（精品资料）2020年中考数学压轴题突破专题十图形变换综合题探究专题解析版

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1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题十专题十 图形图形 变换综合题探究专题变换综合题探究专题 类型一 【图形的平移】 【典例指引 1】1两个三角板 ABC，DEF 按如图所示的位置摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同 一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，CDEF90 ，ABCF30 ，AC DE4 cm.现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动设 三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y (cm2) (1)当点 C 落在边 E

2、F 上时，x_cm； (2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N，直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的 最小值 【举一反三】 如图， 将两块全等的三角板拼在一起， 其中ABC 的边 BC 在直线 l 上， ACBC 且 AC=BC； EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，EFFP 且 EF=FP （1）在图中，通过观察、测量，猜想直接写出 AB 与 AP 满足的数量关系和位置关系，不要说明理由； （2）将三角板EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时，EP 交 AC 于点

3、Q，连接 AP、BQ猜想写出 BQ 与 AP 满足的数量关系和位置关系，并说明理由 类型二 【图形的轴对称-折叠】 【典例指引 2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点(3,0)，点(0,4)，点(0,0).是 边上的一点(点不与点，重合)，沿着折叠该纸片，得点的对应点. ()如图，当 = 30时，求点的坐标； ()如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ()当与坐标轴平行时，求点的坐标(直接写出结果即可). 【举一反三】如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作 FGCD，交 AE 于点 G，连接 D

4、G （1）求证：四边形 DEFG 为菱形； （2）若 CD=8，CF=4，求 CE DE 的值 类型三 【图形的旋转】 【典例指引3】 如图 1， 点 O是正方形 ABCD 两对角线的交点， 分别延长 OD到点G， OC到点E， 使OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE （1）求证：DEAG； （2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角（0 360 ）得到正方形 OEFG，如 图 2 在旋转过程中，当OAG是直角时，求 的度数； 若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF长的最大值和此时 的度数

5、，直接写出结果不必说明 理由 【举一反三】 （1） （问题发现） 如图 1，在 Rt ABC 中，ABAC2，BAC90 ，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF， 点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 （2） （拓展研究） 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变 化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3） （问题发现） 当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 类型四 【图形的位似】 【典例指引 4】如图，二次函数 y=x23

6、x 的图象经过 O（0，0） ，A（4，4） ，B（3，0）三点，以点 O 为位 似中心，在 y 轴的右侧将 OAB 按相似比 2：1 放大，得到 OAB，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经 过 O，A，B三点 （1）画出 OAB，试求二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的表达式； （2）点 P（m，n）在二次函数 y=x23x 的图象上，m0，直线 OP 与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象 交于点 Q（异于点 O） 连接 AP，若 2APOQ，求 m 的取值范围； 当点 Q 在第一象限内，过点 Q 作 QQ平行于 x 轴，与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图

7、象交于另一点 Q， 与二次函数 y=x23x 的图象交于点 M，N（M 在 N 的左侧） ，直线 OQ与二次函数 y=x23x 的图象交于点 P QPMQBN，则线段 NQ 的长度等于 【举一反三】如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角 形称为“格点三角形”，图中的 ABC 是格点三角形在建立平面直角坐标系后，点 B 的坐标为(1，1) (1)把 ABC 向下平移 5 格后得到 A1B1C1，写出点 A1，B1，C1的坐标，并画出 A1B1C1； (2)把 ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 180 后得到 A2B2C2，写出点 A2，B2，C2的

8、坐标，并画出 A2B2C2； (3)把 ABC 以点 O 为位似中心放大得到 A3B3C3，使放大前后对应线段的比为 12，写出点 A3，B3，C3 的坐标，并画出 A3B3C3. 【新题训练】 1在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（4，5） ， （1，3） （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）写出点 B 的坐标 ； （3）将 ABC 向右平移 5 个单位长度，向下平移 2 个单位长度，画出平移后的图形 ABC； （4）计算 ABC的面积 （5）在 x 轴上存在一点 P，使 P

9、A+PC 最小，直接写出点 P 的坐标. 2如图（1） ，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ，将线段 AB 先向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到线段 CD，连接 AC，BD，构成平行四边形 ABDC （1）请写出点 C 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ，S四边形ABDC ； （2）点 Q 在 y 轴上，且 S QABS四边形ABDC，求出点 Q 的坐标； （3）如图（2） ，点 P 是线段 BD 上任意一个点（不与 B、D 重合） ，连接 PC、PO，试探索DCP、CPO、 BOP 之间的关系，并证明你的结论 3 （问题情境）在综合实

