高考数学《数列》专项训练及答案解析

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1、高考数学高考数学数列数列专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1等差数列 n a的前n项和为 n S，若 21 63S，则 31119 aaa（ ） A12 B9 C6 D3 2等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 4a、 2 2a、 3 a成等差数列，若 1 1a ，则 5 S （ ） A15 B16 C31 D32 3已知等差数列 n a前n项和为 n S，若 10 10S， 20 60S，则 40 S（ ） A110 B150 C210 D280 4若数列 n a的前n项和为 n S，且 2 1221 1,2,111 nnn aaSSS ，则 n S （ ） A 1 2 n n

2、 B 1 2n C2 1 n D 1 21 n 5设 n S为数列 n a的前n项和， * 32 nn SanN，则 n a的通项公式为（ ） A 1 2n n a - = B 1 3 2 n n a C 1 2 3 n n a D 1 1 2 n n a 6对于数列 n a，规定 n a为数列 n a的一阶差分数列，其中 * 1nnn aaan N ，对自 然数2k k ， 规定 k n a 为数列 n a的k阶差分数列， 其中 11 1 kkk nnn aaa .若 1 1a ， 且 2* 1 2n nnn aaan N ，则数列 n a的通项公式为（ ） A 21 2n n an B 1

3、 2n n an C 2 12n n an D 1 212n n an 7等比数列 n a的各项均为正数，已知向量 45 ,aa a， 76 ,ba a，且 4a b ，则 2 1222 10 logloglog(aaa ) A12 B10 C5 D 2 2log 5 8数列 n a满足： 11 2 nnn aaa * 1,nnN ，给出下述命题正确的个数是： （ ） 若数列 n a满足： 21 aa，则 1nn aa * 1,nnN ； 存在常数c，使得 * n ac nN成立； 若p qmn （其中 * , ,p q m nN） ，则 pqmn aaaa ； 存在常数d，使得 1 1 n

4、aand * nN都成立 A1个 B2个 C3个 D4个 二、多选题二、多选题 9等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 0a ，公差0d ，则下列命题正确的是（ ） A若 59 SS ，则必有 14 0S B若 59 SS ，则必有 7 S是 n S中最大的项 C若 67 SS，则必有 78 SS D若 67 SS，则必有 56 SS 10已知等比数列 n a中，满足 1 1,2aq，则（ ） A数列 2n a是等比数列 B数列 1 n a 是递增数列 C数列 2 log n a是等差数列 D数列 n a中， 102030 ,SSS仍成等比数列 11设等比数列 n a的公比为q，其前n

5、项和为 n S，前n项积为 n T，并且满足条件 1 1a ， 6 67 7 1 1,0 1 a a a a ，则下列结论正确的是（ ） A01q B 68 1a a C n S的最大值为 7 S D n T的最大值为 6 T 12设 x为不超过x的最大整数， n a为 0,x xxn 能取到所有值的个数， n S是数列 1 2 n an 前n项的和，则下列结论正确的有（ ） A 3 4a B190 是数列 n a中的项 C 10 5 6 S D当7n时， 21 n a n 取最小值 三三、填空题填空题 13数列 1 (252 )2nn 的最大项所在的项数为_. 14设数列 n a满足 1 a

6、a， * 1 1 12 nnn aaanN ，若数列 n a的前 2019 项的乘积 为 3，则a_ 15在数列 n a中， 1 3a ，且 1 22 2 1 nn aa nn . （1） n a的通项公式为_； （2）在 1 a、 2 a、 3 a、 2019 a这2019项中，被10除余2的项数为_ 四四、解答题、解答题 16已知数列 n a满足 1 1a ，且 1 1 3 n n n a a a . (1)证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式. (2)若 2 1 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S. 17已知等差数列an满足a59，a2a6

7、14. (1)求an的通项公式； (2)若0 n a nn baqq，求数列bn的前n项和Sn. 18设d为等差数列 n a的公差，数列 n b的前n项和 n T，满足 1 ( 1) 2 n nn n Tb （ * Nn） ，且 52 dab ，若实数 23 | kkk mPx axa （ * Nk ，3k ） ，则称m具有性质 k P. （1）请判断 1 b、 2 b是否具有性质 6 P，并说明理由； （2）设 n S为数列 n a的前n项和，若2 nn Sa 是单调递增数列，求证：对任意的k（ * Nk ， 3k ） ，实数都不具有性质 k P； （3）设 n H是数列 n T的前n项和，

