福建省宁德市2020届高三5月质量检查文科数学试题（含答案）

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1、2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） 文 科 数 学 本试卷共 5 页。满分 150 分。 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题

2、给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1已知集合， lg1Bx yx，则AB A13xx B2x x C1,2,3 D2,3 2已知i是虚数单位，复数 3i i z ，则z的共轭复数z A13i B13i C13i D13i 3已知向量, a b的夹角为60，2a，1b，则2ab A3 B2 C5 D4 4设 x,y 满足约束条件 10, 240, 0, 0, xy xy x y 则 2zxy 的最大值为 A1 B0 C4 D6 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A30 B24 C15 D9 6已知(0, )，2sin2cos2

3、1，则cos A 2 5 5 B 5 5 C 2 5 5 D 5 5 23Axx Z 7干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图例如公元 1988 年，即输入1988N ，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出5x ，从干支表中查出对应 的干支为戊辰我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥 8在四面体ABCS 中，ABCSA平面，2, 3SABCACAB ，则该四面体的外 接球的半径为 A1 B3 C2 D4 9已知函数 | | ( )e x

4、 f x ， 1 3 (log 2)af，(2)bf， 2 (log 3)cf，则 Acab Bcba Cabc Dacb 10已知函数 ( )sin()(0,) 2 f xx =+的最小正周期为，且图象向右平移 12 个单 位后得到的函数为偶函数，则( )f x的图象 A关于点 5 (,0) 12 对称 B关于直线 6 x =对称 C在单调递增 D在 7 , 12 12 单调递减 11已知可导函数( )f x的定义域为R，且满足(4)()f xfx，(2)( )0xfx，则对任 意的 12 xx，“ 12 ()()f xf x”是“ 12 4xx”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充

5、要条件 D既不充分也不必要条件 12 已知双曲线C的两个顶点分别为12 ,A A， 若C的渐近线上存在点P， 使得 12 |2 |PAPA， 则C的离心率的取值范围是 A1,3 B3, C1,2 D2, 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 429 , 12 12 开始 输入 N 是 否 输出 x 结束 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 壬戌 癸亥 13若抛物线经过点 1 1, 2 ，(2,2)，则该抛物线的标准方程为_ 14甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种若 出相同则为平局；若出不同，则

6、锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子玩一次该游戏， 甲同学不输的概率为_ 15在平面四边形ABCD中，BC CD，135B ，3 2,3 5,5ABACCD， 则AD _ 16已知函数 2 2 log, 0, ( ) 21, xxa f x xxxa 若存在实数m，使得方程( )0f xm有两个不相等 的实数根，则a的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17(12 分) 已知公差不为0的等差数列 n a 中， 139 ,a a a

7、成等比数列，且 （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b 的前n项和 n S 18(12 分) A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验,成绩（单位：分） 记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83 B 73 84 75 73 7 8 76 85 B同学的成绩不慎被墨迹污染（, 分别用m，n表示）. （1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认 为选派谁更好？请说明理由（不用计算）； （2）若B同学的平均分为 78，方差，求 m，n. 58 22aa 2 19s 19(1

8、2 分) 如 图 ， 在 四 棱 柱ABCDA B C D中 ， 四 边 形ABCD为 平 行 四 边 形 ， 4,2DDCDAD,60BAD ，且点D在底面上的投影H恰为CD的中点 （1）棱上存在一点，使得平面，试确定点N的位置，说明理由； （2）求三棱锥CA HC的体积 20(12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 12 ,F F分别为椭圆的左、右焦点， 点M为椭圆C上的一动点， 12 MFF面积的最大值为 2 （1）求C的方程； （2）过 2 F且与 x 轴不重合的直线l交C于,P Q两点，点 2 2,0A，证明：直线,PA QA 关于x

9、轴对称 BCNAD D HN 21(12 分) 已知( )()(e2) x f xaxbx在点(0, (0)f处的切线方程为60xy （1）求实数, a b的值； （2）当0x 时，证明：( )2ln2 +3f xxx （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一个题目计分 22选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos , : sin x C y 为参数以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为1, 2 ，直线l的极坐标方程为 cos2 sin80 （1

10、）求点A的直角坐标和直线 的直角坐标方程； （2）把曲线 1 C上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到 曲线 2 C，B为 2 C上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 已知函数( )1,f xxmxm N, 若存在实数x使得 3f x 成立. （1）求m的值； （2）若,0 ，411m，求的最小值. 2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） l 数学（文科）试题参考答案及评分标准数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考如果考

11、生 的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出 现推理或计算错误， 则错误部分依细则扣分， 并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的 给分， 但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算本题考查基础知识和基本运算本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1. D 2.B 3.B

12、 4. C 5.B 6.D 7.A 8. C 9.D 10.C 11.C 12.A 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算本题考查基础知识和基本运算本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 14 15 16 三、解答题：本大题 共 6 小题，共 70 分 17. 本小题主要考查等差等比数列的通项公式、 裂项求和法等基础知识， 考查运算求解能力， 逻辑推理能力，化归与转化思想等满分 12 分 解： （1）设数列的公差为， 因为 139 ,a a a成等比数列， 所以， 即,得， 2 分 又 58 22aa ， 所以,得， 4 分 联立，解得，5 分 所以.6 分 （2）7 分 8

