故选:C 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,属于基础题 5七巧板
14、是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又有七 巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足 以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任 取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 先设大正方形的边长为 4,则阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 22,另外一 部分为梯形,上底为2,下底为 22,高2,然后分别求出面积,根据与面积有关的几 何概率公式可求 设大正方形的边长为
15、4,则面积 4416, 阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 22,面积1 2 22 22 =4, 另外一部分为梯形,上底为2,下底为 22,高2,面积2:22 2 2 =3, 故概率 P= 7 16 故选:C 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型,属中档题 6某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 分析循环体的算法功能可知,该程序计算的是数列 1 (:1)前四项的和再加上 1利用 裂项法求和可求解 由题意知,该程序计算的是数列 1 (:1)前四项的和再加上 1 1 (:1) = 1 1 :1, S1+(1 1 2)+(
16、 1 2 1 3) + ( 1 3 1 4) + ( 1 4 1 5) = 9 5 故选:B 本题考查了直到型循环结构求数列前 n 项和的问题,要注意判断准确求和的项数,区分 好当型循环结构与直到型循环结构 7函数() = 21 | 的图象大致为( ) A B C D 根据条件判断函数的奇偶性和对称性,判断当 x0 时的单调性,利用排除法进行求解即 可 f(x)= ()21 | = 21 | =f(x) ,则 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 B,C, 当 x0 时,f(x)= 21 =x 1 为增函数,排除 A, 故选:D 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用条件判断函数的奇偶
17、性和单调性是解决本题 的关键 8已知变量 x,y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ,若目标函数 zx+2y 的最大值为( ) A3 B5 C8 D11 先根据约束条件画出可行域, 再利用几何意义求最值, 只需求出直线 zx+2y 过点 P (2, 1)时,z 最大值即可 作出可行域如图, 由 zx+2y 知,y= 1 2x+ 1 2z, 所以动直线 y= 1 2x+ 1 2z 的纵截距 1 2z 取得最大值时, 目标函数取得最大值 由 = 1 + = 6得 A(1,5) 结合可行域可知当动直线经过点 A(1,5)时, 目标函数取得最大值 z1+2511 故选:D 本题主要考查了简单的线性规划
18、,以及利用几何意义求最值,属于基础题 9设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x 3)sin(ax+b) ,则满足条件的有 序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同 对于任意实数 x 都有 sin(3x 3)sin(ax+b) , 则函数的周期相同,若 a3, 此时 sin(3x 3)sin(3x+b) , 此时 b= 3 +2= 5 3 , 若 a3, 则方程等价为 sin (3x 3) sin (3x+b) sin (3xb) sin (3xb+) , 则 3 = b+,则 b= 4 3 , 综上满足条件的有序实
19、数组(a,b)为(3,5 3 ) , (3,4 3 ) , 共有 2 组, 故选:B 本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结 合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 10刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马如 图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A3 B3 C 3 2 D4 首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的外接球的半径 根据几何体的三视图转换为几何体为:挂几何体为四棱锥体 如图所示: 所以 = (1 2) 2+ (2 2 )2= 3 2 故选:C 本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几
20、何体的外接球的半径的求法的应 用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 11过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3,与抛 物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k31,则下列结论正确的是 ( ) A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 由 k1+k20,k2k31,可设直线 l1的方程,可得 l2,l3的方程,分别于抛物线联立可 得 A,B,C 的坐标,进而可得直线 AB 的斜率为定值1 k1+k20,k2k31 可得设 l1d 的斜率为
21、k,则 l2,l3的斜率分别为:k,1 , 设直线 l1的方程为:yk(x1)+2, 则 l2的方程为 yk(x1)+2, l3的方程为 y= 1 (x1)2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) , 联立直线 l1与抛物线的方程: = ( 1) + 2 2= 4 ,整理可得 k2x2+2k(2k)4x+(2 k)20, 所以 xA1= (2)2 2 ,所以 xA= (2)2 2 ,代入直线 l1中可得 yAk(x1)+2 k(2;) 2 2 1+2= 44 ,即 A((2;) 2 2 ,4;2 ) ; 联立直线 l2与抛物线的方程可得 = ( 1) + 2 2= 4
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