2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若方程表示椭圆，则 k 的取值范围是 7 （4 分） 已知直线 ax+by+c0 与圆： x2+y21 相交于 A、 B 两点， 且， 则 8（4 分） 已知 F1， F2分别是椭圆的两焦点， 点 P 是该椭圆上一动点， 则 的取值范围为 9（4 分） 若圆 x2+y2R2（R0） 和曲线恰有六个公共点， 则 R 的值是 10 （4 分）已知 2a+bab0（a0，b0） ，当 ab 取得最小值时，曲线上 的点到直线的距离的取值范围为 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分，满分分，满分 16 分）分） 11 （4 分）关于 x，y 的二元一次方程组，其中行列式 Dx为（ ） A B C D

2、 12 （4 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 13 （4 分）下列动点 M 的轨迹不在某一直线上的是（ ） A动点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3 第 2 页（共 15 页） B动点 M 到直线（1，0）和（1，0）的距离和为 2 C动点 M 到直线（0，2）和（0，2）的距离差为 4 D动点 M 到点（2，3）和到 2xy10 的距离相等 14 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知两圆 C1：x2+y212 和 C2：x2+y214，又点 A 坐标为（3，1） ，M、N 是 C1上的

3、动点，Q 为 C2上的动点，则四边形 AMQN 能构成矩 形的个数为（ ） A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 三、解答题（满分三、解答题（满分 42 分）分） 15 （9 分）已知复数（i 是虚数单位） （1）复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）复数 z 是虚数，求实数 m 的取值范围； （3）复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值 16 （9 分）直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21 的左支交于点 A，与右支交于点 B （1）求实数 k 的取值范围； （2）若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求 k 的取值 17 （12 分）已知 F1、F2为双曲线：的左、右焦点，点 P

4、 在双曲线上，点 Q 在圆 C：x2+（y3）24 上 （1）若|PF1|+|PF2|8，求点 P 的坐标； （2）若直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点，求直线 l 的方程 18 （12 分）已知椭圆：+1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，M 点的坐标为（0， b） ，O 为坐标原点，OMF 是等腰直角三角形 （1）求椭圆的方程； （2）设经过点 C（0，2）作直线 AB 交椭圆于 A、B 两点，求AOB 面积的最大值； （3）是否存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使点 F 为PQM 的垂心（垂心：三角形三边 高线的交点）？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理

5、由 第 3 页（共 15 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期末数学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每题一、填空题（每题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）在平面解析几何中，直线的倾斜角 的取值范围为 0，） 【分析】直接写出直线的倾斜角 的取值范围即可 【解答】解：直线的倾斜角 的取值范围为0，） 故答案为：0，） 【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题 2 （4 分）抛物线 y2x2的准线方程为 y 【分析】先将抛物线的方程化为标准方程，再由 x22py

6、的准线方程 y，计算即可 得到所求方程 【解答】解：抛物线 y2x2即为 x2y， 由 x22py 的准线方程 y， 由 x2y，可得 p， 可得所求准线方程为 y 故答案为：y 【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力， 属于基础题 3 （4 分）若复数 z 满足 z（1+2i） （34i） ， （i 是虚数单位） ，则 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数模的公式计算得答案 【解答】解：z（1+2i） （34i）11+2i 则 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 第 4 页（共 15 页

7、） 4 （4 分）若， （i 是虚数单位） ，则 a2+b2 1 【分析】 本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理， 然后根据虚数的概念可算出 a， b 的值，答案即出 【解答】解：化简行列式如下： （ai） （1+i）1 （b2i）a+aii+1b+2i（a+1b）+（a+1）i， 0 （a+1b）+（a+1）i0， 可得，方程组： ， 解得 a1，b0， a2+b21， 故答案为 1 【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题 5 （4 分）设点（x，y）位于线性的约束条件所表示的区域，则目标函数 z 2x+y 的最大值和最小值的比值 【分析】作出不等式组

8、对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值， 然后求解比值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得 B（，） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z2+ 即目标函数 z2x+y 的最大值为， 第 5 页（共 15 页） 由，解得 C（，） 函数的最小值：， 目标函数 z2x+y 的最大值和最小值的比值： 故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解

9、决此类问题的基本方法 6 （ 4分 ） 若 方 程表 示 椭 圆 ， 则k的 取 值 范 围 是 【分析】由题意列出不等式组，解不等式可求 k 的范围 【解答】解：方程表示椭圆， k1 且 k1， 故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试 题 7 （4 分） 已知直线 ax+by+c0 与圆： x2+y21 相交于 A、 B 两点， 且， 则 第 6 页（共 15 页） 【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定AOB 的大小，即可求得 的值 【解答】解：依题意可知角AOB 的一半的正弦值， 即 sin 所以：AOB120 则 11co