10、践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图，先将一张长为 4， 宽为 3 的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形，则拼得的四边形 的周长是_. （操作发现）将图中的沿着射线方向平移，连结、，如图.当 的平移距离是的长度时，求四边形的周长. （操作探究）将图中的继续沿着射线方向平移，其它条件不变，当四边形是菱形时， 将四边形沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的 ABCD3AD4BD ABCD ABEDBADBCAFCEABE 1 2 BEAECF ABEDBABCD ABCD 矩形周长. 4如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为

11、 1，顶点都在网格线交点处的三角形， 是一个格点三角形 在图中，请判断与是否相似，并说明理由； 在图中，以 O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为 2：1 在图中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与相似，且有一条公共边和一个公共角 5已知：是的高，且 . （1）如图 1，求证：； （2）如图 2，点 E 在 AD 上，连接，将沿折叠得到，与相交于点，若 BE=BC，求的大小； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，若， ，求线段的长. 图 1. 图 2. 图 3. 6如图，长方形在平面直角坐标系的第一象限内，点 在轴正半轴上，点在轴的正半 轴上，点、分

12、别是、的中点，点的坐标为. 6 6ABC 1ABCDEF 2ABC 3ABC ADABCBDCD BADCAD BEABEBEA BE A BACF BFC EFCCGEFEFG10BF 6EG CF OABC xOy A x C y DEOCBC30CDEE2,a （1）求的值及直线的表达式； （2） 现将长方形沿折叠， 使顶点落在平面内的点处， 过点作轴的平行线分别交轴 和于点，. 求的坐标； 若点为直线上一动点，连接 ，当为等腰三角形，求点的坐标. （说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 7如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点

13、O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n， ABD+ADB=ACB （1）填空：BAD 与ACB 的数量关系为_； （2）求的值； （3）将 ACD 沿 CD 翻折，得到 ACD（如图 2） ，连接 BA，与 CD 相交于点 P若 CD=，求 PC 的长 8如图，直线：y+4 与 x 轴、y 轴分别別交于点 M、点 N，等边 ABC 的高为 3，边 BC 在 x 轴 上，将 ABC 沿着 x 轴的正方向平移，在平移过程中，得到 A1B1C1，当点 B1与原点 O 重合时，解答下列 问题： a DE OABCDECCC yx BCFG C PDEPCPC DP 30 m n 5+1

14、2 3 3 x （1）点 A1的坐标为 （2）求 A1B1C1的边 A1C1所在直线的解析式； （3）若以 P、A1、C1、M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 P 点坐标 9已知： ABC 和 ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD，点 F，G，H 分别为 DE，BE，CD 中点 （1）当 ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则 FGH 的形状为 ，说明理由； （2）在 ADE 旋转的过程中，当 B，D，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2，求线段 FH 的长； （3）在 ADE 旋转的过程中，若 AB=a，AD=b（ab0） ，则 FGH 的周长是否存在最大值和最小值，

15、若 存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由 10综合与实践 问题背景 折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不 是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最 著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理其中，芳贺折纸第 一定理的操作过程及内容如下（如图 1） ： 操作 1：將正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合再将正方形 ABCD 展开，得到折痕 EF； 操作 2： 再将正方形纸片的右下角向上翻折， 使点 C 与点 E

16、重合， 边 BC 翻折至 BE 的位置， 得到折痕 MN， BE 与 AB 交于点 P则 P 即为 AB 的三等分点，即 AP：PB=2：1 解决问题 （1）在图 1 中，若 EF 与 MN 交于点 Q，连接 CQ求证：四边形 EQCM 是菱形； （2）请在图 1 中证明 AP：PB=2：l 发现感悟 若 E 为正方形纸片 ABCD 的边 AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程，请你思考并解决 如下问题： （3）如图 2若 =2则= ； （4）如图 3，若=3，则= ； （5）根据问题（2） ， （3） ， （4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出

