2020届福建省福州市高中毕业班质量检测理科数学试题(含答案解析)
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1、2020 年高考(理科)数学(年高考(理科)数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 Mx|x24,Nx|2x4,则 MN( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 2设复数 z 满足|z+1|zi|,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 3如图,网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图,则该 三棱锥的体积为( ) A81 B27 C18 D9 42021 年开始,我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式,即除语文数学、外语 3 门必选 科目外,考生再从物理、历史中选 1 门,从化学
2、、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制,绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是 ( ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 5 的展开式中 x3的系数为( ) A7 B5 C6 D7 6 已知数列an为等差数列, 若 a1 , a 6为函数 f (x) x 29x+14 的两个零点, 则 a 3a4 ( ) A14 B9 C14 D2
3、0 7已知函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)x2ln(x),则曲线 yf(x)在 x 1 处的切线方程为( ) Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 8 已知双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A, B 两点,若|AB|2,则 C 的离心率为( ) A B C2 D4 9已知函数 f(x)sin(x+)某个周期的图象如图所示,A,B 分别是 f(x)图象的最 高点与最低点,C 是 f(x)图象与 x 轴的交点,则 tanBAC( ) A B C D 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点,则 ( )的最小值为 ( ) A1 B3 C D 1
4、1概率论起源于博弈游戏.17 世纪,曾有一个“赌金分配“的问题:博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负, 没有平局 双方约定, 各出赌金 48 枚金币, 先赢 3 局者可获得全部赌金;但比赛中途因故终止了,此时甲赢了 2 局,乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识, 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( ) A甲 48 枚,乙 48 枚 B甲 64 枚,乙 32 枚 C甲 72 枚,乙 24 枚 D甲 80 枚,乙 16 枚 12已知二面角 PABC 的大小为 120,且PABABC90,ABAP,AB+BC
5、6 若点 P,A,B,C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为( ) A45 B C D 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在是中的横线上. 13设 x,y 满足约束条件 , , 则 zx3y 的最小值为 14设数列an满足 a11,an+14an,则 a1a2an 15已知两条抛物线 C:y22x,E:y22px(p0 且 p1),M 为 C 上一点(异于原点 O),直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍,则 p 16已知函 f(x)axlnx1,g(x) ,用
6、maxm,n表示 m,n 中的最大值,设 (x)maxf(x)g(x)若 (x) 在(0,+)上恒成立,则实数 a 的取值 范围为 三、 解答题: 本大是共 5 小题, 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题,每个试必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据求作答.(一)必考题:共 60 分 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 bsinAa(2+cosB) (1)求 B; (2)若ABC 的面积等于 ,求ABC 的周长的小值 18如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC 是边长为 6 的等边三角形,D,E 分别为 AA1
7、,BC 的中点 (1)证明:AE平面 BDC1; (2) 若异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 求 DE 与平面 BDC1所成角的正弦值 19已知椭圆 : 的焦距为 2 ,且过点( ,1) (1)求 C 的方程; (2)若直线 l 与 C 有且只有一个公共点,1 与圆 x2+y26 交于 A,B 两点,直线 OA, OB 的斜率分别记为 k1,k2试判断 k1 k2是否为定值,若是,求出该定值;否则,请说 明理由 20 某地区在一次考试后, 从全体考生中随机抽取 44 名, 获取他们本次考试的数学成绩 (x) 和物理成绩(y),绘制成如图触点图: 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有
8、线性相关关系,但图中有两个异常点 A,B经调查得 知,A 考生由于 1 感冒导致物理考试发挥失常,B 考生因故未能参加物理考试为了使分 析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计 k 的值: , , , , ,其中 xi,yi分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理 成绩,i1,2,42,y 与 x 的相关系数 r0.82 (1)若不剔除 A,B 两名考生的数据,用 44 组数据作回归分析,设此时 y 与 x 的相关系 数为 r0试判断 r0与 r 的大小关系,并说明理由; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并估计如果 B 考生加了这次物
9、理 考试(已知 B 考生的数学成绩为 125 分),物理成绩是多少?(精确到个位); (3)从概率统计规律看,本次考试该地区的物理成绩 服从正态分布 N(,2)以 剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数 作为 的估计值,用样本方差 s2作为2的 估计值试求该地区 5000 名考生中,物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数 Z 的数学 期望 附:回归方程 中: , 若 N (, 2) , 则 P (+) 0.6826, P (2+2) 0.9544 11.2 21已知函数 f(x)(x+sinxcosx)ex (1)若 f(x)为 f(x)的导函数,且 g(x)f(x)f(x),求函数 g
10、(x)的单 调区间; (2)若 x0,证明:f(x)x21 (二)选考:共 10 分.请考生在第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个 题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参 数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 , ( 为参数),以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 (1)求 C1的极坐标方程; (2)若 C1与曲线 C2:2sin 交于 A,B 两点,求|OA| |OB|的值 选修 4-5;不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|2xa| (1)当 a3 时,解不等