10、s120 故答案为： 【点评】初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答本 题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系是基础题 8（4 分） 已知 F1， F2分别是椭圆的两焦点， 点 P 是该椭圆上一动点， 则 的取值范围为 2，1 【分析】求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得（3x28） ， 由2x2，即可求得答案 【解答】解：由椭圆，焦点知 F1（，0） ，F2（，0） ，设 P（x，y） ， 2x2， 则（x，y） （x，y）x2+y23（3x28） ， 2x2， 0x24，故2，1， 故答案为：2，1 第 7 页（共 15 页） 【点评】本题考查椭圆

11、的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查 计算能力，属于中档题 9 （4 分） 若圆 x2+y2R2（R0） 和曲线恰有六个公共点， 则 R 的值是 3 【分析】可作出圆 x2+y2R2（R0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判 断即可 【解答】解：圆 x2+y2R2（R0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此 时 R3 故答案为 3 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题 10 （4 分）已知 2a+bab0（a0，b0） ，当 ab 取得最小值时，曲线上 的点到直线的距离的取值范围为 （0， 【分析】利用基本不等式可

12、得 b2a4再对 x，y 分类讨论，画出图形，利用直线与曲 线相切的性质即可得出 【解答】解：2a+bab0（a0，b0） ， ab2a+b2，化为（2）0， 2， 解得 ab8 当且仅当 b2a4 时取等号 曲线为1 第 8 页（共 15 页） 画出图形：由图形可知：直线 yx 分别是曲线1，曲线+1 的渐 近线因此点到直线 yx 的距离 d0 设直线 yx+m 与曲线+1（x0，y0）相切 联立化为， 令8m216（m24）0，解得 m2 切线为 y 两平行线 y，yx 的距离 d 曲线上的点到直线的距离取值范围是（0， 故答案为（0， 【点评】本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、

13、两点间的距离公式、分类讨 论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分，满分分，满分 16 分）分） 11 （4 分）关于 x，y 的二元一次方程组，其中行列式 Dx为（ ） A B C D 【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解 【解答】解 x，y 的二元一次方程组，系数行列式： 第 9 页（共 15 页） Dx 故选：C 【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用 12 （4 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数

14、 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 【分析】 一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为 0， 根据这个充要条件对各个先项 加以判别，发现 A、B 都没有充分性，而 C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项 【解答】解：设复数 za+bi（i 是虚数单位） ，则 复数 z 为实数的充分必要条件为 b0 由此可看出：对于 A，z2为实数，可能 zi 是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于 B，同样若 z 是纯虚数，则 z+ 0 为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于 C，若 za+bi， abi，z 等价于 b0，故是充分必要条件，故不符合题意； 对于 D，若|z|z0，说明 z 是实数，

15、反之若 z 是负实数，则|z|z 不成立，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题熟练 掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键 13 （4 分）下列动点 M 的轨迹不在某一直线上的是（ ） A动点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3 B动点 M 到直线（1，0）和（1，0）的距离和为 2 C动点 M 到直线（0，2）和（0，2）的距离差为 4 D动点 M 到点（2，3）和到 2xy10 的距离相等 【分析】利用平行线之间的距离，判断选项 A 的正误；利用两点间距离个数判断 B 的正 误；轨迹方程判断 C，D

16、的正误； 【解答】解：直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 之间的距离为：3，所以动 点 M 到直线 4x+3y50 和 4x+3y+100 的距离和为 3，动点的轨迹是平行线之间的区 域满足题意 动点 M 到直线（1，0）和（1，0）的距离和为 2，是两点之间的线段，轨迹在一条直 第 10 页（共 15 页） 线上，所以 B 不正确； 动点 M 到直线（0，2）和（0，2）的距离差为 4，是两条射线，在一条直线上，所以 C 不正确； 动点 M 到点（2，3）和到 2xy10 的距离相等，动点 M 的轨迹是经过（2，3）与直 线垂直的直线，所以 D 不正确； 故选：A 【点评】本题考查

17、轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力 14 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知两圆 C1：x2+y212 和 C2：x2+y214，又点 A 坐标为（3，1） ，M、N 是 C1上的动点，Q 为 C2上的动点，则四边形 AMQN 能构成矩 形的个数为（ ） A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 【分析】根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形 AMQN 能构成矩形的个数 为无数个 【解答】解： 法一：如图所示，任取圆 C2上一点 Q， 以 AQ 为直径画圆， 交圆 C1与 M、N 两点， 若 MNAQ，即可得出四边形 AMQN 是矩形， 由 Q 的任意性知，四边形 AM

18、QN 能构成无数个矩形 法二：取 MN 中点 B（x，y） ，联结 OB， OB2+BN2r212，在 RtMAN 中，BNAB， OB2+AB212x2+y2+（x3）2+（y+1）212，即 x2+y23x+y1 点 B 的轨迹方程为 x2+y23x+y1，设点 Q（x0，y0） ， B 为 AQ 中点，B（，） ，带入 B 点的轨迹方程，得 x02+y0214， x2+y214 上的每个点都符合题意， 故选：D 【点评】本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题 三、解答题（满分三、解答题（满分 42 分）分） 第 11 页（共 15 页） 15 （9 分）已知复数（i 是虚数单位） （1

