2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）
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1、已知三角形 ABC 的顶点 A（3，0） ，B（3，0） ，若顶点 C 在抛物线 y26x 上移 动，则三角形 ABC 的重心的轨迹方程为 7 （3 分）设 P，Q 分别为直线（t 为参数，tR）和曲线（ 为参数，R）上的点，则|PQ|的取值范围是 8 （3 分）已知直线 l：4x3y+80，若 P 是抛物线 y24x 上的动点，则点 P 到直线 l 和它 到 y 铀的距离之和的最小值为 9 （3 分）如果 M 为椭圆上的动点，N 为圆上的动点， 那么的最大值为 10 （3 分）若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 11 （3 分） 已知直线 l： ax+by0
2、与椭圆交于 A， B 两点， 若 C （5， 5） ， 则 的取值范围是 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知圆 C：x2+y2r2与曲线交于两点 M，N（M 在第一象限） ，与 y 轴正半轴交于 P 点，若，点 Q（7，2） ，则当 m 和 第 2 页（共 21 页） r 变化时，|TP|+|NQ|的最小值为 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13 （4 分）方程 3x28xy+2y20 所表示的曲线的对称性是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于 yx 轴对称 D关于原点对称 14（4 分） 已知点 （a，
3、 b） 是圆 x2+y2r2外的一点， 则直线 ax+byr2与圆的位置关系 （ ） A相离 B相切 C相交且不过圆心 D相交且过圆心 15 （4 分）已知 R，由所有直线 L：xcos+（y2）sin1 组成的集合记为 M，则下列 命题中的假命题是（ ） A存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交 C存在一个圆与所有直线相切 DM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 16 （4 分）双曲线 x2y21 的左右焦点分别为 F1，F2，若 P 是双曲线左支上的一个动点， 则PF1F2的内切圆的圆心可能是（ ） A （1，2） B C D （2，1） 三、解答题（本大题共三、解答题
4、（本大题共 5 题，共题，共 48 分）分） 17已知圆 C 的圆心在直线 x+y80，并且圆 C 与直线 l1：y2x21 和 l2：y2x11 都相切 （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l：2x+ay+6aax+14 与圆 C 有两个不同的交点 MN 长的最小值 18已知曲线 C 是到两定点 F1（2，0） 、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长 2a 的 点的集合 （1）若 a，求曲线 C 的方程； （2）若直线 l 过（0，1）点，且与（1）中曲线 C 只有一个公共点，求直线方程； （3）若 a1，是否存在一直线 ykx+2 与曲线 C 相交于两点 A、B，使得 OAOB，若
5、 存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由 19轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有 A， 第 3 页（共 21 页） B，C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上， （该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分） ，如下图，已知 A，B 两点距离 10 千米，C 是 AB 的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为 45，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到 A 点的信号比接收到 B 点的信号晩秒 （注： 无线电信号每秒传播 3105千米） ， 在某时刻，测得轮船距离 C 点距离为 4 千米 （1）以点 C 为原点，直线 A
6、B 为 x 轴建立平面直角坐标系（如图） ，求出该时刻轮船的 位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5 千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮 船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？ 20已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，短袖的两个端点分别 为 B1，B2，且F1B1B2为等边三角形 （1）若椭圆长轴的长为 4，求椭圆 C 的方程； （2）如果在椭圆 C 上存在不同的两点 P，Q 关于直线对称，求实数 c 的取值范 围； （3）已知点 M（0，1） ，椭圆 C 上两点 A，B 满足，求点 B 横坐标的取值范围 21 已知 F1， F2为
