2020年天津市高考数学第四次全真模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考数学全真模拟试卷年高考数学全真模拟试卷 一、选择题. 1已知全集 UxN|x4，集合 A1，2，B2，4，则 A（UB）为（ ） A1 B0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 2下列说法错误的是（ ） A命题 p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10” B命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是真命题 C若 pq 为假命题，则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要不充分条件 3三个数 a0.53，blog30.5，c50.3之间的大小关系是（ ） Abac Babc Cacb Dbca 4 九章算术中有如

2、下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半， 莞生日自倍意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前 一天的一半， 莞每天长高前一天的两倍 请问第几天， 莞的长度是蒲的长度的 4 倍 （ ） A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 5已知 F1，F2分别为双曲线 3x2y23a2（a0）的左右焦点，P 是抛物线 y28ax 与双 曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|18，则抛物线的准线方程为（ ） Ax2 Bx3 Cx3 Dx2 6 将函数 的图象向左平移 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到 g （x） 的图象若 g（x1）g（x2）9，且 x1，x

3、22，2，则 2x1x2的最大值为（ ） A B C D 7某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生 物，政治，历史，地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要 从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A6 B12 C18 D19 8 如图， 原点 O 是ABC 内一点， 顶点 A 在 x 上， AOB150， BOC90， 2， 1， 3，若 ，则 （ ） A B C D 9已知定义在 R 上的函数 f（x）满足： f（1）0； 对任意 xR 的都有 f（x）f（x）； 对任意的 x1， x2 （0， +）

4、且 x1x2时， 总有 0； 记 g （x） ， 则不等式 g（x）0 的解集为（ ） A1，0）（0，1） B（，10，1） C1，0） D1，0 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 10i 为虚数单位，若复数（m2+2m3）+（m2m）i 是纯虚数，则实数 m 11在二项式（ ） 10的展开式中，常数项是 12已知函数 f（x）ex+ax（aR），若过原点 O 的直线 l 与曲线 yf（x）相切，切点为 P，若 ，则 a 的值为 13在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，AB3，BC4，PA5，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 14用 17

5、列货车将一批货物从 A 市以 vkm/h 的速度匀速行驶直达 B 市已知 A、B 两市间 铁路线长 400km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 km，则这批货物全 部运到 B 市最快需要 h，此时货车的速度是 km/h 15已知函数 f（x） 若存在四个不同的实数 a，b，c，d 且（abcd）， 使得|f（a）|f（b）|f（c）|f（d）|，记 S（a+b）cd，则 S 的值为 四、解答题：共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c1，cosBsinC+（ a sinB）cos（A+B

6、）0 （1）求角 C 的大小； （2）若 a3b，求 cos（2BC）的值 17如图，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，DE平面 ABCD，AFDE，DE3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60 （1）求证：AC平面 BDE； （2）求二面角 FBED 的余弦值 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a10，Sn+nan+1，nN* （）求证：数列an+1是等比数列， （） 设数列bn的首项 b11， 其前 n 项和为 Tn， 且点 （Tn+1， Tn） 在直线 上， 求 数列 的前 n 项和 Rn 19如图，已知圆 G：x2+y22x y0，经过椭圆 1（ab0）的右焦点 F

7、及 上顶点 B，过圆外一点 M（m，0）（ma）倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点， （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围 20已知函数 f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1（aR） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 aZ，若对任意的 x0，f（x）0 恒成立，求整数 a 的最大值； （）求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x10 参考答案 一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知全集 UxN|x4，集合 A1，2，B2，

8、4，则 A（UB）为（ ） A1 B0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 【分析】先求出全集 U 和UB，由此能求出 A（UB） 解：全集 UxN|x40，1，2，3，4， 集合 A1，2，B2，4， UB0，1，3， A（UB）0，1，2，3 故选：D 2下列说法错误的是（ ） A命题 p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10” B命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是真命题 C若 pq 为假命题，则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要不充分条件 【分析】利用命题的否定形式判断 A 的正误；四种命题的逆否关系判断