8、若对任意的 * Nn， 21n H 都具有性质k P，求所有满足条件的 k的值. 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 利用等差中项的性质可得 2111 21Sa，求得 11 3a ；再根据下角标的性质可求得结果. 【详解】 由等差数列性质可知： 2111 2163Sa，解得： 11 3a 3111911 39aaaa 本题正确选项：B 【点睛】 本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 2C 【解析】 【分析】 设等比数列 n a的公比为q，根据题意得出关于q的二次方程，求出q的值，然后利用等比数列求 和公式可求出 5 S的值. 【详解】 设等比数列 n a的公比为q，由于 1 4a、

9、 2 2a、 3 a成等差数列，且 1 1a ， 213 44aaa，即 2 44qq，即 2 440qq，解得 2q = ， 因此， 55 1 5 111 2 31 11 2 aq S q . 故选：C. 【点睛】 本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础 题. 3D 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得 10 S， 1200 SS， 3020 SS， 4030 SS也成等差数列，由此求得 40 S的值. 【详解】 解：等差数列 n a前n项和为 n S 10 S， 1200 SS， 3020 SS， 4030 SS也成等差数列 故 1000

10、132020 ()2()SSSSS ， 30=150 S 又 102040303020 ) (2()()SSSSSS 40=280 S 故选 D. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前 n 项和公式的应用. 4C 【解析】 【分析】 对已知 2 21 111 nnn SSS ，进行化简，令1 nn bS，可得 2 21nnn bbb ，即 n b为 等比数列，利用 12 1,2aa可计算出 n b的首项和公比，从而可求得 n b的通项，得到 n S的通项. 【详解】 2 21 111 nnn SSS ， 令1 nn bS 2 21nnn bbb ，可得 n b为等比数列，设

11、其公比为q 1112212 112,114bSabSaa 2 1 2 b q b ， 11 1 2 22 nnn n bb q 121 n nn Sb ，故选 C 项. 【点睛】 本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题. 5B 【解析】 【分析】 先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列 n a是等比数列，最后求 出通项公式即可. 【详解】 因为32() nn San ，1n 时， 11 32Sa ，可得 1 1a ， 2n时， 11 32 nn Sa ，-得 1 33 nnn aaa ， 1 3 2 nn aa ， 所以 n a是等比

12、数列， 11 33 1 ( )( ) 22 nn n a . 故选：B 【点睛】 本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力. 6B 【解析】 【分析】 根据题中定义结合等式 2* 1 2n nnn aaan N 可得出 1 22n nn aa ， 等式两边同时除以 1 2n，可得出 1 1 1 222 nn nn aa ，可知数列 2 n n a 是以 1 2 为首项，以 1 2 为公差的等差数列，求出数列 2 n n a 的通项公式，即可得出 n a. 【详解】 根据题中定义可得 2* 111 2 n n nnnnnn aaaaaana N ， 即 11 22n nnn

13、nnnn aaaaaaa ，即 1 22n nn aa ， 等式两边同时除以 1 2n，得 1 1 1 222 nn nn aa ， 1 1 1 222 nn nn aa 且 1 1 22 a ， 所以，数列 2 n n a 是以 1 2 为首项，以 1 2 为公差的等差数列， 11 1 2222 n n an n， 因此， 1 2n n an . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能 力，属于中等题. 7C 【解析】 【分析】 利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出 【详解】 向量a（ 4 a， 5

14、a） ，b（ 7 a， 6 a） ，且ab4， 47 a a+ 56 a a4， 由等比数列的性质可得： 1 10 a a 47 a a 56 a a2， 则 2 1222 10 logloglogaaalog2（ 12 a a 10 a） 5 5 21 102 loglog 25a a 故选C 【点睛】 本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中 档题 8A 【解析】 【分析】 由 11 2 nnn aaa 得， 11nnnn aaaa ，然后结合条件，逐一判断四个命题的真假 【详解】 由 11 2 nnn aaa ，得 11nnnn aaaa ，