19、）复数 z 是实数，求实数 m 的值； （2）复数 z 是虚数，求实数 m 的取值范围； （3）复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值 【分析】 （1）根据复数是实数得到虚部为零 （2）复数是虚数，则虚部不为零 （3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零 【解答】解： （1）若复数 z 是实数，则，得， 即 m5； （2）复数 z 是虚数，则，即， 即 m5 且 m3； （3）复数 z 是纯虚数，则，得， 即 m3，或2 【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题 的关键 16 （9 分）直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21 的左支交于点 A，与右支交于点 B

20、 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求 k 的取值 【分析】 （1）由直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21，得（3k2）x22kx20，利用 A， B 在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可； （2）把存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点转化为 kOAkOB1，即 x1x2+y1y20，整理后代入根与系数关系求解实数 k 的值 【解答】解： （1）由直线 ykx+1 与双曲线 3x2y21，得（3k2）x22kx20， 因为 AB 在双曲线的左右两支上，所以 3k20，0， 解得k； 第 12 页（共 15 页

21、） （2）假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 则 kOAkOB1，即 x1x2+y1y20， x1x2+（kx1+1） （kx2+1）0， 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+10， （k2+1） +k0， 整理得 k21，符合条件， k1 【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程 的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关 系判断两直线的垂直关系，是中档题 17 （12 分）已知 F1、F2为双曲线：的左、右焦点，点 P 在双曲线上，点 Q 在圆

22、 C：x2+（y3）24 上 （1）若|PF1|+|PF2|8，求点 P 的坐标； （2）若直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设|PF1|m，|PF2|n，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求 P 的 坐标； （2） 分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、 直线和圆、 双曲线都相切的情况， 解方程即可得到所求直线方程 【解答】解： （1）设|PF1|m，|PF2|n，可得 m+n8，|mn|4， 若 P 在第一象限，可得 mn4， 解得 m6，n2， 由双曲线的第二定义可得， 解得 xP，yP， 由对称性可得点 P 的坐标为 ； （

23、2）直线 l 与双曲线及圆 C 都恰好只有一个公共点， 第 13 页（共 15 页） 若直线 l 的斜率不存在，即有直线方程为 x2； 由双曲线的渐近线方程可得 yx， 直线 l 与渐近线平行，可设 l：yx+m， 由直线 l 与圆相切，可得2，解得 m3， 可得直线 l 的方程为 yx+3或 yx+3； 当直线 l 与双曲线和圆都相切，设直线方程为 ykx+t， 可得2， 由双曲线方程和直线方程联立，可得（14k2）x28ktx4t240， 可得64k2t2+16（1+t2） （14k2）0， 化为 1+t24k2， 由解得 k，t， 即直线 l 的方程为 yx+， 综上可得直线 l 共有

24、8 条，为 x2；yx+3或 yx+3； yx+ 【点评】本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想， 属于中档题 18 （12 分）已知椭圆：+1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，M 点的坐标为（0， b） ，O 为坐标原点，OMF 是等腰直角三角形 （1）求椭圆的方程； （2）设经过点 C（0，2）作直线 AB 交椭圆于 A、B 两点，求AOB 面积的最大值； （3）是否存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使点 F 为PQM 的垂心（垂心：三角形三边 高线的交点）？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由OMF 是等腰直角三角形

25、，可得 b1，a，b，从而可得椭 圆方程； 第 14 页（共 15 页） （2）设过点 C（0，2）的直线 AB 的方程为 ykx+2，A、B 的横坐标分别为 xA，xB，求 出|xAxB|的最大值，即可求得AOB 面积2|xAxB|xAxB|的最大值； （3）假设存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，且使点 F 为PQM 的垂心，设直线 l 的方程 为 yx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论 【解答】解： （1）由OMF 是等腰直角三角形，得 b1，ab，故椭圆方程为 ； （2）设过点 C（0，2）的直线 AB 的方程为 ykx+2，A、B 的横坐标分别为 xA，xB， 将线

26、 AB 的方程为 ykx+2 代入椭圆方程，消元可得（1+2k2）x2+8kx+60，16k2 240，k2 xA+xB，xAxB |xAxB| 令 k2t，则 t，|xAxB| 令 ut，则 u0，|xAxB|42（当且仅当 u2 时取 等号） 又AOB 面积2|xAxB|xAxB|，AOB 面积的最大值为； （3）假设存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，且使点 F 为PQM 的垂心， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 因为 M（0，1） ，F（1，0） ，所以 kPQ1 于是设直线 l 的方程为 yx+m，代入椭圆方程，消元可得 3x2+4mx+2m220 由0，得 m23，且 x1+x2，x1x2 由题意应有，所以 x1（x21）+y2（y11）0， 所以 2x1x2+（x1+x2） （m1）+m2m0 整理得 2（m1）+m2m0 第 15 页（共 15 页） 解得 m或 m1 经检验，当 m1 时，PQM 不存在，故舍去 当 m时，所求直线 l 存在，且直线 l 的方程为 yx 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计 算，考查韦达定理的运用，属于中档题