13、 分 9 分 10 分 12 分 18. 本小题主要考查了茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据分析能力、运算求解 能力，考查化归与转化思想等.满分 12 分. 2 2xy 2 3 2 10 (0,1)(1,2) n a(0)d d 2 319 aa a 2 111 (2 )(8 )ada ad 1 ad 11 2(4 )72adad 1 2ad 1 1ad n an 1 11 (1) n nn b a ann 1 (1)n n 11 1nn 123 . n Sbbb 11111 (1)().() 2231nn 1 1 1n 1 n n 解:（1）A、B两同学参加了8次测验,成绩（单位：分）

14、茎叶图如下： A B 3 2 6 0 6 2 1 7 3 5 3 m 6 3 5 8 4 n 5 4 分 由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于 A 同学的平均成绩， 所以选派 B 同学参加数学竞赛更好.6 分 （2）因为7 分 所以8 分 因为9 分 所以10 分 联立解得,12 分 19. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几 何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转 化思想等满分 12 分 解:（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明.1 分 分别连结NH， ND ，BH. 因为D在底面上的投影H

15、恰为CD的中点，所以DH平面ABCD， 又BC 平面ABCD，所以D HBC.2 分 在HBC中，2, 3 HCBCHCB ,故HBC为等边三角形， 又点N为棱BC的中点，所以NHBC，3 分 又D HBC，DHNHH，,DH NH平面D HN,4 分 所以BC 平面D HN,5 分 又由平行四边形ABCD得/ /ADBC， 所以AD 平面D HN，点N即为所求.6 分 （2） CA HCAC HC VV 7 分 因为 1 (7384757370807685)78 8 xmn 8mn 222222222 15 635(8)(2)27 19 8 smn 22 (8)(2)4mn 8,0mn /

16、/AA B BDD C C平面平面 所以到平面的距离即为到平面的距离8 分 过作于点 又DH平面ABCD， 所以 又 所以平面9 分 10 分 又 11 分 所以 CA HCAC HC VV 12 分 解法二:（1）因为D在底面上的投影H恰为CD的中点，所以DH平面ABCD， 又AD 平面ABCD，所以DHAD.2 分 连接， 在中， 由余弦定理得，即 解得 所以 即， 当点N为棱BC的中点时，为的中位线 ，则 又DHAD，DHNHH，,DH NH平面D HN,4 分 所以AD 平面D HN,5 分 点N即为所求.6 分 （2）同解法一 ADD C CADD C C AAMCDM D HAM

17、CDD HH AM DD C C sin3AMADBAD 1 2 C CH SCH D H 1 22 3 2 2 3 1 3 C CH SAM 1 2 33 3 2 BD ABD2,4, 3 ADABBAD 222 cos 2 ABADBD BAD AB AD 2 1164 2242 BD 2 3BD 222 ADBDAB ADBD HNBCD / /HNBDHNAD 20. 本小题主要考查直线、椭圆，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的 能力满分 12 分 解法一： （1）因为椭圆 22 22 :1

18、(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 所以 2 2 c e a ，即 22 2ca，又 222 abc，所以bc，2 分 因为 12 MFF面积的最大值为 2，所以 1 22 2 c b，即2c b， 又因为bc，所以2bc， 2 4a ， 4 分 故椭圆C的方程为 22 1 42 xy 5 分 （2）由（1）得 2( 2,0) F， 由题知设直线l的方程为2xty，代入 22 1 42 xy 消去x整理得： 22 (2)2 220tyty，6 分 设 1122 ( ,), (,)P x yQ xy，则 12 2 12 2 0 2 2 2 2 2 t yy t y y t ，8

19、分 记直线,PA QA的斜率分别为, PAQA kk，则 12121212 121212 22 12 22() 2 22 222(2)(2) 44 () 22 0 (2)(2) PAQA yyyyty yyy kk xxtytytyty tt tt tyty 11 分 所以 PAQA kk ，因此直线PA与直线QA关于x轴对称12 分 解法二:（1）同解法一 （2）由（1）得 2( 2,0) F， 若直线 2 PF与x轴垂直，由椭圆的对称性易得直线PA与直线QA关于x轴对称. 若直线 2 PF与x轴不垂直，设直线 2 PF的方程为(2)yk x， 代入 22 1 42 xy 消去y整理得： 2

20、222 (21)4 2440kxk xk，6 分 得 2 2222 ( 4 2)4(21)(44)16160kkkk ，7 分 设 1122 ( ,), (,)P x yQ xy，则 2 12 2 2 12 2 4 2 21 44 21 k xx k k x x k ，8 分 记直线,PA QA的斜率分别为, PAQA kk，则 1212 1212 (2)(2) 2 22 22 22 2 PAQA yyk xk x kk xxxx 12211212 1212 (2)(2 2)(2)(2 2)23 2()8 (2 2)(2 2)(2 2)(2 2) k xxxxkx xxx xxxx 22 22