15、即数列 1nn aa 是递增数列 对于，若 21 aa，则 12211 0 nnnn aaaaaa ， 1nn aa 成立，正确； 对于，若数列 n a为递减数列，如： 1 1 1 1, 2 3 4 ，满足题意，但是当n时， n a ， 不存在常数c，使得 * n ac nN成立，错误； 对于， 若数列 n a为递减数列， 如： 1 1 1 1, 2 3 4 ， 满足题意，2 4 1 3 ， 但是 2413 aaaa， 错误； 对于，若数列 n a为递减数列，如： 1 1 1 1, 2 3 4 ，满足题意，但是当n时， n a ， 故不存在常数d，使得 1 1 n aand * nN都成立，错

16、误 故选：A 【点睛】 本题主要考查数列递推式以及数列单调性的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于中档题 9ABC 【解析】 【分析】 直接根据等差数列 n a的前n项和公式 1 1 2 n n nd Sna 逐一判断 【详解】 等差数列 n a的前n项和公式 1 1 2 n n nd Sna ， 若 59 SS ，则 11 510936adad， 1 2130ad， 1 13 2 d a ， 1 0a ，0d ， 114 0aa， 11414 07 aaS，A对； 1 1 2 n n nd Sna 113 22 n ndnd 2 749 2 dn ， 由二次函数的性质知 7 S是 n S

17、中最大的项，B对； 若 67 SS，则 71 60aad， 1 6ad ， 1 0a ，0d ， 61 5aad6dd0d ， 877 0aada， 5656 SSSa， 7878 SSSa，C对，D错； 故选：ABC 【点睛】 本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题 10AC 【解析】 【分析】 根据题意求出等比数列 n a的通项公式，即可求出数列 2n a， 1 n a ， 2 log n a的通项公式，并 判断数列类型，由等比数列前n项和公式，可求出 102030 ,SSS，即可判断选项D的真假 【详解】 等比数列 n a中， 1 1,2aq，所以 1 2n n a -

18、=，21 n n S 于是 1 2 4n n a ， 1 11 2 n n a ， 2 log1 n an，故数列 2n a是等比数列， 数列 1 n a 是递减数列，数列 2 log n a是等差数列 因为 102030 102030 21,21,21,SSS 2030 1020 SS SS ，所以 102030 ,SSS不成等比数列 故选：AC 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于 基础题 11AD 【解析】 【分析】 分类讨论 67 ,a a大于 1 的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 67 1,1aa, 与题设 6 7 1

19、 0 1 a a 矛盾. 67 1,1,aa符合题意. 67 1,1,aa与题设 6 7 1 0 1 a a 矛盾. 67 1,1,aa与题设 1 1a 矛盾. 得 67 1,1,01aaq，则 n T的最大值为 6 T. B，C，错误. 故选：AD. 【点睛】 考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式： 1* 1 n n aa qnN . 12ACD 【解析】 【分析】 先根据 n a的定义可求得 123 ,a a a,再确定 n a的递推公式,从而求得 n a的通项公式求解即可. 【详解】 当1n 时, 0,1x , 0x , 0x x ,故 0x x ,即 1 1a , 当2

20、n时,0,2x, 0,1x , 01,2x x ,故 0,1x x ,即 2 2a , 当3n时,0,3x, 0,1,2x , 01,24,6x x ,故 0,1,4,5x x ,即 3 4a , 以此类推,当2n,0,xn时, 0,1,2,.xn, 2 01,24,6(1) , (1)x xnn n ,故 x x 可以取的个数为 2 2 1 1 23 .1 2 nn n ,即 2 2 ,2 2 n nn an 当1n 时也满足上式,故 2 2 , 2 n nn anN . 对 A, 2 3 33 2 4 2 a ,故 A 正确. 对 B,令 2 2 2 1903780 2 n nn ann

21、无整数解.故 B 错误. 对 C, 1211 2() 2(1)(2)12 n annnnn . 故 1111112 2(.)1) 2334122 n nn S n .故 10 25 1 126 S .故 C 正确. 对 D, 21221221 2 2222 n ann nnn .当且仅当 22 2 116,7 2 n n n 时取等号. 因为nN ,当6n时, 211 6 6 n a n , 当7n时, 211 6 7 n a n , 故当7n时, 21 n a n 取最小值,故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】 本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递