11、式 f(x)2; (2)若不等式|x1|+f(x)3 的解集非空,求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:共 12 小意,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x24,Nx|2x4,则 MN( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 【分析】可以求出集合 M,N,然后进行交集的运算即可 解:Mx|2x2,Nx|x2, MNx|2x2 故选:B 2设复数 z 满足|z+1|zi|,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 【分析】由复数 z 满足|z+1|xi|,利用
12、模的计算公式可得: ,化简即可得出 解:复数 z 满足|z+1|xi|, ,化为:x+y0, 故选:D 3如图,网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图,则该 三棱锥的体积为( ) A81 B27 C18 D9 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为三棱锥体 如图所示: 所以三棱锥的底面的各边长为 ,BDCD , 所以底边上的高为 h , 底面积 S , 所以该三棱锥的体积为 故选:B 42021 年开始,我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式,即除语文数学、外语 3 门必选 科目外,考生再从物理、历
13、史中选 1 门,从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制,绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是 ( ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 【分析】根据图表进行选项判断,可知 C 错误 解:甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物(物理), C 选项错, 故选:C 5 的展开式中 x3的系数为( ) A7 B5 C
14、6 D7 【分析】把(1x)4按照二项式定理展开,求得(x )(1x) 4 展开式中含 x3项的 系数 解:二项式(1x)4 x x2 x3 x4 14x+6x24x3+x4, (x )(1x) 4(x )(14x+6x 24x3+x4), 展开式中含 x3项的系数为: 16+(1)15 故选:B 6 已知数列an为等差数列, 若 a1 , a 6为函数 f (x) x 29x+14 的两个零点, 则 a 3a4 ( ) A14 B9 C14 D20 【分析】由韦达定理得 a1+a69,结合等差数列求出舍去的项,由此能求出结果 a3a4 解:等差数列an中,a1,a6为函数 f(x)x29x+
15、14 的两个零点, a1+a69,a1a614,所以 a12,a67,或 a17,a 62, 当 a12,a67 时,d1,a34,a45, 所以 a3a420 当 a17,a62 时,d1,a35,a44, a3a420 故选:D 7已知函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)x2ln(x),则曲线 yf(x)在 x 1 处的切线方程为( ) Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 【分析】根据偶函数的性质,可分别求出 x1 时的坐标与导数,然后求出 x1 处的 切线方程 解:根据偶函数的图象关于 y 轴对称,所以在关于 y 轴对称的两点处,函数值相等,且 切线也关于 y 轴
16、对称, 所以切点关于 y 轴对称,切线斜率互为相反数 f(1)f(1)1,故切点为(1,1), x0 时,f(x) ,所以 f(1)f(1)1 故切线方程为 y1x1,即 xy0 故选:A 8 已知双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A, B 两点,若|AB|2,则 C 的离心率为( ) A B C2 D4 【分析】求出双曲线的渐近线方程,圆的圆心与半径,利用体积推出 ab 关系式,然后求 解离心率即可 解:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为:bx+ay0, 圆 相的圆心(0,2 ),半径为:2, 双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A,B 两点,若|AB|2, 可得 , 3 即:
17、b23a2, 可得 c2a23a2, 解得 e 2 故选:C 9已知函数 f(x)sin(x+)某个周期的图象如图所示,A,B 分别是 f(x)图象的最 高点与最低点,C 是 f(x)图象与 x 轴的交点,则 tanBAC( ) A B C D 【分析】根据条件设出 C 的坐标,求出 A,B 的坐标,再结合两角差的正切公式即可求 解结论 解:由题可得周期为 2; 设 C(a,0)则 B(a ,1),A(a ,1); KAC ,KAB 2; 又BAC 为两直线倾斜角的差, tanBAC 故选:B 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点,则 ( )的最小值为 ( ) A1
18、B3 C D 【分析】建立坐标系,求出各点坐标,表示出对应的向量坐标,代入数量积整理后即可 求解 解:建立如图所示坐标系, 设 P(x,y),则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2); (2x,2y), (2x,y)+(x,2y)(22x,22y); 则 ( )(2x) (22x)+ (2y) (22y)2 (x ) 2 2(y ) 2 2(x ) 2+2(y ) 21; 当 xy 时, ( )的最小值为1; 故选:A 11概率论起源于博弈游戏.17 世纪,曾有一个“赌金分配“的问题:博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负, 没有平局 双方约定, 各出赌金
19、 48 枚金币, 先赢 3 局者可获得全部赌金;但比赛中途因故终止了,此时甲赢了 2 局,乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识, 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( ) A甲 48 枚,乙 48 枚 B甲 64 枚,乙 32 枚 C甲 72 枚,乙 24 枚 D甲 80 枚,乙 16 枚 【分析】根据题意,计算甲乙两人获得 96 枚金币的概率,据此分析可得答案 解:根据题意,前三局比赛中,博弈水平相当的甲、乙,即两人获胜的概率均为 , 假设两人继续进行比赛:甲获取 96 枚金币的概率 P1 , 乙获取 96 枚金币的概率 P2
20、 , 则甲应该获得 96 72 枚金币; 乙应该获得 96 24 枚金币; 故选:C 12已知二面角 PABC 的大小为 120,且PABABC90,ABAP,AB+BC 6 若点 P,A,B,C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为( ) A45 B C D 【分析】设 ABx,(0x6),则 BC6x,由题意知三棱锥外接球的球心是过 PAB 和ABC 的外心 E,H,且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O,OB 为 三棱锥外接球半径,取 AB 的中点为 G,推导出EGH 的外接圆直径 OG , 从而OB 2OG2+GB2 (x ) 2 , 当 x 时, OB2的最小值为 ,
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