9、B 的正误；复合 命题的真假判断 C 的正误；充要条件判断 D 的正误； 解：命题 p：“x0R，x02+x0+10”，则p：“xR，x2+x+10”满足命题的否定形 式，所以 A 正确； 命题“若 x24x+30，则 x3”的否命题是 x3，则 x24x+30，否命题的真命题， 所以 B 正确； 若 pq 为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是 pq 为假命题，所以 C 不正确； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以 D 正确； 故选：C 3三个数 a0.53，blog30.5，c50.3之间的大小关系是（ ） Abac Ba

10、bc Cacb Dbca 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 解：a0.53（0，1），blog30.50，c50.31， bac， 故选：A 4 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半， 莞生日自倍意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前 一天的一半， 莞每天长高前一天的两倍 请问第几天， 莞的长度是蒲的长度的 4 倍 （ ） A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 【分析】根据题意，设蒲的长度组成数列an，莞的长度组成数列bn，第 t 天莞的长度 是蒲的长度的 4 倍，由等比数列的通项公式分析可得数列an、bn的通项公式以

11、及前 n 项和，进而可得 48（1 ）2 t1；解可得 t 的值，即可得答案 解：根据题意，设蒲的长度组成数列an，莞的长度组成数列bn，第 t 天莞的长度是蒲 的长度的 4 倍， 则数列an为等比数列， 其首项 a14， 公比为 ， 其前 n 项和为 A n， 则 An 8 （1 ）， 数列bn为等比数列，其首项 b11，公比为 2，其前 n 项和为 Bn，则 Bn 2 n 1， 若第 t 天莞的长度是蒲的长度的 4 倍，则有 48（1 ）2 t1； 解可得：t5， 故选：B 5已知 F1，F2分别为双曲线 3x2y23a2（a0）的左右焦点，P 是抛物线 y28ax 与双 曲线的一个交点，

12、若|PF1|+|PF2|18，则抛物线的准线方程为（ ） Ax2 Bx3 Cx3 Dx2 【分析】求出 P 点坐标，计算|PF1|，|PF2|，列方程计算 a 的值即可得出答案 解：双曲线的标准方程为 ， 双曲线的左焦点 F1（2a，0）为抛物线 y28ax 的焦点， 联立方程组 ，消元可得 3x2+8ax3a20， 解得 x3a 或 x （舍） 不妨设 P 在第二象限，则 P（3a，2 a）， 又 F2（2a，0），|PF1|5a，|PF2| ， |PF1|+|PF2|12a18，即 a 抛物线的准线方程为 x3 故选：C 6 将函数 的图象向左平移 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到

13、 g （x） 的图象若 g（x1）g（x2）9，且 x1，x22，2，则 2x1x2的最大值为（ ） A B C D 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再利用正 弦函数的最大值，判断当 2x1 ，2x2 时，2x1x2的取得最大值，从而求 得 2x1x2的最大值 解：将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 g （x）2sin（2x ）+1 的图象 若 g（x1）g（x2）9，则 g（x1）和 g（x2）都取得最大值 3，故 g（x1）和 g（x2）相差 一个周期的整数倍 故当 2x1 ，2x2 时，2x1x2的取得最大值 x1 ，

14、x2 ，2x1x2的取得最大值为 ， 故选：D 7某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生 物，政治，历史，地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要 从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A6 B12 C18 D19 【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算共六科中任选三科的选法数目，再排除其 中物理、政治、历史都没有选的情况数目，由组合数公式计算可得答案 解：根据题意，从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，有 C6320 种选法； 其中物理、政治、历史三科都没有选，即选了化学，生物，地理三科