7、双曲线的左、 右焦点， 过 F2作垂直于 x 轴的垂线， 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，且MF1F230 （1）求双曲线 C 的两条渐近线的夹角 ； （2）过点 F2的直线 l 和双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，求AF1B 的面积最小值； （3）过双曲线 C 上任意一点 Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于 Q1，Q2两点，求平行四边形 OQ1QQ2的面积 第 4 页（共 21 页） 2018-2019 学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（
8、本大题共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）抛物线 x24y 的准线方程为 y1 【分析】由抛物线 x22py（p0）的准线方程为 y即可求得抛物线 x24y 的准线 方程 【解答】解：抛物线方程为 x24y， 其准线方程为：y1 故答案为：y1 【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题 2 （3 分）若方程表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 1m7 且 m4 【分析】找出等价不等式组求解即可 【解答】解：表示椭圆， 1m7 且 m4 故答案为：1m7 且 m4 【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题 3 （3 分）若直线 l1：
9、ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行，则 l1与 l2之间的 距离为 【分析】由直线 l1：ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行，求出 a1，由此 能求出 l1与 l2之间的距离 【解答】解：直线 l1：ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行， ， 解得 a1， 直线 l1：x+2y100，即 2x+4y200， 第 5 页（共 21 页） 直线 l2：2x+4y+50 l1与 l2之间的距离为： d 故答案为： 【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间 的距离公式等基础知识，考查运
10、算求解能力，是基础题 4 （3 分）过点（3，3）作圆（x2）2+（y+1）21 的切线，则切线所在直线的方程为 x 3 或 15x8y210 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论， 求出切线的方程，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，圆（x2）2+（y+1）21 的圆心为（2，1） ，半径 r1， 分 2 种情况讨论： ，切线的斜率不存在，此时切线的方程为 x3，与圆（x2）2+（y+1）21 相切， 符合题意， ，切线的斜率存在，设切线的方程为 y3k（x3） ，即 kxy3k+30， 若直线与圆相切，则有1， 解可得：k，则切线的方程为 y3（x3
11、） ，即 15x8y210， 则切线的方程为 x3 或 15x8y210， 故答案为：x3 或 15x8y210 【点评】本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题 5 （3 分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点， 则此双曲线的方程为 1 【分析】可设双曲线的方程为1（a，b0） ，求得已知双曲线的渐近线方程和 椭圆的焦点，可得 a，b 的方程，解方程即可得到所求双曲线方程 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：由题意可设双曲线的方程为1（a，b0） ， 的渐近线的方程为 yx， 可得， 由椭圆的焦点为（3，0） ， 可得 a2+b218， 解得 a4，b
12、， 则双曲线的方程为1 故答案为：1 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 6 （3 分）已知三角形 ABC 的顶点 A（3，0） ，B（3，0） ，若顶点 C 在抛物线 y26x 上移 动，则三角形 ABC 的重心的轨迹方程为 y22x，x0 【分析】设 C（m，n） ，三角形 ABC 的重心的坐标为（x，y） ，由抛物线的方程和重心坐 标公式可得 m3x，n3y，代入抛物线方程，化简可得所求方程 【解答】解：设 C（m，n） ，可得 n26m， 设三角形 ABC 的重心的坐标为（x，y） ， 由 A（3，0） ，B（3，0） ，可得： 3xm，3yn，即
13、m3x，n3y， 则 9y263x，即 y22x，x0， 故答案为：y22x，x0 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的重心坐标公式，以及代入法，考 查运算能力，属于基础题 7 （3 分）设 P，Q 分别为直线（t 为参数，tR）和曲线（ 为参数，R）上的点，则|PQ|的取值范围是 ，+） 【分析】|PQ|无最大值，|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：由消去 t 得 2xy+60，由消去 得（x1） 2+（y+2）25， 圆心（ （1，2）到直线 2xy+60 的距离 d2， |PQ|2， 故答案为：+） 【点评】本题考查了参数化成普