22、推公式推导 通项公式的方法等.属于难题. 三、填空题 1311. 【解析】 【分析】 1 (252 )2n n an ，2n时， 1 1 nn nn aa aa ，得到关于n的不等式组，解得n的范围，结合 * nN， 得到n的值，再与1n 时进行比较，得到答案. 【详解】 令 1 (252 )2n n an ， 当2n时，设 n a为最大项，则 1 1 nn nn aa aa 即 12 1 (252 )2(272 )2, (252 )2(232 )2 , nn nn nn nn 解得 2123 22 n. 而 * nN，所以11n 又1n 时，有 12 2342aa， 所以数列 1 (252

23、)2nn 的最大项所在的项数为11. 故答案为：11 【点睛】 本题考查求数列中的最大项，属于简单题. 142 【解析】 【分析】 本题先根据递推式的特点可知1 n a ，然后将递推式可转化为 1 1 . 1 n n n a a a 再根据 1 aa逐步代入 前几项即可发现数列 n a是以最小正周期为 4 的周期数列再算出一个周期内的乘积为 1，即可根 据前 2019 项的乘积为 3 求出a的值 【详解】 解：由题意，根据递推式，1 n a ，故递推式可转化为 1 1 1 n n n a a a 1 aa， 2 1 1 a a a ， 2 3 2 1 1 11 1 1 1 1 1 a a a

24、a a aa a ， 3 4 3 1 1 11 1 11 1 aa a a aa a ， 4 5 4 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a aa a a a 数列 n a是以最小正周期为 4 的周期数列， 1234 111 1 11 aa a aaaa aaa 20194 504 3 Q， 122019123 111 3 11 aa a aaa aaa aaa ， 解得2a 故答案为：2 【点睛】 本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题 17 2 22 n ann 403 【解析】 【分析】 （1）根据题意得知数列 2 n a n 为等差数列，确定该数列的首项和公

25、差，可求出数列 2 n a n 的 通项公式，即可求出 n a； （2） 设 2 22 1 02 n annkkZ ，可得出1021knn，由21n为奇数，可得出n为 10的倍数或21n为5的奇数倍且n为偶数，求出两种情况下n值的个数，相加即可得出答案. 【详解】 （1） 1 22 2 1 nn aa nn 且 1 2 1 1 a ， 所以，数列 2 n a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 2 12121 n a nn n ， 2 22 n ann； （2）被10整除且余数为2的整数可表示为102kkZ， 令 2 22102 n annk，可得1021knn， nN ，且12019n

26、，则21n为奇数， 则n为10的倍数，或者21n为5的奇数倍且n为偶数. 当n为10的倍数时，n的取值有：10、20、30、2010，共201个； 当21n为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有：8、18、28、2018，共202个. 综上所述，在 1 a、 2 a、 3 a、 2019 a这2019项中，被10除余2的项数为201 202403. 故答案为： 2 22nn；403. 【点睛】 本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中 等题. 16 （1）见解析，1 2 n n a （2）121 n n Sn 【解析】 【分析】 (1)根据等差数列的

27、定义即可证明数列 1 1 n a 是等差数列，并通过数列 1 1 n a 的通项公式得到 数列 n a的通项公式； (2)因为 1 2 2 1 n n n n bn a ，根据错位相减法即可求出数列 n b的前n项和 n S 【详解】 (1)因为 1 1 3 n n n a a a 两边都加上1，得 1 21 1 3 n n n a a a 所以 1 11211 1 12121 nnn aaa ，即 1 111 112 nn aa ， 所以数列 1 1 n a 是以 1 2 为公差，首项为 1 11 12a 的等差数列 所以 1 12 n n a ，即1 2 n n a (2)因为 1 2 2