15、，有 1 种情况， 则从物理、政治、历史三科中至少选考一科的选法有 20119 种； 即学生甲有 19 种选法； 故选：D 8 如图， 原点 O 是ABC 内一点， 顶点 A 在 x 上， AOB150， BOC90， 2， 1， 3，若 ，则 （ ） A B C D 【分析】先建立平面直角坐标得：A（2，0），B（ ， ），C（ ， ）， 再利用向量相等的坐标表示得： ，解得： ，即 ，得 解 解：建立如图所示的直角坐标系，则 A（2，0），B（ ， ）， C（ ， ）， 因为 ， 由向量相等的坐标表示可得： ， 解得： ， 即 ， 故选：D 9已知定义在 R 上的函数 f（x）满足： f（

16、1）0； 对任意 xR 的都有 f（x）f（x）； 对任意的 x1， x2 （0， +） 且 x1x2时， 总有 0； 记 g （x） ， 则不等式 g（x）0 的解集为（ ） A1，0）（0，1） B（，10，1） C1，0） D1，0 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）为奇函数且 f（0）0，结合单调性的定义可得 f（x）在（0，+）上为增函数，结合 f（1）0 以及函数奇偶性的性质分析可得 f（x） 0 与 f （x） 0 的 x 的取值范围， 又由 g （x） 0 即 g （x） 0， 即 或 或 ，解可得 x 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，f（x）满足对任意 xR 的都

17、有 f（x）f（x），即函数 f（x）为奇函 数，则有 f（0）0； 又由对任意的 x1， x2 （0， +） 且 x1x2时， 总有 0， 即函数 f （x） 在 （0， +）上为增函数， 若 f（1）0，则在区间（0，1）上，f（x）0，在区间（1，+）上，f（x）0， 又由 f（x）为奇函数，则在区间（，1）上，f（x）0，在区间（1，0）上，f （x）0， 则 g （x） 0 即 g （x） 0， 即 或 或 ， 解可得：1x0，即不等式 g（x）0 的解集为1，0； 故选：D 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 10i 为虚数单位，若复数（m2+2m3）+（

18、m2m）i 是纯虚数，则实数 m 3 【分析】由实部为 0 且虚部不为 0 求解 解：（m2+2m3）+（m2m）i 是纯虚数， ，解得 m3 故答案为：3 11在二项式（ ） 10的展开式中，常数项是 180 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 解：二项式（ ） 10 的展开式的通项公式为 Tr+1 2r ， 令 5 r0，则 r2， 常数项是 180， 故答案为：180 12已知函数 f（x）ex+ax（aR），若过原点 O 的直线 l 与曲线 yf（x）相切，切点为 P，若 ，则 a 的值为 （2e+1）或 1 【分析】设切点为

19、P（m，n），求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公 式，可得 m，n，a 的方程组，解方程可得 a 的值 解：设切点为 P（m，n）， 函数 f（x）ex+ax（aR）的导数为 f（x）ex+a， 可得切线的斜率为 em+a， 由题意可得 em+a ， 且|OP| ， 解得 m1，n（e+1）， a1 或（2e+1） 故答案为：1 或（2e+1） 13在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，AB3，BC4，PA5，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 50 【分析】以 AB，BC，PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球，由此能求

20、出三棱锥 PABC 的外接球的表面积 解：在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，AB3，BC4，PA5， 以 AB，BC，PA 为长宽高构建长方体， 则长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球， 三棱锥 PABC 的外接球的半径 R ， 三棱锥 PABC 的外接球的表面积为： S4R24（ ）250 故答案为：50 14用 17 列货车将一批货物从 A 市以 vkm/h 的速度匀速行驶直达 B 市已知 A、B 两市间 铁路线长 400km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 km，则这批货物全 部运到 B 市最快需要 8 h，此时货车的速度是 100 km/h 【分析】