17、来， 不要求证明 11在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时 针旋转矩形，得到矩形，点，的对应点分别为，. （）如图，当点落在边上时，求点的坐标； （）如图，当点落在线段上时，与交于点. 求证； 求点的坐标. （）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）. DE AE AP BP DE AE AP BP AOBC (0,0)O(5,0)A(0,3)B A AOBCADEFOBCDEF DBCD DBEADBCH ADBAOB H KAOBCSKDES 12已知 O 为直线 MN 上一点，OPMN，在等腰 Rt ABO 中，ACOP 交 OM 于

18、C，D 为 OB 的中点，DEDC 交 MN 于 E (1) 如图 1，若点 B 在 OP 上，则AC OE(填“”，“”或“”)；线段 CA、CO、CD 满足的等量关系 式是 ； (2) 将图 1 中的等腰 Rt ABO 绕 O 点顺时针旋转()，如图 2，那么(1)中的结论是否成立？ 请说明理由； (3) 将图 1 中的等腰 Rt ABO 绕 O 点顺时针旋转()，请你在图 3 中画出图形，并直接写出线段 CA、CO、 CD 满足的等量关系式 ； 13如图 1，在中，点 ，分别在边，上，连 接，点，分别为，的中点. （1）观察猜想 图 1 中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探

19、究证明 把绕点逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接，判断的形状，并说明理 由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值. 14已知MAN=135 ，正方形 ABCD 绕点 A 旋转 （1）当正方形 ABCD 旋转到MAN 的外部（顶点 A 除外）时，AM，AN 分别与正方形 ABCD 的边 CB，CD 的延长线交于点 M，N，连接 MN 90BAO 045 如图 1，若 BM=DN，则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 ； 如图 2，若 BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由； （2） 如图 3， 当正方形 AB

20、CD 旋转到MAN 的内部 （顶点 A 除外） 时， AM， AN 分别与直线 BD 交于点 M， N，探究：以线段 BM，MN，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由 15已知：如图，是由一个等边 ABE 和一个矩形 BCDE 拼成的一个图形，其点 B，C，D 的坐标分别为(1， 2)，(1，1)，(3，1) (1)直接写出 E 点和 A 点的坐标； (2)试以点 B 为位似中心，作出位似图形 A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为 31； (3)直接写出图形 A1B1C1D1E1的面积 16如图 1，将长为 10 的线段 OA 绕点 O 旋转 90 得到 OB，

21、点 A 的运动轨迹为，P 是半径 OB 上一动 点，Q 是上的一动点，连接 PQ. 发现：POQ_时，PQ 有最大值，最大值为_； 思考： （1）如图 2，若 P 是 OB 中点，且 QPOB 于点 P，求的长； （2） 如图 3， 将扇形 AOB 沿折痕 AP 折叠， 使点 B 的对应点 B恰好落在 OA 的延长线上， 求阴影部分面积； 探究：如图 4，将扇形 OAB 沿 PQ 折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径 OA 相切，切点为 C，若 OP6，求 点 O 到折痕 PQ 的距离 AB AB BQ 17 （本小题 10 分） 将一个直角三角形纸片 ABO，放置在平面直角坐标系中，点 A（，

22、0） ，点 B（0， 1） ，点 O（0，0） 过边 OA 上的动点 M（点 M 不与点 O，A 重合）作 MNAB 于点 N，沿着 MN 折叠该纸 片，得顶点 A 的对应点 A设 OM =m，折叠后的 AMN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S 图 （）如图，当点 A与顶点 B 重合时，求点 M 的坐标； （）如图，当点 A落在第二象限时，AM 与 OB 相交于点 C，试用含 m 的式子表示 S； （）当 S=时，求点 M 的坐标（直接写出结果即可） 18如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90 ，EDF=30 操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E

23、放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使 边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一：在旋转过程中， （1）如图 2，当时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图 3，当时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为 ，其 3 3 24 1 CE EA 2 CE EA CE m EA 中 m 的取值范围是 （直接写出结论，不必证明） 探究二：若且 AC=30cm，连接 PQ，设 EPQ 的面积为 S（cm2

24、） ，在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由 （2）随着 S 取不同的值，对应 EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围 类型一 【图形的平移】 【典例指引 1】1两个三角板 ABC，DEF 按如图所示的位置摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同 一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，CDEF90 ，ABCF30 ，AC DE4 cm.现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动设 三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分