28、 1 n n n n bn a ，所以数列 n b的前n项和， 121 1 12 23 2.2n n Sn 则 123 21 22 23 2.2n n Sn ， 由，得 121 1 1 1 21 21 22121 nnn n Snn -， 所以1 21 n n Sn 【点睛】 本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生 的数学运算能力，属于中档题 17 （1）an2n1（2） 2 2 2 1 ,1 1 ,01 1 n n n nq S qq nqq q 且 【解析】 【分析】 （1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，将条件转化为基本量再进行计算，

29、得到 1 a和d的值， 从而得到an的通项公式； （2）先得到 n b的通项，然后当q0 且q1 时，对 n b进行分组求和，分 为一个等差数列和一个等比数列，分别求和再相加，当q1 时， n b是一个等差数列，利用等差数 列的求和公式进行求和. 【详解】 (1)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 则由a59，a2a614 得 1 1 49 2614 ad ad 解得 1 1 2 a d 所以an的通项公式an2n1. (2)由an2n1， 得 21 21 n n bnq . 当q0 且q1 时， Sn1357(2n1)(q 1q3q5q7q2n1) 2 2 2 1 1 n qq n q

30、； 当q1 时，bn2n，则Snn(n1) 所以数列bn的前n项和 2 2 2 1 ,1 1 ,01 1 n n n nq S qq nqq q 且 . 【点睛】 本题考查通过基本量求等差数列的通项公式，分组求和法求数列前n项的和，属于中档题. . 18 （1） 1 b不具有性质 6 P， 2 b具有性质 6 P，理由见解析； （2）证明见解析； （3）3和4. 【解析】 【分析】 （1） 求得1234567n= ， ， ， ， ， ，时,数列 n b的前 7 项,可得d和首项 1 a,得到等差数列 n a的通项,即可判 断 1 b、 2 b是否具有性质 6 P； （2） 由题意可得 n 1n

31、 1nn S2 aS2 all + -? ,代入等差数列 n a的通项公式和求和公式,化简整理可得 入1 ,结合集合中元素的特点,即可得证； （3）求得 21 1234H n n - = ， ， ， ， 的特点,结合3456k = ， ， ， 集合的特点,即可得到所求取值. 【详解】 解： （1）由 111 11 22 Tbb 得 1 1 4 b , 又 31233 412344 11 88 11 1616 Tbbbb Tbbbbb ,得 2 1 4 b , 可得 5 114 (5)(5) 444 n n aandn , 从而 6 5 |0 4 Pxx , 故 1 b不具有性质 6 P, 2

32、b具有性质 6 P. （2） 2 17416314 22 42448 nn n nnnn San , 因为数列2 nn Sa单调递增,所以 743 22 ,即1 , 又数列 n a单调递增,则数列 n a的最小项为 1 3 1 4 a , 则对任意 *, 3k kN k,都有 2 3 1 4 k a , 故实数都不具有性质 k P. （3）因为 1 ( 1) 2 n nn n Tb ,所以 1* 11 1 1 ( 1)(2,N ) 2 n nn n Tbnn , 两式相减得 1 11 1 11 ( 1)( 1) 22 nn nnnn nn TTbb * (2,N )nn, 即 1 1 ( 1)

33、( 1) 2 nn nnn n bbb * (2,N )nn, 当n为偶数时, 1 1 2 nnn n bbb ,即 1 1 2 n n b ,此时1n为奇数； 当n为奇数时, 1 1 2 nnn n bbb ,即 1 1 2 2 nn n bb ,则 1 1 1 2 n n b , 此时1n为偶数； 则 1 1 , 2 1 , 2 n n n n b n 为奇数 为偶数 , * Nn. 则 1 1 , 2 0, n n n T n 为奇数 为偶数 , 故 2112342221nnn HTTTTTT 2 2468222 11 (1) 11111111 24 (1) 1 22222234 1 4 n nnn , 因为 1 1 4n 对于一切 * Nn递增,所以 31 11 44n , 所以 21 11 34 n H . 若对任意的 * Nn, 21n H 都具有性质k P,则 11 (, 34 61 44 kk xx , 即 61 43 11 44 k k ,解得 14 0 3 k,又 * 2,Nkk,则3k 或4, 即所有满足条件的正整数k的值为3和4. 【点睛】 本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式的求法,集合的性质和数列的单调性的判断 和应用,考查化简整理的运算能力,属于难题.