21、设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y 小时，根据题意可知最前列与最后列之 间距离最小值为 16（ ） 2 千米时，时间最快，然后表示出 y 的解析式，利用基本不 等式可求出所求 解：设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y 小时，设列车为一个点， 可知最前的点与最后的点之间距离最小值为 16（ ） 2 千米时，时间最快 则 y ， 当且仅当 即 v100 千米/小时时， 时间 ymin8 小时 故答案为：8；100 15已知函数 f（x） 若存在四个不同的实数 a，b，c，d 且（abcd）， 使得|f（a）|f（b）|f（c）|f（d）|，记 S（a+b）cd，则 S 的值为 4 【分析

22、】根据题意，作出函数|f（x）|的图象，设|f（a）|f（b）|f（c）|f（d）|t， 则直线 yt 与函数 y|f（x）|d 的图象有四个交点，据此分析 a 与 b、c 与 d 的关系，进 而计算可得答案 解：根据题意，函数 f（x） ，则|f（x）|的图象如图： 若 abcd，使得|f（a）|f（b）|f（c）|f（d）|，设|f（a）|f（b）|f（c）| |f（d）|t， 则直线 yt 与函数 y|f（x）|d 的图象有四个交点， 若|f（a）|f（b）|，则（ 1） 1，变形可得 a+b4， 若|f（c）|lnc|lnc，|f（d）|lnd|lnd，由于lnclnd，变形可得 ln

23、c+lndlncd 0，则有 cd1； 故 S（a+b）cd4； 故答案为：4 四、解答题：共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c1，cosBsinC+（ a sinB）cos（A+B）0 （1）求角 C 的大小； （2）若 a3b，求 cos（2BC）的值 【分析】（1） 利用三角函数恒等变换的应用， 正弦定理， 两角差的正弦函数公式可得 tanC ，结合 C 的范围，即可求得 C 的值 （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 tanB，cos2B，sin2B 的值，进而可求 cos （

24、2BC）的值 解：（1）cosBsinC+（ asinB）cos（A+B）0 可得：cosBsinC（ asinB）cosC0 即：sinA acosC0 由正弦定理可知： ， acosC0， asinC accosC0，c1，可得 tanC ， C 是三角形内角， C （2）C ，a3b， 由正弦定理可得 ，可得 sin（ B）3sinB，可得 cosB sinB3sinB，可得 tanB ， cos2B ，sin2B ， cos（2BC）cos（2B ）cos2Bcos sin2Bsin 17如图，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，DE平面 ABCD，AFDE，DE3AF，BE 与平

25、面 ABCD 所成角为 60 （1）求证：AC平面 BDE； （2）求二面角 FBED 的余弦值 【分析】（1）根据题意，得 ACDE，ACBD，利用线面垂直的判定定理得出结论； （2）以 D 为圆心，AD，DC，DE 分别为 x，y，z 轴建立直角坐标系，求出平面 FBE 和 平面 BED 的法向量，利用夹角公式求出即可 解：（1）DE平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 ACDE， 又底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，故 ACBD， BDDED， 故 AC平面 BDE； （2）设 AFa，DE3AF3a，BE 与平面 ABCD 所成角为 60， 即DBE60，tan60 ，a ，

26、 以 D 为圆心，AD，DC，DE 分别为 x，y，z 轴建立直角坐标系， A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0， ），F（1，0， ），B（1，1，0）， 设平面 FBE 的法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ， ， ， ， 平面 BED 的法向量为 ， ， ， 由 cos ， ， 故二面角 FBED 的余弦值为 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a10，Sn+nan+1，nN* （）求证：数列an+1是等比数列， （） 设数列bn的首项 b11， 其前 n 项和为 Tn， 且点 （Tn+1， Tn） 在直线 上， 求 数列 的前 n 项和 Rn 【分析】（）根

27、据数列的递推公式即可得到an+1是以 1 为首项，以 2 为公比的等比 数列， （）先由数列的递推公式 bnn，再利用错位相减法即可求出答案 【解答】证明：（）由 Sn+nan+1， 得 Sn1+n1an，n2， 得 an+12an+1， a n+1+12（an+1）， a10， a1+11， an+1是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 解：（）由（）可得 an+12n1， an2n11， 点（Tn+1，Tn）在直线 上， 2， 是以 1 为首项，公差为 的等差数列， 1 （n） （n+1） Tn ， 当 n2 时，bnTnTn1 n， 又 b11 满足上式， bnn， n （ ）