25、的面积为y (cm2) (1)当点 C 落在边 EF 上时，x_cm； (2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N，直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的 最小值 【答案】(1)10;(2)见解析； （3）3 . 【解析】 分析： （1）由锐角三角函数，得到 BG 的长，进而得出 GE 的长，又矩形的性质可求解； （2）分类讨论：当 0t4 时，根据三角形的面积公式可得答案；当 4t8 时，当810x时，根 2 CE EA 据面积的和差求解； （3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得 M 在线

26、段 NG 上，根据三角形的中位线，可得 NG 的长，根据锐角三角函数，可得 MG 的长，然后根据线段的和差求解. 详解:（1）如图： 作 CGAB 于 G 点 在 RtABC 中，由 AC=4，ABC=30，得 BC= tan30 AC o =4 3 在 RtBCG 中，BG=BCcos30 =6 四边形 CGEH 是矩形， CH=GE=BG+BE=6+4=10cm， 故答案为：10 . （2）当04x时，如解图 GDB60 ，GBD30 ， DBx，DG x，BGx， 重叠部分的面积 y DG BG x xx2 48x时，如解图 BDx，DG x，BGx，BEx4， EH (x4) 重叠部分

27、的面积 ySBDGSBEH DG BG BE EH， 即 y x x (x4) (x4)， 化简得： 2 34 38 3 2433 yxx 当810x时，如解图 AC4，BC4 ，BDx，BEx4， EG (x4) 重叠部分的面积 ySABCSBEG AC BC BE EG， 即 y 4 4 (x4) (x4)， 化简得： 2 34 316 3 633 yxx 综上所述， 2 2 2 3 (04) 8 34 38 3 (48) 2433 34 316 3 810 633 xx yxxx xxx （3） 3 【名师点睛】此题主要考查了几何变换综合，利用锐角三角函数和矩形的性质，利用三角形的面积，

28、 面积的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏，利用垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数 解答即可. 【举一反三】 如图， 将两块全等的三角板拼在一起， 其中ABC 的边 BC 在直线 l 上， ACBC 且 AC=BC； EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，EFFP 且 EF=FP （1）在图中，通过观察、测量，猜想直接写出 AB 与 AP 满足的数量关系和位置关系，不要说明理由； （2）将三角板EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP、BQ猜想写出 BQ 与 AP 满足的数量关系和位置关系，并说明理由 【答案】 （1）

29、AB=AP 且 ABAP， （2）BQ 与 AP 所满足的数量关系是 AP=BQ，位置关系是 APBQ 【解析】 分析： （1）根据等腰直角三角形性质得出 AB=AP，BAC=PAC=45 ，求出BAP=90 即可； （2）求出 CQ=CP，根据 SAS 证BCQACP，推出 AP=BQ，CBQ=PAC，根据三角形内角和定 理求出CBQ+BQC=90 ，推出PAC+AQG=90 ，求出AGQ=90 即可 详解： （1）AB=AP 且 ABAP。理由如下： ACBC 且 AC=BC，ABC 为等腰直角三角形， BAC=ABC=（180 ACB）=45 又ABC 与EFP 全等，同理可证PEF=4

30、5 ， BAP=45 +45 =90 ，AB=AP 且 ABAP （2）BQ 与 AP 所满足的数量关系是 AP=BQ，位置关系是 APBQ，理由如下： 延长 BQ 交 AP 于 G，由（1）知，EPF=45 ，ACP=90 ， PQC=45 =QPC，CQ=CP ACB=ACP=90 ，AC=BC，在BCQ 和ACP 中， ， BCQACP（SAS） ， AP=BQ，CBQ=PAC ACB=90 ，CBQ+BQC=90 CQB=AQG，AQG+PAC=90 ， AGQ=180 90 =90 ，APBQ 1 2 BCAC BCQACP CQCP 点睛：本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的

31、性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要 考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好 类型二 【图形的轴对称-折叠】 【典例指引 2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点(3,0)，点(0,4)，点(0,0).是 边上的一点(点不与点，重合)，沿着折叠该纸片，得点的对应点. ()如图，当 = 30时，求点的坐标； ()如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ()当与坐标轴平行时，求点的坐标(直接写出结果即可). 【答案】()点 B的坐标为（23，2） ；() 点 P 的坐标为（ 12 7 ， 12 7 ） ；() 点 B的坐标为（ 16 5 ， 12 5 ） 或（ 12 5 ，- 1