21、 12 8824 8 2121 0 (2 2)(2 2) kk k kk xx 11 分 所以 PAQA kk ，因此直线PA与直线QA关于x轴对称.12 分 20. 本小题主要考查函数的单调性、最值、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理 论证能力运算求解能力、创新意识等，考查划归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、 数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 解法一： （1）( )(e2)()(e1) xx fxaxaxb，1 分 因为( )f x在点(0, (0)f处的切线方程为6 ,yx 所以(0)0,(0)6,f f 3 分 即 30, 326, b

22、 ab 解得2,0.ab5 分 （2）由（1）得( )2 (e2) x f xxx， 设( )2 (e2)(2ln2 +3) x g xxxxx，即 2 ( )2 e222ln3 x g xxxxx， 则 2 ( )2(1)e42 x g xxx x 6 分 2 422 2(1)ex xx x x 1 2(1)(e2)(0) x xx x .7 分 设 1 ( )e2(0) x h xx x ，则( )h x在(0,)单调递增，8 分 且 11 34 11 ( )e20, ( )e10, 43 hh 所以存在唯一 0 1 1 , 4 3 x ，使得 0 0 0 1 ()e20 x h x x

23、，即 0 0 1 e2 x x .9 分 当 0 0xx时，( )0h x ，( )0g x，( )g x单调递减； 当 0 xx时，( )0h x ，( )0g x，( )g x单调递增； 0 22 min000000000 0 1 ( )()2e222ln32(2)222ln3 x g xg xxxxxxxxx x 2 000 222ln1xxx，10 分 设 2 1 1 ( )222ln1, 4 3 xxxxx ，则 22(1)(21) ( )42, xx xx xx 当 1 1 , 4 3 x 时，( )0x，( )x单调递减， 所以 113 ( )( )2ln30 39 x，所以 2

24、 min000 ( )222ln10g xxxx ，即( )0g x ， 所以，当0x 时，( )2ln2 +3f xxx12 分 解法二： （1）同解法一. （2）由（1）得( )2 (e2) x f xxx， 先证明：当0x 时，( )6f xx成立 因为0x 时，( )62 (e2)62 (e1)0 xx f xxxxxxx 所以当0x 时，( )6f xx成立7 分 再证明：当0x 时，62ln2 +3xxx，即证42ln30xx成立 设( )42ln3g xxx，则 242 ( )4(0) x g xx xx ，8 分 当 1 0 2 x时，( )0g x，( )g x单调递减；9

25、分 当 1 2 x 时，( )0g x，( )g x单调递增；10 分 所以 11 ( )( )22ln32ln210 22 g xg ，11 分 所以当0x 时，62ln2 +3xxx成立 综上，当0x 时，( )2ln2 +3f xxx12 分 22选修44；坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、 参数方程的应用， 意在考查考生综合运用知 识和运算求解能力 满分 10 分 解法一： （1）点A的极坐标为1, 2 ，直线l的极坐标方程为 cos2 sin80 ， 由 cos sin x y ，2 分 得点A的直角坐标为0,1，3 分 直线l的直角坐标方程为280xy4 分

26、（2）设( , )B x y，则由条件知点( ,) 23 xy 在曲线 1 C上，所以6 分 cos 2 sin 3 x y ，即 2cos 3sin x y ，7 分 因为P为AB中点，所以 3sin1 cos , 2 P ，8 分 则点P到直线l距离为 72sin cos3sin7 6 55 ，9 分 当sin 1 6 时，7 2sin 6 取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为 510 分 解法二： （1）同解法一 （2）（2）设( , )B x y，则由条件知点( ,) 23 xy 在曲线 1 C上，6 分 cos 2 sin 3 x y ，即 2cos 3sin x y ，

27、7 分 则点A到直线l的距离为 0286 55 ，8 分 点B到直线l距离为 84sin 2cos2 3sin8 6 55 ， 当sin1 6 时，84sin 6 取得最小值4， 故点B到直线l距离的最小值为 4 5 ，9 分 又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为10 分 23选修4 5：不等式选讲 本小题考查含绝对值、 参数的不等式有解问题与基本不等式的应用， 考查运算求解能力、 推理论证能力，考查化归与转化思想等 满分 10 分 解法一： （1）存在实数x使得 3f x 成立等价于存在实数x使得12xmx成立， 而111xmxxmxm，2 分 故存在实数x使得 3f x 成立等价于13m，3 分 5 解得42m ，4 分 又因为 * mN，所以1m 5 分 （2）由（1）得1m ，故4111， 所以 1 1 41 ， 6 分 由 ,0 ， 故 14 10 4141 ， 所以 1 4 ，1， 7 分 11151159 12 41441444144 ， 9 分 当且仅当 33 , 42 时取最小值 9 4 .10 分 解法二： （1）同解法一； （2）由4111， 得4 40 ， 即 11 1 4 ， 7 分 由 ,0 ， 所以 11159 12 444444 9 分 当且仅当 33 , 42 时取最小值 9 4 . 10 分