28、n1 Rn1（ ） 0+2 （ ） 1+3 （ ） 2+n （ ） n1 R n1（ ） 1+2 （ ） 2+3 （ ） 3+n （ ） n， 由可得， Rn1+（ ） 1+（ ） 2+（ ） 3+ （ ） nn （ ）， n （ ） n2（n+2） ， Rn4 19如图，已知圆 G：x2+y22x y0，经过椭圆 1（ab0）的右焦点 F 及 上顶点 B，过圆外一点 M（m，0）（ma）倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点， （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围 【分析】（1）依据题意可求得 F，B 的坐标，求得 c 和

29、 b，进而求得 a，则椭圆的方程可 得； （2）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立消去，利用判别式大于 0 求得 m 的范围，设出 C， D 的坐标， 利用韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2， 进而利用直线方程求得 y1y2， 表示出 和 ， 进而求得 的表达式， 利用 F 在圆 E 的内部判断出 0 求得 m 的范围， 最后综合可求得 md 范围 解：（1） 过点 F、B， F（2，0）， ， ， 故椭圆的方程为 （2）直线 l： 消 y 得 2x22mx+（m26）0 由0 ， 又 设 C （x1， y1） 、 D （x2， y2） ， 则 x1+x2m， ， ， ， ， ， F 在

30、圆 E 的内部， ， 又 20已知函数 f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1（a一、选择题） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 aZ，若对任意的 x0，f（x）0 恒成立，求整数 a 的最大值； （）求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x10 【分析】（）求出原函数的导函数 f（x） （x0），得若 a0，则 f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；若 a0，求出导函数的零点，对函 数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性； （）若 a0，则 f（1）2a+30，不满足 f（x）0 恒成立若 a0，由（）求 得函数的最大值，又 f（x）0 恒成立，可得 l

31、n（ ） 0，设 g（x）lnx+x，则 g （ ）0由函数零点判定定理可得存在唯一的 x0（ ， ），使得 g（x0）0得 到 a （2，1），结合 aZ，可知 a 的最大值为2； （）由（）可知，a2 时，f（x）lnx2x2+10，则xlnx2x3+x，得到 ex xlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1 记 u（x）exx2+2x1（x0），利用两次求导证明 exxlnx+2x3x2+x10 【解答】（） 解： f （x） lnx+ax2+ （a+2） x+1， f （x） 2ax+a+2 （x0） ， 若 a0，则 f（x）0，函数 f（x）在（0，

32、+）上单调递增； 若 a0，由 f（x）0，得 0x ；由 f（x）0，得 x 函数 f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减； （）解：若 a0，则 f（1）2a+30，不满足 f（x）0 恒成立 若 a0，由（）可知，函数 f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调 递减 ，又 f（x）0 恒成立， 0， 设 g（x）lnx+x，则 g（ ）0 函数 g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（1）10，g（ ） 0， 存在唯一的 x0（ ， ），使得 g（x0）0 当 x（0，x0）时，g（x）0，当 x（x0，+）时，g（x）0 0 x 0，解得 a （2，1）， 又

33、 aZ，a2 则综上 a 的最大值为2； （）由（）可知，a2 时，f（x）lnx2x2+10， lnx2x21，则xlnx2x3+x， exxlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1 记 u（x）exx2+2x1（x0），则 u（x）ex2x+2 记 h（x）ex2x+2，则 h（x）ex2， 由 h（x）0，得 xln2 当 x（0，ln2）时，h（x）0，当 x（ln2，+）时，h（x）0， 函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增， 42ln20 h（x）0，即 u（x）0，故函数 u（x）在（0，+）上单调递增 u（x）u（0）e010，即 exx2+2x10 exxlnx+2x3x2+x10