北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题（含答案）

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1、 北京市朝阳区高三年级高考练习一北京市朝阳区高三年级高考练习一 数数 学学 2020.4 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合1,3,5A，|(1)(4)0BxxxZ，则AB （A） 3 （B）1,3 （C）1,2,3,5 （D）1,2,3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又

2、在区间上单调递增的是 （A） 3 yx （B） 2 1yx （C） 2 logyx （D） | | 2 x y （3）在等比数列 n a中， 1 1a ， 4 8a ，则 n a的前6项和为 （A）21 （B） 11 （C） 31 （D）63 （4） 如图， 在ABC中， 点D，E满足2BCBD，3CACE 若D ExA B yA C ( ,)x yR， 则x y （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 2 （D） 1 3 （5）已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D. 若4AF ，60DAF，则抛物线C的方程为 （A） 2 8yx （

3、B） 2 4yx （C） 2 2yx （D） 2 yx （6）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学” (0,) E DCB A （第 4 题图） 的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为 （A） 2 3 （B） 2 5 （C） 3 5 （D） 9 10 （7）在ABC中，BCAB ，120ABC若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心 率为 （A） 2 5 （B） 2 7 （C） 31 2 （D）3 （8）已知函数( )=3sin()(0)f xx-的图象上相邻两个最高点的距离为，则“ 6 ”是“ f x 的图

4、象关于直线 3 x 对称”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知函数 2 22 ,1, ( ) 2ln ,1. xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( ) 2 a f x 在R上恒成立，则实数a的取值范 围为 （A）(,2 e （B） 3 0, 2 （C）0,2 （D）0,2 e （10）如图，在正方体 1111 ABCDABC D-中，M，N分别是棱AB， 1 BB的中点，点P在对角线 1 CA上运 动当PMN的面积取得最小值时，点P的位置是 （A）线段 1 CA的三等分点，且靠近点 1 A （B）线段 1 C

5、A的中点 （C）线段 1 CA的三等分点，且靠近点C （D）线段 1 CA的四等分点，且靠近点C 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 P M N A B C D D1 C1 B1 A1 （第 10 题图） （11）若复数 2 1i z ，则| |z _ （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为_，它的体积为 （13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定 能否成功购买到该商品规则如下： （）摇号的初始中签率为0.19； （）当中签率不超过1时，可 借助“好友助力”活动

6、增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05 为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请_位好友参与到“好友助力”活动 （14）已知函数( )cos 2 x f xx 数列 n a 满足( )(1) n af nf n （ * nN） ，则数列 n a 的前100项和 是_ （15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 22 322 :()4Cxyx y 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： 曲线C关于直线yx对称； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； 存在一个以原点为中心、边长为2的正方形， 使得曲线C在此正方形区域内（含边界） 其中，正确结论的序号

7、是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得分，其他得3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 0 （第 15 题图） （第 12 题图） 俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 3 2 2 2 2 在ABC中，sincos() 6 bAaB =- （）求B； （）若5c =， 求a. 从7b=， 4 C =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （17） （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC-中，平面 1

8、1 ACC A 平面ABC，四边形 11 ACC A是正方形，点D，E 分别是棱BC， 1 BB的中点，4AB=， 1 2AA =，2 5BC= （）求证： 1 ABCC； （）求二面角 1 DACC-的余弦值； （）若点F在棱 11 BC上，且 111 4BCB F=，判断平面 1 AC D 与平面 1 AEF是否平行，并说明理由 （18） （本小题 14 分） 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某 地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下： 患者的检测结果 人数 阳性 76 A B B1

9、E C C1 A1 D F （）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结 果为阳性的患者人数，利用（）中所得概率，求X的分布列和数学期望； （）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测 结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，圆 222 :O xyr（O为坐标原点）.过点(0, )b且斜率为1的 直线与圆O交

10、于点(1,2)，与椭圆C的另一个交点的横坐标为 8 5 . （）求椭圆C的方程和圆O的方程； （）过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，若直线 1 l的斜率为(0)k k 且 1 l与椭圆C相切， 试判断直线 2 l与椭圆C的位置关系，并说明理由. （20） （本小题 15 分） 已知函数 1 1 ex x x f x （）求曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线方程； （）判断函数 ( )f x的零点的个数，并说明理由； 阴性 4 非患者的检测结果 人数 阳性 1 阴性 99 （）设 0 x是( )f x的一个零点，证明曲线exy 在点 0 0 (,e ) x

11、 x处的切线也是曲线lnyx的切线 （21） （本小题 14 分） 设数列 12 :, n A a aa（3n ）的各项均为正整数，且 12n aaa 若对任意 3,4, kn ， 存在正整数, (1 )i jijk 使得 kij aaa ，则称数列A具有性质T （）判断数列 1:1,2,4,7 A 与数列 2:1,2,3,6 A 是否具有性质T； （只需写出结论） （）若数列A具有性质T，且 1 1a ， 2 2a ，200 n a ，求n的最小值； （）若集合 123456 1 ,2,3 ,2019,2020 SSSSSSS ，且 ij SS （任意, 1 ,2 ,6 i j ， ij ） 求证： 存在 i S， 使得从 i S中可以选取若干元素 （可重复选取） 组成一个具有性质T的数列