32、6 5 ）. 【解析】()如图，过 B作 BCx 轴于 C，由 B 点坐标可得 OB 的长，根据折叠的性质可得BOP= POB=30，OB=OB，即可求出BOC=30 ，利用BOC 的正弦和余弦值求出 BC 和 OC 的长即可得点 B 的坐标；()过 P 作 PDx 轴， 由折叠性质可知BOP=BOP=45 ，可得 PD=OD，DA=3-OD，利用OAB 的正切值即可求出 PD 的值，进而可得点 P 的坐标；()分两种情况讨论：当 PB/x 轴时，过 B作 BEx 轴于 E，根据平行线的性质和折叠的性质可得BOE=OBA，利用BOE 的正弦和余弦求出 BE 和 OE 的 长即可得点 B的坐标；

33、当 PB/y 轴时，PBx 轴，设 PB交 x 轴于 F，根据折叠性质可得B=OBA， 利用B的正弦和余弦即可求出 OF 和 BF 的长，即可得点 B的坐标. 【详解】()如图，过 B作 BCx 轴于 C， A（3，0） ，B（0，4） ， OB=4，OA=3， 沿着折叠该纸片，得点的对应点. BOP=POB=30，OB=OB=4， BOC=30 ， BC=OBsin30 =2，OC= OBcos30 =2 3， 点 B的坐标为（23，2） ()如图，过点 P 作 PDx 轴于 D， OPB是OPB 沿 OP 折叠得到，点落在轴上， BOP=BOP=45 ， PD=OD， AD=OA-OD=3

34、-OD， tanPAD= = 3= = 4 3， PD=OD=12 7 ， 点 P 的坐标为（12 7 ，12 7 ）. ()如图，当 PB/x 轴时，过 B作 BEx 轴于 E， OPB是OPB 沿 OP 折叠得到， PBO=OBA，OB=OB=4， OA=3，OB=5， AB=5， PB/x 轴， PBO=BOE， BOE=OBA， sinBOE=sinOBA= = 3 5，cosBOE= = 4 5， BE=OBsinBOE=12 5 ，OE=OBcosBOE=16 5 ， 点 B的坐标为（16 5 ，12 5 ）. 如图，当 PB/y 轴时，则 PBx 轴，设 PB交 x 轴于 F，

35、B=OBA， sinB=3 5，cosB= 4 5， OF=OBsinB=12 5 ，BF=OBcosB=16 5 ， 点 B在第四象限， 点 B的坐标为（12 5 ，-16 5 ）. 综上所述：点 B的坐标为（16 5 ，12 5 ）或（12 5 ，-16 5 ）. 【名师点睛】 本题考查折叠的性质、平行线的性质及锐角三角函数的定义，正确得出折叠后的对应边和对应角并熟练掌 握三角函数的定义是解题关键. 【举一反三】如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作 FGCD，交 AE 于点 G，连接 DG （1）求

36、证：四边形 DEFG 为菱形； （2）若 CD=8，CF=4，求 CE DE 的值 【答案】 （1）证明见试题解析； （2） 3 5 【解析】（1） 由折叠的性质， 可以得到 DG=FG， ED=EF， 1=2， 由 FGCD， 可得1=3， 再证明 FG=FE， 即可得到四边形 DEFG 为菱形； （2）在 RtEFC 中，用勾股定理列方程即可 CD、CE，从而求出 CE DE 的值 【详解】解： （1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2， FGCD， 2=3， FG=FE， DG=GF=EF=DE， 四边形 DEFG 为菱形； （2）设 DE=x，根据折叠的性质，EF=

37、DE=x，EC=8x， 在 RtEFC 中， 222 FCECEF，即 222 4(8)xx， 解得：x=5，CE=8x=3， CE DE = 3 5 考点：1翻折变换（折叠问题） ；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题 类型三 【图形的旋转】 【典例指引3】 如图 1， 点O是正方形 ABCD 两对角线的交点， 分别延长 OD到点G， OC到点E， 使 OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE （1）求证：DEAG； （2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角（0 360 ）得到正方形 OE