14、通方程，属中档题 8 （3 分）已知直线 l：4x3y+80，若 P 是抛物线 y24x 上的动点，则点 P 到直线 l 和它 到 y 铀的距离之和的最小值为 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得|PM|PF|，再由三点共线 取得最小值，计算可得所求最小值 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 如图设|PH|d，P 到 y 轴的距离为 P 到准线 x1 的距离减 1，即|PM|1， 由抛物线的定义可得|PF|PM|， 可得点 P 到直线 l 和它到 y 铀的距离之和的最小值即为|PM|+|d1 |PF|+d1 的最小值， 由 F，P，H 三
15、点共线，即|PF|+d|m， （m 为 F 到准线 4x3y+80 的距离） ， 可得 m， 则所求最小值为1 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能 力，属于基础题 第 8 页（共 21 页） 9 （3 分）如果 M 为椭圆上的动点，N 为圆上的动点， 那么的最大值为 15 【分析】借助三角函数的有界性可求结果 【解答】解：设 M（5cos，3sin） ，N（3cos，3sin） ， 15coscos+9sinsin 9cos（）+6coscos 当 0 或 时， 最大为 15 故答案为：15 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面
16、向量的数量积运算，是基础题 10 （3 分）若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 （， 【分析】根据函数与方程的关系作出 y和 y|xa|a 的图象，讨论 a 的正负， 结合绝对值函数的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：y，表示以 O 为圆心，半径为 1 的圆的上半圆， yg（x）|xa|a，图象关于 xa 对称，顶点为 A（a，a） ， 若 a0，顶点 A 位于第二象限 要使两个图象有两个交点， 则 A 只要在半圆内即可，即|OA|1， 即1，得 2a21 得 a2， 得a， a0，a0， 当 a0 时，半圆和 y|x|，一定有两个交点，满足条件 当
17、a0 时，在 xa 时，yg（x）x，一定与半圆有一个交点， 第 9 页（共 21 页） 要使 g（x）与半圆有两个交点，则只需要当 xa 时，g（x）x2a 与圆的右半圆有一 个交点即可， 此时顶点 A（a，a）一定在第四象限， 当 xa 时的直线 g（x）x2a 经过 B（1，0）时， 12a0，得 a，此时对应的直线 yx1， 要使 g（x）x2a 与圆的右半圆有一个交点即可， 则满足2a1，即 a， a0，0a， 综上a， 即实数 a 的取值范围是（， 故答案为： （， 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的图象交点个数问 题，利用绝对值函数的图象，利用数形结合
18、是解决本题的关键 第 10 页（共 21 页） 11 （3 分） 已知直线 l： ax+by0 与椭圆交于 A， B 两点， 若 C （5， 5） ， 则 的取值范围是 41，49 【分析】由题意可设 A（m，n） ，B（m，n） ，且 m2+1，运用向量数量积的坐 标表示，以及二次函数的最值求法，可得所求范围 【解答】解：直线 l：ax+by0 与椭圆交于 A，B 两点， 由于直线 l 过原点，可设 A（m，n） ，B（m，n） ， 且 m2+1， 由 C（5，5） ，则（m5，n5） （m5，n5） （m5） （m5）+（n5） （n5）50m2n249n2， 由 0n29，可得 49n2
19、41，49 故答案为：41，49 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及二次函数的性 质，考查运算能力，属于基础题 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知圆 C：x2+y2r2与曲线交于两点 M，N（M 在第一象限） ，与 y 轴正半轴交于 P 点，若，点 Q（7，2） ，则当 m 和 r 变化时，|TP|+|NQ|的最小值为 7 【分析】求得圆与曲线的交点 M，N 的坐标，以及 P 的坐标，由向量共线的坐标表示可 得 T 的坐标，运用两点的距离公式和二次函数的最值和二次方程有实根的条件：判别式 大于等于 0，可得所求最小值 【解答】解：x2+y2r2与曲线交于 M
20、（r，r） ，N（r，r） ，P（0， r） ， 由m可得 T（mr，mr） ， |TP|+|NQ|+ r+ 第 11 页（共 21 页） r+（当 m时取得等号） ， 设 t+r，t0， 可得 tr， 两边平方可得t2r（2+7t）+53t20， 由（2+7t）24（53t2）0， 解得 t7，t 取得最小值 7 时，r 则|TP|+|NQ|的最小值为 7 故答案为：7 【点评】本题考查圆的方程的运用，考查两点的距离公式和二次函数、二次方程有实根 的条件，考查化简运算能力，属于难题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13 （4
21、分）方程 3x28xy+2y20 所表示的曲线的对称性是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于 yx 轴对称 D关于原点对称 【分析】根据对称的性质，将 x 用x，同时 y 用y 代替看方程是否与原方程相同 【解答】 解： 将方程中的 x 换为x， y 换为y 方程变为 3x28xy+2y20 与原方程相同， 故曲线关于原点对称， 故选：D 【点评】本题考查点（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，y） ；关于 y 轴的对称点为（x， y） ；关于原点的对称点为（x，y） ；关于 yx 的对称点为（y，x） 14（4 分） 已知点 （a， b） 是圆 x2+y2r2外的一点， 则
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