38、FG，如 图 2 在旋转过程中，当OAG是直角时，求 的度数； 若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说明 理由 【答案】 （1）见解析； （2）30 或 150 ， AF 的长最大值为 2 2 2 ，此时 0 315 【解析】 （1）延长 ED 交 AG 于点 H，易证AOGDOE，得到AGO=DEO，然后运用等量代换证明 AHE=90 即可； （2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况： 由 0 增大到 90 过程中，当OAG=90时，=30 ， 由 90 增大到 180 过程中，当OAG=90时，=150 ； 当旋转到 A、O

39、、F在一条直线上时，AF的长最大，AF=AO+OF= 2 2 +2，此时 =315 【详解】(1)如图 1,延长 ED 交 AG 于点 H, 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， OA=OD，OAOD， OG=OE， 在AOG 和DOE 中， 90 OAOD AOGDOE OGOE ， AOGDOE， AGO=DEO， AGO+GAO=90 ， GAO+DEO=90 ， AHE=90 ， 即 DEAG； (2)在旋转过程中,OAG成为直角有两种情况： () 由 0 增大到 90 过程中,当OAG=90时， OA=OD= 1 2 OG= 1 2 OG， 在 RtOAG中,sinAGO=

40、OA OG = 1 2 ， AGO=30 ， OAOD,OAAG， ODAG, DOG=AGO=30 ， 即 =30 ； () 由 90 增大到 180 过程中,当OAG=90时， 同理可求BOG=30， =18030=150. 综上所述,当OAG=90时,=30 或 150 . 如图 3,当旋转到 A. O、F在一条直线上时,AF的长最大， 正方形 ABCD 的边长为 1， OA=OD=OC=OB= 2 2 ， OG=2OD， OG=OG= 2， OF=2， AF=AO+OF= 2 2 +2， COE=45， 此时 =315 . 【名师点睛】 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角

41、三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个 角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用 【举一反三】 （1） （问题发现） 如图 1，在 RtABC 中，ABAC2，BAC90 ，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 （2） （拓展研究） 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变 化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3） （问题发现） 当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段

42、AF 的长 【答案】 （1）BE= 2AF； （2）无变化； （3）31 或3+1 【解析】 （1）先利用等腰直角三角形的性质得出 AD= 2 ，再得出 BE=AB=2，即可得出结论； （2）先利用三角函数得出 2 2 CA CB ，同理得出 2 2 CF CE ，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出 结论； （3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EF=CF=AD= 2，BF=6， 即可得出 BE= 62，借助（2）得出的结论，当点 E 在线段 BF 的延长线上，同前一种情况一样即可 得出结论 【详解】解： （1）在 RtABC 中，AB=AC=2

43、， 根据勾股定理得，BC= 2AB=22， 点 D 为 BC 的中点，AD= 1 2 BC= 2， 四边形 CDEF 是正方形，AF=EF=AD= 2， BE=AB=2，BE= 2AF， 故答案为 BE= 2AF； （2）无变化； 如图 2，在 RtABC 中，AB=AC=2， ABC=ACB=45 ，sinABC= 2 2 CA CB ， 在正方形 CDEF 中，FEC= 1 2 FED=45 ， 在 RtCEF 中，sinFEC= 2 2 CF CE ， CFCA CECB ， FCE=ACB=45 ，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB， ACFBCE， BECB AFCA = 2

44、，BE=2AF， 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化； （3）当点 E 在线段 AF 上时，如图 2， 由（1）知，CF=EF=CD= 2， 在 RtBCF 中，CF= 2，BC=22， 根据勾股定理得，BF= 6，BE=BFEF=62， 由（2）知，BE= 2AF，AF=31， 当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3， 在 RtABC 中，AB=AC=2，ABC=ACB=45 ，sinABC= 2 2 CA CB ， 在正方形 CDEF 中，FEC= 1 2 FED=45 ， 在 RtCEF 中，sinFEC= 2 2 CF CE ， CFCA CECB ， FCE=ACB=45 ，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB， ACFBCE， BECB AFCA = 2，BE=2AF， 由（1）知，CF=EF=CD= 2， 在 RtBCF 中，CF= 2，BC=22， 根据勾股定理得，BF= 6，BE=BF+EF=6+2， 由（2）知，BE= 2AF，AF=3+1 即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 31 或3+1 类型四 【图形的位似】 【典例指引 4】如图，二次函数 y=x23x 的图象经过 O（0，0） ，A（4，4） ，B（3，0）三点，以点 O 为位 似中心，在 y 轴的右侧将OAB